線性代數(shù)與解析幾何-序言完整版

1、 2 3 4 5 基本理論基本理論 ( 定理、公式定理、公式) 基本方法基本方法 ( 計算、證明計算、證明) 6 7 1. 2. 11:50 13:30. 3. 9:00 16:00. 8 哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室 王寶玲王寶玲 9 10 設二元線性方程組為設二元線性方程組為 n 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 11221221 0a aa a其中其中 行列式是一種算式行列式是一種算式, ,是根據(jù)線性方程是根據(jù)線性方程 組求解的需要引進的組求解的需要引進的. .也是一個基本的數(shù)也是一個基本的數(shù) 學工具學工具, ,有很多有很多問題問

2、題 的解決都離不開行列式的解決都離不開行列式. . 11 對方程組用加減消元法求出解對方程組用加減消元法求出解: : 122122 1 11221221 112121 2 11221221 b aab x aaaa abb a x aaaa 此解不易記憶，因此有必要引進新的此解不易記憶，因此有必要引進新的 符號符號“行列式行列式”來表示解來表示解 如果定義二階行列式如下如果定義二階行列式如下( (）：）： 1112 2122 aa D aa 11221221 a aa a0 12 12 12 , DD xx DD 112 11 2212 2 222 ba Dbaa b ba 111 211 2

3、121 212 ab Da bba ab D 0 13 12 12 351 22 xx xx 35 1 2 D 1 1 5 8 2 2 D 2 31 7 1 2 D 則方程組的解為則方程組的解為 1 1 2 2 8 11 7 11 D x D D x D 3 25 ( 1)110 14 ( (） 111213 212223 313233 aaa D aaa aaa 11 11221331 21 12222332 31 13223333 a xa xa xb a xa xaxb a xa xa xb 112233122331132132 a a aa a aa a a D 0 132231122

4、133112332 a a aa a aa a a 15 312 122 , DDD xxx DDD 11213 122223 33233 , b aa Db aa b aa 3 0 4 1 1 2 2 1 0 4 1 14 1 23 2 1 10 11113 221223 31333 , ab a Dab a ab a 11121 321222 31323 aab Daab aab 16 n 1,2, , n n 12n j jj 1 ,2 ,3 12 nn 共有共有 種種!nn 17 1 2n j jj 12 (). n j jj 12 () n j jj 12 () n j jj 18

5、(12)n ( (1)21)n n (1)(2)1nn 1 (1) 2 n n (23541) 23541 4 15 0 19 ()()1jiij 11ss ikk jjkk i 2s+1 20 奇排列奇排列 s 個個 偶排列偶排列 t 個個 ts ts n 有有s s( (t t) )個奇?zhèn)€奇( (偶偶) )排列排列!n n ! 2 n st !stn 21 1 2 3 123 1 2 3 111213 () 212223123 313233 ( 1) j j j jjj j j j aaa aaaa aa aaa n 22 1 11 21 2 12 22 12 n n nnn n aaa

6、aaa aaa 12 12 12 () 12 (1) n n n j jj jjnj j jj aaa 記一階行列式記一階行列式 1111, aa ( ) ij a 或或,det(). ijij n Daa 22. n 23 n! n 2 n 24 11 22 nn a a a 1 n ii i a 11121 222 n n nn aaa aa a 11 2122 12nnnn a aa aaa 1122nn a aa 25 11 (12) 2122 1122 12 ( 1) n nn nnnn a aa a aa aaa 12 121122 n jjn jnn aaaa aa 12 (1,

7、2,) n jjjn 1122nn a aa 26 1 2 1 n n a a a a 1 2 1 * * * n n a a a a 1 2 1 * * * n n a a a a (1) 2 121 ( 1) n n nn a aaa 27 12n a aa 當當 n=4,5 時時: 41234512345 ,Daa a aDaa a a a 當當 n=6,7 時時: 616717 ,DaaDaa 1 12212 12 nnn i ki ki kjjnj aaaaaa 1 21212 ()()() ( 1)( 1) nnn i iik kkj jj 28 1 2 12 1 2 () 12

8、( 1) n n n i ii iii n i ii a aa 1 11 21 2 12 22 12 n n nnn n aaa aaa aaa 29 11211 12222 12 n n nnnn aaa aaa D aaa T D DD T ij n Da， n ab Dadbc cd ac D b d T 30 ( () ) 11121 12 12 12 n iiin jjjn nnnn aaa aaa aaa aaa 11121 12 12 12 n jjjn iiin nnnn aaa aaa aaa aaa 31 11121 12 12 12 0 n iiin iiin nnnn

