2015高考數(shù)學(xué)分類匯編 數(shù)列

1、專題六 數(shù)列 1.【2015高考，理2】在等差數(shù)列?na中，若2a=4，4a=2，則6a= （ ） A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B 【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得64222240aaa?，選B. 【考點定位】本題屬于數(shù)列的問題，考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的性質(zhì) . 【名師點晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項公式求解，也可應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，主要考查學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力.是基礎(chǔ)題. 2.【2015高考，理8】若,ab 是函數(shù)?20,0fxxpxqpq? 的兩個不同的零點，且,2ab? 這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq? 的值等于（ ） A

2、6 B7 C8 D9 【答案】D 【解析】由韋達(dá)定理得abp?，abq?，則0,0ab?，當(dāng),2ab?適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時，2?必為等比中項，故4abq?，4ba?當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時，2?必不是等差中項，當(dāng)a 是等差中項時，422aa?，解得1a?，4b? ；當(dāng)4a 是等差中項時，82aa?，解得4a?，1b?，綜上所述，5abp?，所以pq?9?，選D 【考點定位】等差中項和等比中項 【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項，其中分類討論和邏輯推理是解題核心三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項與項之間是有順序的，但是等差中項或等比中項是唯一的，故可以利用中項進(jìn)行討論，屬于難題 3

3、.【2015高考，理6】設(shè)?na是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ） A若120aa?，則230aa? B若130aa?，則120aa? C若120aa? ，則213aaa? D若10a?，則?21230aaaa? 【答案】C 【解析】先分析四個答案支，A舉一反例1232,1,4aaa?，120aa?而230?aa，A錯誤，B舉同樣反例1232,1,4aaa?，130aa?，而120?aa，B錯誤，下面針對C進(jìn)行研究，?na是等差數(shù)列，若120aa?，則10,a?設(shè)公差為d，則0d?，數(shù)列各項均為正，由于22215111()(2)aaaadaad?22221111220aaddaadd?，則

4、2113aaa?11 3a?，選C. 考點定位：本題考點為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重 點是對知識本質(zhì)的考查. 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和比較法，本題屬于基礎(chǔ)題，由于前兩個選項無法使用公式直接做出判斷，因此學(xué)生可以利用舉反例的方法進(jìn)行排除，這需要學(xué)生不能死套公式，要靈活應(yīng)對，作差法是比較大小常規(guī)方法，對判斷第三個選擇只很有效. 4.【2015高考，理3】已知na是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是nS，若3a，4a，8a成等比數(shù)列，則（ ） A.140,0 addS? B. 140,0addS? C. 140,0addS? D. 140,0addS

5、? 【答案】B. 【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的概念等知識點，同時考查了學(xué)生的運算求 解能力，屬于容易題，將1ad，4dS表示為只與公差d有關(guān)的表達(dá)式，即可求解，在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關(guān)公式的靈活運用. 5.【2015高考，理14】已知數(shù)列na是遞增的等比數(shù)列，14239,8aaaa?，則數(shù)列na的前n項和等于 . 【答案】21n? 【解析】由題意，14231498aaaaaa?，解得141,8aa?或者148,1aa?，而數(shù)列na是遞增的等比數(shù)列，所以141,8aa?， 即3418aqa?，所以2q?，因而數(shù)列na的前n項和 1(1)122

6、1112nnnnaqSq?. 【考點定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前n項和公式. 【名師點睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是mnpq?，則mnpqaaaa?（等差數(shù)列），mnpqaaaa?（等比數(shù)列）；注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明1q?；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項公式，前n項和公式等. 6.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)nS是數(shù)列?na的前n項和，且11a?，11nnnaSS?，則nS?_ 【答案】1n? 【解析】由已知得111nnnnnaSSSS?，兩邊同時除以1nnSS? ，得1111nnSS?，故 數(shù)列1

7、nS?是以1?為首項，1?為公差的等差數(shù)列， 則11(1)nSnn?，所以1nSn? 【考點定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系 【名師點睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項公式，要搞清楚項na與nS的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為1nS?與nS 的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷1nS?是等差數(shù)列，屬于中檔題 7.【2015高考，理10】在等差數(shù)列?na中，若2576543?aaaaa，則82aa?= . 【答案】10 【解析】因為?na是等差數(shù)列，所以37462852aaaaaaa?，345675525aaaaaa?即55a?，所以285210aaa?，故應(yīng)填入10 【考點定位】等差數(shù)列的性質(zhì) 【名師點睛】本題主要

