棱柱-棱錐-棱臺(tái)的定義及特點(diǎn)匯編

1、 多面體概念多面體概念 由若干個(gè)平面多邊形圍成的封閉體稱為多面體。由若干個(gè)平面多邊形圍成的封閉體稱為多面體。 圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為圍成多面體的各個(gè)多邊形稱為多面體的面多面體的面， 食鹽食鹽明礬明礬石膏石膏 兩個(gè)面的公共邊叫做兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱多面體的棱， 棱與棱的公共點(diǎn)叫做棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)多面體的頂點(diǎn)。 多面體分類多面體分類 按多面體面數(shù)分為四面體、五面體、六面體等按多面體面數(shù)分為四面體、五面體、六面體等 定義：有兩個(gè)面互相平行且全等，且不在這兩定義：有兩個(gè)面互相平行且全等，且不在這兩 個(gè)面上的棱互相平行，這樣的多面體叫做個(gè)面上的棱互相平行，這樣的多面體叫做棱柱棱

2、柱 不在底面上的棱叫做不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱棱柱的側(cè)棱 兩個(gè)互相平行的平面叫做兩個(gè)互相平行的平面叫做棱柱的底面棱柱的底面， A A B BC C D D D D1 1 E E1 1 A A1 1 B B1 1 C C1 1 E E H H 其余各面叫做其余各面叫做棱柱的側(cè)面棱柱的側(cè)面 兩個(gè)底面的距離叫做兩個(gè)底面的距離叫做棱柱的高棱柱的高 不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線 叫做棱柱的叫做棱柱的對(duì)角線對(duì)角線， 棱柱棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱的結(jié)構(gòu)特征 D AB C E F F A E D B C （1）底面互相平行。 （2）側(cè)面是平

3、行四邊形。 （3）側(cè)棱相互平行。 由定義知由定義知(1),(3)顯然成立顯然成立 由于底面互相平行，所以底由于底面互相平行，所以底 面與側(cè)面的交線互相平行面與側(cè)面的交線互相平行 由于側(cè)棱互相平行，所以側(cè)由于側(cè)棱互相平行，所以側(cè) 面是平行四邊形面是平行四邊形 以上為構(gòu)成棱柱的以上為構(gòu)成棱柱的3個(gè)條件，缺一不可個(gè)條件，缺一不可 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形 的幾何體是棱柱嗎？的幾何體是棱柱嗎？ 答：答：不一定是不一定是如右圖所示，不是棱柱如右圖所示，不是棱柱 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四 邊形的幾何體是棱柱嗎？

4、邊形的幾何體是棱柱嗎？ 答：答：不一定是不一定是如右圖所示，不是棱柱如右圖所示，不是棱柱 2兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形； 3過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形 1側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形； 1按底面分：按底面分： 棱柱的分類棱柱的分類 當(dāng)?shù)酌媸侨切危倪呅?，五邊形時(shí)，可以把棱柱當(dāng)?shù)酌媸侨切?，四邊形，五邊形時(shí)，可以把棱柱 分為三棱柱，四棱柱，五棱柱分為三棱柱，四棱柱，五棱柱 側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱。 側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做

5、側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱直棱柱。 底面是正多邊形的直棱柱叫做底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱。 2、按側(cè)棱與底面位置關(guān)系、按側(cè)棱與底面位置關(guān)系 (1)直棱柱的每一個(gè)側(cè)面都是直棱柱的每一個(gè)側(cè)面都是 正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是 (2)過直棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是過直棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是 矩形矩形 全等的矩形全等的矩形 矩形矩形 練習(xí)練習(xí) 1、判斷下列命題是否正確：、判斷下列命題是否正確： A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱； B.有一個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱是直棱柱；有一個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱是直棱柱； C.有一條側(cè)棱垂直于底

6、面的兩條邊的棱柱是直棱柱；有一條側(cè)棱垂直于底面的兩條邊的棱柱是直棱柱； 2、一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是：、一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是： A.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形；底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形； B.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面；底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面； C.底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直；底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直； D.每個(gè)側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱每個(gè)側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱 D 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，截面如圖，截面BCEFBCEF將長方體分割成將長方體分割成 兩部分，這兩部分是否為棱柱？兩部分，這