9、aaa aaa aaa aaa 兩行兩行( (列列) )同值為零同值為零, ,即即 32 kk n iiin nnnn aaa kakaka aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa k aaa aaa 11121 12 12 kD 33 1545 23 1 1 15 3 21 ()4512135 k k 34 35 11121 1122 12 n iiiiinin nnnn aaa ababab aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa aaa aaa 11121 12 12 n iiin nnnn aaa bbb aaa 36 4141 2001

10、0021 41 20299 2006194 4141 100 2121 41 20021001 37 ( () ) n ijijinjn jjjn nnnn aaa akaakaaka aaa aaa 11121 1122 12 12 11121 12 12 12 n iiin jjjn nnnn aaa aaa aaa aaa 38 性質性質1 性質性質2 推論推論 性質性質3 推論推論 性質性質4 性質性質5 換行換行( (列列) )變號變號. 兩行兩行( (列列) )同同，值為零值為零. 某行某行( (列列) )乘數(shù)乘數(shù) k=kD. 兩行兩行( (列列) )成比例成比例, ,值為零值為零

11、. D可按某行可按某行(列列)分拆成兩行列式之和分拆成兩行列式之和. D某行某行(列列)乘數(shù)乘數(shù) k 加至另行加至另行(列列), 行列式值不變行列式值不變. () () () () .DD T 39 1234 2347 1258 13510 D 1234 0121 0024 0126 D 13 14 12 ( 2) rr rr D rr 40 1234 0121 0024 0005 10 24 rr 41 x4 221;1 212 111 020 01 xx x D x xx x4 ( 1) (4321) a14a23a32a41=2x4 42 已知已知 計算計算 , 111 222 333

12、abc abca abc 111 222 333 acb acbb acb 112233 123 112233 222 333 aaaaaa Dbbb cbcbcb 43 112233 123 123 222aa aa aa bbb ccc D 112233 123 123 222aa aa aa bbb ccc 112233 123 123 222 333 aa aa aa bbb bbb 44 2ab 123 123 123 aaa bbb ccc 123 123 123 222aaa bbb ccc 111 222 333 abc abc abc 111 222 333 2 acb ac

13、b acb 45 下面討論將下面討論將n階行列式轉化為階行列式轉化為n-1-1階行階行 列式計算的問題列式計算的問題, , 即即 ij a ( 1)i j ijij AM ij n Da n i j ij M ; ; ij a n-1-1, , ij a ( 1)i j ijij AM 46 ij M 1111 1 1 jn iijin nnjnn aaa aaa aaa 47 1234 2347 1258 135 10 D 11 M 在行列式在行列式 中中 347 25811 3510 ， 1 1 1111 ( 1)11 AM 21 M 234 25812 3510 ， 2 1 2121 (

14、 1)12 AM 48 D i ij a ijij Da A 行行( (列列) )的所有元素與其對應的代數(shù)的所有元素與其對應的代數(shù) 余子式的乘積之和余子式的乘積之和, , 即即 1122 (1,2, ) iiiiinin Da Aa Aa A in 1122 (1,2, ) jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn ij n Dan階行列式階行列式 等于它的任意一等于它的任意一 49 11121 12 12 00000 00 n iiin nnnn aaa Daaa aaa 1122 (1,2, ) iiiiinin a Aa Aa A in 50 1122 , 0, ijijninj Di

15、j a Aa Aa A ij 1122ijijinjn a Aa Aa A n階行列式階行列式 , ,則則 ij n Da 0 D ij ij 51 11121 12 12 12 n iiin iiin nnnn aaa aaa G aaa aaa 及降階法將及降階法將 G G 按按 j j 行展開有行展開有 G 0 0 1122ijijinjn a Aa Aa A i j 52 1.利用利用n階行列式的定義計算階行列式的定義計算; n 53 n () n x a aa ax aa Da axa a a ax 54 1 (2,3, , ) (1) (1) (1) (1) i cc in n x

16、naaaa xnaxaa Dxnaaxa xnaaax 1 1 (1) 1 1 aaa xaa xnaaxa aax 55 1( :2,3, , ) 1 000 (1) 000 000 j rr jn aaa x a xnax a x a 1 (1) () n xna xa 56 11 22 11 n nn nn ab ab D ab ba n （） 1 121 21 ( 1) n nnnn Da aab bbb 1 121 21 ( 1) n nnn a aabbbb 57 n+1+1( () ) 012 i din， ， ， 012 11 22 n nn aaaa bd Dbd bd 58

