湘大版矩陣論 第三章 修改作業(yè)答案

1、第3章1.判斷下面四個矩陣，哪些是相似的。A= ，B= ，C= ，D= .解答如下：因為A=，得= -5 +8 -4= 所以矩陣A的特征值是=1，=2，=2 ，對應(yīng)于=1時的一個特征向量是=對應(yīng)于、的一切特征向量為=，K不等于0，所以不存在三個線性無關(guān)的特征向量，則A不能與對角矩陣 相似。但是可得到A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為從此錯誤,即存在P矩陣，滿足,則A與J相似。因為B=，得= ，所以矩陣B的特征值是=1，=2，=2，對應(yīng)于=1時的一個特征向量是=，對應(yīng)于、的兩個線性無關(guān)的特征向量為=， =，則B可化為相似對角矩陣為 .因為C=，得= ,所以矩陣C的特征值是=1，=2，=2，對應(yīng)于=1時的一個特征向

2、量是=，對應(yīng)于、的一切特征向量為= k，k不等于0。所以C不能化為相似對角矩陣，但是可得到C的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為,此處錯誤即存在P矩陣，滿足,則B與J相似。因為D的秩為2，與A、B、C的秩3不相同，所以D不與任何矩陣相似。綜上所訴可知，A、C矩陣均和J矩陣相似，所以A和C矩陣相似。基本正確95分2、解：（1）、A的特征多項式為：=()()()因而A有三個不同的特征值：，由于A有3個互不相同的特征值，故A可對角化，又由方程可解得對應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對應(yīng)特征值的特征向量為：是屬于不同特征值的特征向量，所以是線性無關(guān)的，以它們?yōu)榱邢蛄孔骶仃嚨孟嗨谱儞Q矩陣

3、：并求得：故，A可與對角陣相似（2）、A的特征多項式為：=因而A的特征值為：， 又由方程可解得對應(yīng)特征值的一切特征向量為：由方程可解得對應(yīng)特征值的一切特征向量為：所以，A不存在三個線性無關(guān)的特征向量，故A不能與對角形矩陣相似（3）、A的特征多項式為：=因而A的特征值為：， 又由方程可解得對應(yīng)特征值的特征向量為：由方程可解得對應(yīng)特征值的特征向量為：，為兩線性無關(guān)的特征向量所以為線性無關(guān)的特征向量，以它們?yōu)榱邢蛄孔骶仃嚨孟嗨谱儞Q矩陣：并求得：故，A可與對角形矩陣3、得求得對應(yīng)的1=2=2的線性無關(guān)特征向量為，對應(yīng)3=-1的特征向量。因此得因而有,則所以， 正確100分5(1) 因為(2)因為(3)

4、因為在設(shè)解A+E=，得的基礎(chǔ)解系為，選取， 故(4)因為它的初級因子為，故A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為.在設(shè)因為A-E=解得的基礎(chǔ)解系為，選取,因為方程1和方程2是一樣的，故可選擇的值使下面兩矩陣的秩相等：A-E=,得6、（1）設(shè)A= 則A的特征多項式為：f（）= 故A的最小多項式只能是：m（）=、m（）= 或m（）= 又因m（A）= 0 且m（A）= =0 便知A的最小多項式為：m（）= 正確（2）設(shè)A= 則A的特征多項式為：f（）= =（） 故A的最小多項式只能是：m（）=（）（）或m（）= f（）又因m（A）= =0 便知A的最小多項式為：m（）=（）（）（3）設(shè)A= 則A的特征多項式為：f（）=

5、= = = 故A的最小多項式只能是m（）= 、又因m（A）=A0 且m（A）=A2=0 便知A的最小多項式為：m（）= 正確100分，但是最好用不同的方法計算7.將下列-矩陣化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。（1）解： （2）解： （3）解： (4)解: (5)解: 90分，要分解因式8、 求下列矩陣的smith標(biāo)準(zhǔn)形（1） （2） （3）解、 (1)初級因子：(2)初級因子：（3）初級因子： 9題：證明：根據(jù)哈密頓-開萊定理 （1）即 (2)在式1中如果我們令就能得到對于可逆矩陣A我們可以知道所以于是對于式2兩邊同時乘以得到即 正確100分10. 設(shè),證明:B=2A4-12A3+19A2-29A+37E

6、為可逆矩陣,并求A+2E的逆矩陣.證明:因A的特征多項式為,則.再取多項式,用去除可得:其中.則為可逆矩陣.正確又,即.正確100分11.若A,B均為n階方陣,又E-AB可逆,證明:(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A.證明:因為( E+B(E-AB)-1A)(E-BA) =( E-BA+ B(E-AB)-1A(E-BA) = E-BA+ B(E-AB)-1 (A- ABA) = E-BA+ B(E-AB)-1(E-AB)A = E-BA+BA = E所以E-BA可逆,且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A正確100分12.若A滿足,證明A可與對角矩陣相似。 則 由等式，得A的特征值一定是-2或1取 則則是矩陣A的零化多項式最小多項式 由矩陣A的任何零化多項式都被其最小多項式所整除最小多項式必定是多項式的因子故A的最小多項式只有三種可能：或或，不論如何一定是的因子，故無重根。A一定是可以上三角化的，,其中U和W是對角元分別是-2和1上三角陣。再選取適當(dāng)?shù)腎 X; 0 I型的變換可以把約化到分塊對角陣