7、兩部分是否為棱柱？ A B C D A1B1 C1 D1E F 平行六面體：底面是平行四邊形平行六面體：底面是平行四邊形 的四棱柱的四棱柱 直平行六面體：側(cè)棱與底面直平行六面體：側(cè)棱與底面 垂直的平行六面體垂直的平行六面體 長方體：底面是矩形的直平長方體：底面是矩形的直平 行六面體行六面體 正方體：棱長都相等的長方體正方體：棱長都相等的長方體 特殊的四棱柱特殊的四棱柱 定理定理1 1、平行六面體的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且在交、平行六面體的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且在交 點(diǎn)處互相平分點(diǎn)處互相平分 A B D A B D O C C 平行六面體的性質(zhì)平行六面體的性質(zhì) 定理定理2、長方體的一條體對(duì)角線長的平方

8、等于一個(gè)、長方體的一條體對(duì)角線長的平方等于一個(gè) 頂點(diǎn)上三條棱長的平方和頂點(diǎn)上三條棱長的平方和 BC A D B C AD 111 111 1, , ABCABCACRt AAABABBC 、已知：直三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰且 求與所成的角. C1 B1A1 C AB D1 D 割補(bǔ)法 60 C B B1 A1C1 A 111111 2 . ABCABCCBAABB、在正三棱柱中，各條棱長均相等，求直線與平面 所成角 D 2a 5a 3a 15 arctan 5 1111 1 32, . ABCABCABAADAB DABC 、如圖，正三棱柱中， 是的中點(diǎn)求二面角 的大小 B1 C1 B

9、AC A1 D E a 2a 3a DAB B1 E 1 DE BB 5 5 5 5 a arctan 15 短短線線路路的的長長 的的最最到到求求沿沿著著長長方方體體的的表表面面自自 中中，例例：在在長長方方體體 C1Ac,bac,BB1 b,BCa,ABA1B1C1D1-ABCD BC A D B C AD AB CD 1A 1B 1C 1D 下下列列三三種種可可能能： 有有將將長長方方體體相相鄰鄰兩兩面面展展開開 A B 1B1A C 1C ab AB 1B 1A 1D 1C a b c A B C D 1B 1C a c b 知識(shí)探究（三）：知識(shí)探究（三）： 棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐的結(jié)構(gòu)特

10、征 思考思考1 1：我們把下面的多面體取名為棱我們把下面的多面體取名為棱 錐，你能說一說棱錐的結(jié)構(gòu)有那些特征錐，你能說一說棱錐的結(jié)構(gòu)有那些特征 嗎？據(jù)此你能給棱錐下一個(gè)定義嗎？嗎？據(jù)此你能給棱錐下一個(gè)定義嗎？ 棱錐的概念棱錐的概念 定義：定義：如果如果一個(gè)多面體有一個(gè)多邊形的面一個(gè)多面體有一個(gè)多邊形的面，且不且不 在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共頂點(diǎn)在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)多，那么這個(gè)多 面體叫做面體叫做棱錐棱錐 S AB C D E O 這個(gè)多邊形叫做這個(gè)多邊形叫做棱錐的底面棱錐的底面,其余各其余各 面叫做面叫做棱錐的側(cè)面，側(cè)面都是三角形棱錐的側(cè)面，側(cè)面都是三角形 不在底面上的棱叫

11、做不在底面上的棱叫做棱錐的側(cè)棱棱錐的側(cè)棱 側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)棱錐的頂點(diǎn)， 頂點(diǎn)與底面之間的距離叫做頂點(diǎn)與底面之間的距離叫做棱錐的高棱錐的高 棱錐的表示棱錐的表示 用頂點(diǎn)及底面各頂點(diǎn)字母表示棱錐用頂點(diǎn)及底面各頂點(diǎn)字母表示棱錐,如：如： 五棱錐五棱錐SABCDE 思考思考3 3：下列多面體都是棱錐嗎？如何用下列多面體都是棱錐嗎？如何用 符號(hào)表示？如何在名稱上區(qū)分這些棱錐？符號(hào)表示？如何在名稱上區(qū)分這些棱錐？ A B C S S A B C D S A B C E F D 2.2.記法：記法：(1)(1)棱椎棱椎S-ABCDS-ABCD(2)(2)棱椎棱椎S-ACS-AC 3

