直線系方程匯編

1、 直線系方程的分類直線系方程的分類 直線系方程的定義直線系方程的定義 直線系方程的應用直線系方程的應用 課堂結構 一、直線系方程的定義一、直線系方程的定義 直線系直線系： 具有某種共同性質(zhì)的所有直具有某種共同性質(zhì)的所有直 線的集合線的集合. .它的方程叫直線系它的方程叫直線系 方程方程。 二、直線系方程的種類二、直線系方程的種類1 1: : 1 1: :與直線與直線L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直線系方程為：平行的直線系方程為： Ax+By+m=0 Ax+By+m=0 （其中（其中mCmC，m m為待定系數(shù)）為待定系數(shù)）； y o x 直線系方程的種類直線系方程的種類2 2

2、: : 2:與直線與直線L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直線系方程為垂直的直線系方程為: : Bx-Ay+m=0 Bx-Ay+m=0 （m m為待定系數(shù)）為待定系數(shù)）. . y x o 直線系方程的種類直線系方程的種類3 3: : 3. . 過定點過定點P P（x x0 0，y y0 0）的直線系方程為：）的直線系方程為： A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 0 設直線的斜率為設直線的斜率為 A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 (1)0 (1) )( 00 xx B A yy y-yy-y0 0k(x-xk(

3、x-x0 0) (2) (2) 說明說明:(2)比比(1)少一條直線少一條直線 即即:(2)應考慮應考慮k不存在的情況不存在的情況 y x o 問題：問題： 若直線若直線L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與直線與直線L L2 2： A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交點為相交，交點為P P（x x0 0，y y0 0），則），則 過兩直線的交點的直線系方程為：過兩直線的交點的直線系方程為： m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n( A)+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0 其中其中

4、m m、n n為待定系數(shù)為待定系數(shù). . 證明：證明： ,0 x A0CyBxA),(x 22211100 的的交交點點與與是是設設 CyBy , 0 xA0CyBxA :,),(x 2020210101 00 CyB y 且且 得得入入二二方方程程代代 所以所以m(Am(A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0 直線直線m(A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0 經(jīng)過點

5、（經(jīng)過點（x0，y0） 直線系方程的種類直線系方程的種類4 4: : 4. 若直線若直線L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與直線與直線L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0 相交，交點為相交，交點為P P（x x0 0，y y0 0），則過兩直線的交點的），則過兩直線的交點的 直線系方程為直線系方程為:m(A:m(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1 )+n( A )+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(1),)=0(1), 其中其中m m、n n為待定系數(shù)為待定系數(shù). . A A1 1x+Bx+

6、B1 1y+Cy+C1 1 +k( A +k( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(2) )=0(2) 其中其中k k為待定系為待定系 數(shù)數(shù). .方程方程(2)(2)比比(1)(1)少一條直線。少一條直線。 y o x 例例.求證：無論求證：無論m m取何實數(shù)時，直線取何實數(shù)時，直線 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點，恒過定點， 并求出定點的坐標。并求出定點的坐標。 0144 0104 x y 解法解法2：令 令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 2 5 2 7 y

7、 x 解得：解得： 所以直線恒過定點所以直線恒過定點 2 5 , 2 7 又因為又因為: 3.5(m-1)- (m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0 三、直線系方程的應用三、直線系方程的應用: : 例例1.求證：無論求證：無論m m取何實數(shù)時，直線取何實數(shù)時，直線 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點，恒過定點， 并求出定點的坐標。并求出定點的坐標。 0)1(113 yxmyx 解法解法1： 將方程變?yōu)椋簩⒎匠套優(yōu)椋?解得： 01 0113 yx yx 2 5 2 7 y x 即： 故直線恒過故直

8、線恒過 2 5 , 2 7 若證明一條直線恒過定點或求一條直線必若證明一條直線恒過定點或求一條直線必 過定點，通常有兩種方法：過定點，通常有兩種方法： 方法小結：方法小結： 法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特 殊直線求出交點，再證明其余直線均過此殊直線求出交點，再證明其余直線均過此 交點。交點。 法一法一: :分離系數(shù)法，即將原方程改變成：分離系數(shù)法，即將原方程改變成： f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立與的形式，此式的成立與 m m的取值無關，故從而解出定點。的取值無關，故從而解出定點。 例例2: 求過