8、考查等差數(shù)列性質(zhì)及其簡單運算和運算求解能力，屬于容易題，解答此題關(guān)鍵在于熟記?*,mnpqaaaamnpqNmnpq?且，?*2,2mnpaaamnpNmnp?且及其熟練運用 8.【2015高考，理13】中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為 【答案】5 【解析】設(shè)數(shù)列的首項為1a，則12015210102020a?，所以15a?，故該數(shù)列的首項為5，所以答案應(yīng)填：5 【考點定位】等差中項 【名師點晴】本題主要考查的是等差中項，屬于容易題解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念，即若a，?，b成等

9、差數(shù)列，則?稱為a與b的等差中項，即2ab? 9.【2015高考，11】數(shù)列na滿足11?a，且11?naann（*Nn?），則數(shù)列1na的前10項和為 【答案】2011 【考點定位】數(shù)列通項，裂項求和 【名師點晴】由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為an1anf(n)或an1f(n)an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進(jìn)行選用. 10.【2015高考，20】

10、（本小題滿分16分） 設(shè)1234,aaaa是各項為正數(shù)且公差為d(0)d?的等差數(shù)列 （1）證明：31242,2,2,2aaaa依次成等比數(shù)列； （2）是否存在1,ad，使得2341234,aaaa依次成等比數(shù)列，并說明理由； （3）是否存在1,ad及正整數(shù),nk，使得knknknnaaaa342321,?依次成等比數(shù)列，并說 明理由. 【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在 【解析】 試題分析（1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可（2 ）本題列式簡單，變形較難，首先令1dta?將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩個高次方程，利用消最高次的方法得到方

11、程：27+430tt?，無解，所以不存在（3）同（2）先 令1dta?將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k得到關(guān)于t的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0tttttt?，從而將方程的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)gttttttt?零點情況，這個函數(shù)需要利用二次求導(dǎo)才可確定其在(0,)?上無零點 試題解析：（1 ）證明：因為112222nnnnaaada?（1n?，2，3）是同一個常數(shù)， 所以12a，22a，32a，42a依次構(gòu)成等比數(shù)列 （2）令1ada?，則1a，2

12、a，3a，4a分別為ad?，a，ad?，2ad?（ad?，2ad?，0d?） 假設(shè)存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次構(gòu)成等比數(shù)列， 則?34aadad?，且?6422adaad? 令dta?，則?3111tt?，且?64112tt? （112t?，0t?）， 化簡得32220tt?（?），且21tt?將21tt?代入（?）式， ?21212313410tttttttt?，則14t ? 顯然14t?不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立， 因此不存在1a，d，使得1a， 22a，33a，44a依次構(gòu)成等比數(shù)列 （3）假設(shè)存在1a，d及正整數(shù)n，k，使得1na，2nka?，23nk

13、a?，34nka?依次構(gòu)成等比數(shù)列， 則?221112nknknaadad?，且?32211132nknknkadadad? 分別在兩個等式的兩邊同除以?21nka?及?221nka?，并令1dta?（13t?，0t?）， 則?22121nknktt?，且?32211312nknknkttt? 將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得?2ln122ln1nktnkt?， 且?ln13ln1322ln12nktnktnkt? 化簡得?2ln12ln12ln1ln12kttntt?， 且?3ln13ln13ln1ln13kttntt? 令?21tt?，則?212011213tttt? 由?1200000g?，

14、?20t?， 知?2t?，?1t?，?t?，?gt在1,03?和?0,?上均單調(diào) 故?gt只有唯一零點0t?，即方程（?）只有唯一解0t?，故假設(shè)不成立 所以不存在1a，d及正整數(shù)n，k，使得1na，2nka?，23nka?，34nka?依次構(gòu)成等比數(shù)列 【考點定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程 【名師點晴】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解 11.【2015高考，理

15、20】已知數(shù)列?na滿足1a =12且1na?=na-2na（n?*N） （1）證明： 112nnaa?（n?*N）； （2）設(shè)數(shù)列?2na的前n項和為nS ，證明112(2)2(1)nSnnn?（n?*N）. 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得12na?，再由遞推公式變形可知 2111,21nnnnnnaaaaaa?，從而得證；（2 ）由1111=nnnnaaaa? 和112nnaa?得， 11112nnaa? ，從而可得*111()2(1)2nanNnn?，即可得證. 試題解析：（1）由題意得，210nnnaaa?，即1nnaa?，12na?，由