12、.3.分類：分類： 三棱椎、四棱椎、五棱椎等三棱椎、四棱椎、五棱椎等 三棱椎又叫做四面體三棱椎又叫做四面體 思考思考4 4：一個(gè)棱錐至少有幾個(gè)面？一個(gè)一個(gè)棱錐至少有幾個(gè)面？一個(gè)N N 棱錐分別有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少棱錐分別有多少個(gè)底面和側(cè)面？有多少 條側(cè)棱？有多少個(gè)頂點(diǎn)？條側(cè)棱？有多少個(gè)頂點(diǎn)？ 至少有至少有4 4個(gè)面；個(gè)面；1 1個(gè)底面，個(gè)底面，N N個(gè)側(cè)個(gè)側(cè) 面，面，N N條側(cè)棱，條側(cè)棱，1 1個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn). . 一個(gè)三棱柱可以分割成幾個(gè)三棱錐？一個(gè)三棱柱可以分割成幾個(gè)三棱錐？ B A B1 C C1 A1 B1 C C1 A1 B B1 C A1 B AC A1 特殊的棱錐正棱錐特殊的

13、棱錐正棱錐 定義：如果棱錐的底面是定義：如果棱錐的底面是正多邊形，正多邊形，并且底并且底 面面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面，這樣的棱，這樣的棱 錐叫錐叫正棱錐正棱錐 正三棱錐（正四面體）正三棱錐（正四面體）正五棱錐正五棱錐 (正多邊形的外接圓正多邊形的外接圓(內(nèi)切圓內(nèi)切圓)圓心叫正多邊形中心圓心叫正多邊形中心) 正棱錐的性質(zhì)正棱錐的性質(zhì) （）、各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。（）、各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底邊上的高相等，叫做正棱錐的各等腰三角形底邊上的高相等，叫做正棱錐的斜高斜高 （）、正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影（）、正棱

14、錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影 組成組成 一個(gè)一個(gè)直角三角形直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在；正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在 底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形直角三角形。 （）、正棱錐側(cè)棱與底面所成的（）、正棱錐側(cè)棱與底面所成的 角角 都相等，側(cè)面與底面所成的二面都相等，側(cè)面與底面所成的二面 角都相等角都相等 練習(xí)：判斷題練習(xí)：判斷題 1、一個(gè)三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么、一個(gè)三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么 他的三個(gè)側(cè)面都可能是直角三角形他的三個(gè)側(cè)面都可能是直角三角形 2、側(cè)棱與底面所成角相等的棱錐是正棱錐、側(cè)棱與底面所成角相等的棱錐是正棱錐 3、相鄰兩

15、側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐、相鄰兩側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐 4、側(cè)棱長相等，各側(cè)面與底面所成的角相等的棱錐、側(cè)棱長相等，各側(cè)面與底面所成的角相等的棱錐 是正棱錐是正棱錐 5、三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐是正三棱、三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐是正三棱 錐錐 B B1 1 A A1 1 C C1 1 D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 D D1 1 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐， 底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)。底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)。 棱臺(tái)的概念棱臺(tái)的概念 知識(shí)探究（四）：知識(shí)探究（四）：棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 特征特征：有兩個(gè)面是互相平有兩個(gè)面是互相平 行的相似多邊形，其余各行的相似多邊形，其余各 面都是梯形，每相鄰兩個(gè)面都是梯形，每相鄰兩個(gè) 梯形的公共腰的延長線共梯形的公共腰的延長線共 點(diǎn)點(diǎn). 思考：思考：參照棱柱的說法，棱臺(tái)的底面、參照棱柱的說法，棱臺(tái)的底面、 側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)分別是什么含義？側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)分別是什么含義？ 下底面：下底面：原棱錐的底面，原棱錐的底面，上底面上底面