9、兩直線求過兩直線x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=0 x+y-2=0的交點，的交點， 且滿足下列條件的直線且滿足下列條件的直線L L的方程。的方程。 (1) (1) 過點過點(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直線和直線3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。 0)2(42 yxyx 代（代（2，1）入方程，得：）入方程，得： 4 所以直線的方程為：所以直線的方程為： x+2y-4=0 解（解（1）：設經(jīng)二直線交點的直線方程為：）：設經(jīng)二直線交點的直線方程為： 0)212(422 例例2: 求過兩直線求過兩直線x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=

10、0 x+y-2=0的交點，的交點， 且滿足下列條件的直線且滿足下列條件的直線L L的方程。的方程。 (1) (1) 過點過點(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直線和直線3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。 0)24()2()1( yx 解得：解得： 2 1 k 由已知：由已知：1 4 3 2 1 11 故所求得方程是：故所求得方程是： 4x+3y-6=0 解（解（2）：將（）：將（1）中所設的方程變?yōu)椋海┲兴O的方程變?yōu)椋?本題采用先用直線系方程表示所本題采用先用直線系方程表示所 利用待定系數(shù)法來求解利用待定系數(shù)法來求解. 函數(shù)或曲線類型問題中函數(shù)或曲線類型問題中,我們

11、都可以我們都可以 這種方法稱之為待定系數(shù)法這種方法稱之為待定系數(shù)法,在已知在已知 待定常數(shù)待定常數(shù),從而最終求得問題的解從而最終求得問題的解. 求直線方程求直線方程,然后再列式然后再列式,求出方程的求出方程的 方法小結：方法小結： 練練 習習 1 1 一一. 已知直線分別滿足下列條件，求直線的方程：已知直線分別滿足下列條件，求直線的方程： _: 09-2yx032y-x.1 的的直直線線方方程程是是 的的交交點點和和原原點點和和過過兩兩直直線線 _:042-3 ,02-4yx30103y-x2.2 的的直直線線是是且且垂垂直直于于直直線線 的的交交點點和和過過兩兩直直線線 yx _:073-4

12、 ,012yx08yx2.3 的的直直線線是是且且平平行行于于直直線線 的的交交點點和和過過兩兩直直線線 yx _: ,02y-x332xy.4 直直線線方方程程是是且且垂垂直直于于第第一一條條直直線線的的 的的交交點點和和過過兩兩直直線線 y=x 2x+3y-2=0 4x-3y-6=0 x+2y-11=0 5 5若直線方程為若直線方程為(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求證：無論求證：無論m m為何值時，所給直線恒過定點。為何值時，所給直線恒過定點。 05218)-3ym(2x yx 得: 052 01832 yx yx 解得: 2

13、/9 4 y x 所以無論所以無論m為何值為何值,直線均經(jīng)過定點直線均經(jīng)過定點(4,9/2) 解解: 將方程化為將方程化為: 兩條直線方程相乘可以構成一個二元二次方程兩條直線方程相乘可以構成一個二元二次方程, 如如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得: x2 +xy-2y2-x+y=0 那么那么,反過來反過來,如果已知一個二元二次方程是由如果已知一個二元二次方程是由 兩條直線的方程相乘所得兩條直線的方程相乘所得,我們也可以先設出這我們也可以先設出這 兩條直線的方程兩條直線的方程,再利用待定系數(shù)法求出它們再利用待定系數(shù)法求出它們. 請看下面的例子請看下面的例子: 四、

14、一個二次方程表示四、一個二次方程表示 兩條直線的問題兩條直線的問題: : 例例3:問問k k為何值時，方程為何值時，方程3x3x2 2+2xy-y+2xy-y2 2+7x-5y+k=0+7x-5y+k=0 表示兩條直線？表示兩條直線？ 解（待定系數(shù)法）：將方程化作：解（待定系數(shù)法）：將方程化作： 0)57()(3( kyxyxyx 設：設：0)(3( nyxmyx 則則0)()3()(3( mnnmynmxyxyx 所以：所以： kmn nm nm 5 73 解得：解得： 6 3 2 mnk n m 即：即：k= -6 時方程表示兩條直線。時方程表示兩條直線。 1方程方程x x2 2-y-y2 2=0=0表示的圖形是：表示的圖形是： 2直線系直線系6x-4y+m=06x-4y+m=0中任一條直線與直線中任一條直線與直線 系系2x+3y+n=02x+3y+n=0