16、11(1)nnnaaa? 得1211(1)(1)(1)0nnnaaaaa?，由102na?得， 2111,21nnnnnnaaaaaa? ，即112nnaa?；（2）由題意得21nnnaaa?， 11nnSaa? ，由1111=nnnnaaaa? 和112nnaa? 得，11112nnaa?， 11112nnnaa? ，因此*111()2(1)2nanNnn?，由得 112(2)2(1)nSnnn?. 【考點定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題. 【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利 用條件中的遞推公式作等價變形， 即可得到2111nnnnnna

17、aaaaa?，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小 問具有較強的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將nS轉(zhuǎn)化為只與1?na有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到1?na的 取值圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之 前各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式， 函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強，需要平時一定量的訓(xùn)練與積累，在 后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注. 12.【2015高考，理18】設(shè)數(shù)列?na的前n項和為nS.已知233nnS?. （I）求?na的通項公式； （II）若數(shù)列?nb滿足3lognn

18、naba?，求?nb的前n項和nT. 【答案】（I）13,1,3,1,nnnan?; （II ）13631243nnnT?. 所以1113Tb? 當(dāng)1n? 時， ?12112311323133nnnTbbbbn?L 所以?01231132313nnTn?L 兩式相減，得 ?012122333133nnnTn? ?11121313313nnn? 1363623nn? 所以13631243nnnT? 經(jīng)檢驗，1n? 時也適合， 綜上可得：13631243nnnT? 【考點定位】1、數(shù)列前n 項和nS 與通項na 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題. 【名師點睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算，意在考查

19、學(xué)生的邏輯思維能力與運算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運算的準(zhǔn)確性，在利用nS與通項na的關(guān)系求na的過程中，一定要注意1n? 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運算能力提出了較高的要求. 13. 【2015高考，理18】設(shè)*nN?，nx是曲線221nyx?在點(12)，處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo). （）求數(shù)列nx的通項公式； （）記2221321nnTxxx?L ，證明14nTn?. 【答案】 （）1nnxn?； （）14nTn?. 【解析】 試題分析：（）對題中所給曲線的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，得出曲線221nyx?在點(12)，處的切線斜率為22n?.從而可以寫出切線方程為2(22)(1)y

20、nx?.令0y?.解得切線與x 軸交點的橫坐標(biāo)1111nnxnn?. （）要證14nTn?，需考慮通項221nx?，通過適當(dāng)放縮能夠使得每項相消即可證明.思路 如下：先表示出22222213211321()()()242nnnTxxxn?LL，求出初始條件當(dāng)1n?時，114T?.當(dāng)2n?時，單獨考慮221nx?，并放縮 得222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)nnnnnnnxnnnnn?，所以 211211()2234nnTnn?L，綜上可得對任意的*nN? ，均有14nTn?. 試題解析：（）解：2221(1)(22)nnyxnx?，曲線221nyx?在點(

21、12)，處的切線斜率為22n?. 從而切線方程為2(22)(1)ynx?.令0y?，解得切線與x軸交點的橫坐 標(biāo)1111nnxnn?. （）證：由題設(shè)和（）中的計算結(jié)果知 22222213211321()()()242nnnTxxxn?LL. 當(dāng)1n?時，114T?. 當(dāng)2n? 時，因為222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)nnnnnnnxnnnnn?， 所以211211()2 234nnTnn?L. 綜上可得對任意的*nN?，均有14nTn?. 【考點定位】1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項公式；3.放縮法證明不等式. 【名師點睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是

22、深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項，此類問題在2010年、2012年、2013年高考解答題中都曾考過.對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮. 14.【2015高考天津，理18】（本小題滿分13分）已知數(shù)列na滿足212()*,1,2nnaqaqqnNaa

23、?為實數(shù)，且1，且 233445,aaaaaa+成等差數(shù)列. (I)求q的值和na的通項公式； (II)設(shè)*2221log,nnnabnNa?，求數(shù)列nb的前n項和. 【答案】(I) 1222,2,.nnnnan?為奇數(shù),為偶數(shù); (II) 1242nnnS?. (II) 由(I) 得22121log2nnnnanba?，設(shè)數(shù)列?nb的前n項和為nS，則 012111111232222nnSn?L， 1231111112322222nnSn?L 兩式相減得 23111111112212122222222212nnnnnnnnnnS?L， 整理得1242nnnS? 所以數(shù)列?nb的前n 項和為1