17、 012 11 22 n nn aaaa bd Dbd bd 59 1 012 1 1 2 0 0 0 bj j dj n kk n cc k k n a b aaaa d d D d d 012 1 () n kk n k k a b ad dd d 12 , n d dd當當 全不為零時全不為零時 60 1 1 1 1 n D 證明證明n階階( () )行列式行列式 nn11 61 n n=2 2 1 D 結論成立結論成立. . () 2 33 n=1 D 22 1 結論成立結論成立. . 1 。 62 則對于則對于n階行列式階行列式 按第一行展開有按第一行展開有 n D 設設n-1, -

18、1, n-2-2時結論成立時結論成立, , 12 () nnn DDD 11nnnn 11nn a 2 。 63 123 2222 123 1 1111 123 1111 () n nnij j i n nnnn n xxxx Vxxxxxx xxxx (2)n 64 n=2 V xx 2 12 11 結論成立結論成立. . 假設對假設對n-1-1階行列式結論成立階行列式結論成立, ,下證下證n階成立階成立 xx 21 () ij j i xx 12 n 65 21311 ()()() nn Vxxxxxx 23 222 23 111 n nnn n xxx xxx 21311 2 ()()(

19、)() nij j i n xxxxxxxx 1 () ij j i n xx 213111 ()()() nn xxxxxx V 66 213111 ()()() nnn Vxxxxxx V 1324222 ()()() nnn Vxxxxxx V 21nn Vxx 32122 ()() nnnn VxxxxV 67 n 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系數(shù)行列式不等于零，的系數(shù)行列式不等于零， (1) n n 68 即即 12 12 , n n DDD xxx DDD 1112

20、1 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 則方程組則方程組(1)(1)只有唯一解只有唯一解, ,且其解為且其解為 69 11111111 21212212 111 jjn jjn j nnjnnjnn aabaa aabaa D aabaa D j D 其中其中 是把的是把的 的第的第j j 列各元素依列各元素依 次換成方程組次換成方程組(1)(1)右端的常數(shù)項所得到右端的常數(shù)項所得到 的的n階行列式階行列式, ,即即 70 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa

21、x 如果如果n元齊次線性方程組的系數(shù)元齊次線性方程組的系數(shù) 行列式不等于零，即行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 此方程組只有唯一零解此方程組只有唯一零解, ,即即 12 0. n xxx 71 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 如果如果n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 有非零解有非零解, ,則系數(shù)行列式等于零則系數(shù)行列式等于零, ,即即 7

22、2 123 123 123 1 20 353 xxx xxx xxx 1 11 1 2120 3 51 D 73 1 1 11 0 212 3 51 D 2 1 11 1 012 3 31 D 3 1 1 1 1 2 02 3 5 3 D 312 123 1,1,1 DDD xxx DDD 74 典型例題典型例題 75 D D 若若4 4階行列式階行列式D的某一行的所有元素及其的某一行的所有元素及其 余子式都相等余子式都相等, ,則則D = . . nD D 2 nn 0 0 0 76 不計算行列式值，利用性質證明不計算行列式值，利用性質證明 2 ( )213 331 xx f xx x 2

23、213(1)(2)(3) 331 xx xxxx x 77 332 ( 3)2230 332 f 由于由于 ( )f x是是 的三次多項式的三次多項式, ,且且x 1 1 2 (1) 2 2 3 0, 3 3 2 f 2 2 2 (2)2 3 30 3 3 3 f 78 因此有因此有 2 213(1)(2)(3) 331 xx xxxx x 注注 的系數(shù)為的系數(shù)為1.x 3 79 1111 1111 1111 1111 a a D b b 80 21 43 00 1 111 00 111 1 aa rra D rrbb b 1100 1111 0011 1111 a ab b 12 14 11

24、00 011 0011 001 1 rr a ab rr b 22 34 1100 011 0011 000 a rr aba b b 81 計算行列式計算行列式: : 1234 1234 1234 1234 xaaa axaa aaxa aaax D () ii xa 82 1234 1234 1234 1234 1234 1 0 0 0 0 aaaa xaaa Daxaa aaxa aaax 此行列式用加邊法計算此行列式用加邊法計算, ,即即 83 (2, 3, 4, 5) 1234 11 122 33 44 1 1000 1000 1000 1000 i i aaaa xa rrxa xa xa 84 44 11 (1)() i ii ii ii a xa xa 4 1234 1 11 22 33 44 1 0000 0000 000