24、24,*2nnnN?. 【考點定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前n項和公式、錯位相減法求和. 【名師點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，求和公式以及錯位相減法求和的問題，通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質(zhì)，分n為奇偶數(shù)討論求通項公式，并用錯位相減法基本思想求和.是中檔題. 15.【2015高考，理22】在數(shù)列?na中，?21113,0nnnnaaaaanN? （1）若0,2,?求數(shù)列?na的通項公式； （2 ）若?0001,2,1,kNkk? 證明：010011223121kakk? 【答案】（1）132nna?；（2）證明見解析. 【解析】 試題分析：（1）由于0,2?，因此把已知等式具體

25、化得212nnnaaa?，顯然由于13a?，則0na?（否則會得出10a?），從而12nnaa?，所以na是等比數(shù)列，由其通項公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題， 數(shù)列的遞推關(guān)系是211010,nnnnaaaak+-= 可變形為2101nnnaaak?Nn?, 由于00k?， 因此011nnaak?，于是可得1nnaa?，即有12130nnaaaa+=LL， 又22220010000011111111nnnnnnnaakkaakkkaaakk+-+=-+?+，于是有()()00011211kkkaaaaaa+=+-+-L 010000102011111111kakkkkaka

26、ka? L000011112313131kkkk?L 01231k?，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知2(*)nanN?，因此01ka+= 010000102011111111kakkkkakaka? L000011112212121kkkk? L01221k?，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.(1)由02?，,有212,(nN)nnnaaa? 若存在某個0nN?，使得0n0a=，則由上述遞推公式易得0n10a+=，重復(fù)上述過程可得10a=，此與13a=矛盾，所以對任意Nn?,0na?. 從而12nnaa+=?Nn?，即na是一個公比q2=的等比數(shù)列. 故11132nn

27、naaq-=?. 求和得()()00011211kkkaaaaaa+=+-+-L 01000010200000011111111111112231313131kakkkkakakakkkkk?LL 另一方面，由上已證的不等式知001212kkaaaa+L得 00110000102011111111kkaakkkkakaka?L 00000111112221212121kkkkk?L 綜上：010011223121kakk+ 【考點定位】等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識 【名師點晴】數(shù)列是考查考生創(chuàng)新意識與實踐精神的最好素材從近

28、些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)(包括三角函數(shù))、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)，這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運用知識的能力，突出知識的融會貫通數(shù)列的問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項的遞推，更有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更甚的是數(shù)列間的“復(fù)制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，還有分式、三角、分段、積(冪)等形式在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力 本題第（1）小題通過遞推式證明數(shù)列是等比數(shù)列，從而應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式求得通項，第（2）小題把數(shù)列與不

29、等式結(jié)合起來，利用數(shù)列的遞推式證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，利用放縮法證明不等式，難度很大 16.【2015高考，理16】設(shè)數(shù)列na的前n項和12nnSaa?，且123,1,aaa?成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列na的通項公式； （2 ）記數(shù)列1na的前n項和nT ，求得1|1|1000nT?成立的n的最小值. 【答案】（1）2nna?；（2）10. 【解析】（1）由已知12nnSaa?，有1122(1)nnnnnaSSaan?， 即12(1)nnaan?. 從而21312,4aaaa?. 又因為123,1,aaa?成等差數(shù)列，即1322(1)aaa?. 所以11142(21)aaa?，解得12a?. 所以

30、，數(shù)列na是首項為2，公比為2的等比數(shù)列. 故2nna?. （2）由（1 ）得112nna?. 所以23111()1111122112222212nnnnT?L. 由1|1|1000nT? ，得11|11|21000n?，即21000n?. 因為9102512100010242?， 所以10n?. 于是，使1|1|1000nT?成立的n的最小值為10. 【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力. 【名師點睛】凡是有nS與na間的關(guān)系，都是考慮消去nS或na（多數(shù)時候是消去nS，得na與1na?間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到na與1

31、na?間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分. 17.【2015高考，理18】設(shè)等差數(shù)列na的公差為d，前n項和為nS，等比數(shù)列nb的公比為q已知11ba?，22b?，qd?，10100S? （）求數(shù)列na，nb的通項公式； （）當(dāng)1d?時，記nnn acb ? ，求數(shù)列 nc的前n項和nT 【答案】（）121,2.nnnanb?或11(279),929 ( ). 9 nnnanb?；（）12362nn? . 2345113579212222222nnnT?L. -可得2211112123232

32、22222nnnnnnT?L， 故nT12362nn?. 【考點定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和. 【名師點睛】錯位相減法適合于一個由等差數(shù)列na及一個等比數(shù)列nb對應(yīng)項之積組成的數(shù)列考生在解決這類問題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計算量大導(dǎo)致了漏項或添項以及符號出錯等兩邊乘公比后，對應(yīng)項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩項相減，除第一項和最后一項外，剩下的1?n項是一個等比數(shù)列 18.【2015高考，理21】（本小題滿分12分）設(shè)?nfx是等比數(shù)列1，x

33、，2x，?，nx的各項和，其中0x?，n?，2n? （I）證明：函數(shù)?F2nnxfx? 在1,12?有且僅有一個零點（記為nx）， 且11122nnnxx?； （II）設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為?ngx，比較?nfx 與?ngx的大小，并加以證明 【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)1x=時， ()()nnfxgx=，當(dāng)1x?時，()()nnfxgx 1211111112()1220,12222212nnnnF?L 所以()nFx 在1,12?至少存在一個零點nx. 又1()120nnFxxnx?L，故在1,12?單調(diào)遞增， 所以()nFx 在1,1

34、2?有且僅有一個零點nx. 因為nx是()nFx的零點，所以()=0nnFx ，即11201nnnxx+-=-，故111=+22nnnxx+. (II)解法一：由題設(shè)，( )()11().2nnnxgx+= 所以()(1)0hxh=，即()()nnfxgx. 綜上所述，當(dāng)1x=時, ()()nnfxgx=；當(dāng)1 x?時()()nnfxgx 解法二 由題設(shè)，?211()1,(),0.2nnnnnxfxxxxgxx?L 當(dāng)1x=時, ()()nnfxgx= 當(dāng)1x?時, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明()()nnfxgx. 當(dāng)2n=時, 2221()()(1)0,2fxgxx-=-所以22()()fxgx成

35、立. 假設(shè)(2)nkk?時，不等式成立，即() ()kkfxgx. 那么，當(dāng)+1nk=時， ()()111k+1k11()()()2kkkkkkx fxfxxgxxx+=+=+() 12 112kkxkxk+=. 又()()11k+121111()22kkkkxkxkkxkxgx+-+-= 令?1()11(0)kkkhxkxkxx?，則?11()(1)11(1)kkkkhxkkxkkxkkxx? 所以當(dāng)01x,()0khx?,()khx在(1,)?上遞增. 所以()(1)0kkhxh=，從而 ()1k+1211()2kkxkxkgx+ 故11()()kkfxgx+.即+1nk=，不等式也成立.

36、 所以，對于一切2n?的整數(shù)，都有()()nnfxgx，11nk?. 若01x，11nkx-+，11nkx-+，()0kmx?， 從而()kmx在(0,1)上遞減，()kmx在(1,)?上遞增.所以()(1)0kkmxm=， 所以當(dāng)01(2),kkxxabkn?且時,又11ab=，11nnab+=，故()()nnfxgx 綜上所述，當(dāng)1x=時，()()nnfxgx=；當(dāng)1x?時()()nnfxgx. 考點：1、等比數(shù)列的前n項和公式；2、零點定理；3、等差數(shù)列的前n項和公式；4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 【名師點晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的前n項和公式、零點定理、等差數(shù)列的前n項和公式和利

37、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”，否則很容易出現(xiàn)錯誤證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點的唯一性有關(guān)函數(shù)的不等式，一般是先構(gòu)造新函數(shù)，再求出新函數(shù)在定義域圍的值域即可 19.【2015高考新課標(biāo)1，理17】nS為數(shù)列na的前n項和.已知na0，2nnaa?=43nS?. （）求na的通項公式； （）設(shè)11 nnnbaa? ,求數(shù)列nb的前 n 項和 . 【答案】 （）21n?（）11646n? 所以na=21n?； （）由（）知，nb=1111()(2 1)(23)221 2 3nnnn?， 所以數(shù)

38、列nb前n項和為12nbbb?L =1111111()()()235572123nn?L =11646n?. 【考點定位】數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法 【名師點睛】已知數(shù)列前n項和與第n項關(guān)系，求數(shù)列通項公式，常用11, 1,2nnnSnaSSn?將所給條件化為關(guān)于前n項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式. 20.【2015高考，理21】數(shù)列?na滿足?*1212242nnnaananN?L， (1) 求3a的值； (2) 求數(shù)列?na前n項和nT； (3) 令11ba? ，?11111223nnnTbannn?，證明：數(shù)列?nb的前n項和nS滿足nSnln22?【答案】（1 ）14；（2）1122n?；（3）見解析 【解析】（1）依題? ?312312312132223323244224aaaaaa?， 314a?； （2）依題當(dāng)1n?時，? ?121211212