解三角形題型總結(jié)(原創(chuàng))

1、解三角形題型總結(jié)AABC中的常見結(jié)論和定理: 一、 角和定理及誘導公式：1. 因為 A + B + C = 7T9 所以 sin(A + B) = sin C, sin(A + C) = sin B、 sin(B + C) = sin A, cos(A + 3) = cos C, cos(4 + C) = -cos B、 cos(B + C) = -cos A. tan(A + 3) = tan C ； tan(71 + C) = tan B : tan(B + C) = tan A因為A+B+C n2I所以sin2A + B . Ccos= sin 2 22. 大邊對大角3. 在ZkABC

2、中，熟記并會證明 tanA+tanB+tanC=tan/ tanB tanC；(2) A、B, C成等差數(shù)列的充要條件是B=60 :(3) AABC是正三角形的充要條件是兒B. C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.二、正弦定理: 文字：在AABC中，各邊與其所對角的正弦的比值都相等。符號：亠亠二丄=2Rsin A sin B sinC公式變形：a = 2/?sin4 b = 2RsinB c = 2/?sinC(邊轉(zhuǎn)化成角)sin咗sin嗨sinC遙(角轉(zhuǎn)化成邊)a :/?:(? = sin A: sin 3: sin Ca + b + csin A + sin 3 +sin Csin Abs

3、in 3=2R sinC余弦定理:文字：在AABC中，任意一邊的平方，等于另外兩邊的平方和，減去這兩邊與它們夾角的符號:余弦值的乘積的兩倍。c2 =a2 +h2 - labcosCa2 =h2 +c2 -2Z?ccosAb2 =a2 +c2 - IciccqsBb +c2-a2a2 +c2-ba2 +b2-c2變形：cos A =cos B =cos C =2bclaclab四、面積公式：（1）S=uha（2） S = r（a+b + c）（其中r為三角形切圓半徑）（3） S =absinC = J-Z?csinA =2 2 2五、常見三角形的基本類型及解法：（1）已知兩角和一邊（如已知邊c）

4、解法：根據(jù)角和求出角C = -（A + B）；根據(jù)正弦定理-=- = - = 2R求出其余兩邊sin A sin B siiiC（2）已知兩邊和夾角（如已知ubC ）解法：根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC求出邊c；I 222根據(jù)余弦定理的變形cosA= +7 求A；2bc根據(jù)角和定理求角3 =兀一（4 + C）.（3）已知三邊（如：u、b、c ）.2 2 2解法：根據(jù)余弦定理的變形cosA=7 求A；2bc2 2 12根據(jù)余弦定理的變形cosB = +： 求角2ac根據(jù)角和定理求角C = -（A + B）（4）已知兩邊和其中一邊對角（如:a.b.A ）（注意討論解的情況）解法1：若

5、只求第三邊，用余弦定理：c2=a2+b2-2ahcosC ；解法2：若不是只求第三邊，先用正弦定理 = = = 2/?求B （可能出現(xiàn)一sin A sin B sinC解，兩解或無解的情況，見題型一）；再根據(jù)角和定理求角c=k（q+3）；.先看一道例題：例：在4A3C中，已知=石疋=2巧, =30,求角Q （答案：C = 45或135）六.在A4BC中，巳知則AABC解的情況為:A為銳角A為鈍角或直角圖形LAAKA/J、”7B/關(guān)系式a =b-sinAb-sinAa bab解的 個數(shù)一解兩解一解一解法一：幾何法（不建議使用）（注：表中，A為銳角時，若av/?sinA,無解；A為鈍角或直角時，若

6、ab 9無解.法二：代數(shù)法（建議使用）通過材子說明步驟：大角對大邊 結(jié)合 正弦走理 一起使用（見題型一）題型總結(jié)：題型一、利用正弦定理解決“兩邊一對角”的類型模型：在AABC中，已知邊和角A,若不是求第三邊c,用正弦定理。例1：在山3C中，已知=2,2血,45（,求zc。（答案：C = 30 ）例 2：在中，已知= 亍, = 30,求zc。（答案：C = 45或 135）a = 2. b =-. B = 3011例3：在中，已知2.求ZAo 答案：無解）例4： （3）在如3C中，已知=2上=1, = 30,求/A。（答案：一解）練習：1。在AABC中，已知u = b = *,B = 3解三角形

7、。2. 在MBC中，已知方=),c = 3,C = 45解三角形。23. 在AABC中，已知“ =J5,c = 4,A = 60。解三角形。題型二.利用正弦定理解決“巳知兩角一邊”的類型兩角一邊(兩角一對邊，兩角一夾邊)模型1：在AABC中，已知角和邊d,解三角形。模型2：在AABC中，已知角和邊C,解三角形。用正弦定理例題：。羽.邁+后=,得b = -=一聖一=邁+苗，再根據(jù)正弦定理 sin A sin Bsin AJ3T20返=，得c = = 22。綜上，A = 60,/? = y2 +、石,c = 2邁。sin A sinCsin A J3T題型三.利用余弦定理解決“巳知兩邊一夾角”的類

8、型模型：在AABC中，已知邊和角C,解三角形。用余弦定理例題1：在AABC中，已知a = l = 2,C = 60解三角形。解析:根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC.得c2 =12+22-2-1-2-1 = 3, 222 i 22/ /Z2所以c = J5,再根據(jù)余弦定理，得L =0, 2ac2-1-V3又因為 0B2 模型：已知邊a.b.c解三角形。根據(jù)余弦定理，cos A = +C , cosB =,2bclaccosC = -/-/-r-.,分別求得角A,B,C （或根據(jù)角和定理求得角C）。 lab例題1：在AABC中，已知 = 2“ = 4,c = 2j亍解三角形。胡爐 ip

9、 IO Z 宀十課 ZBd _+C 0 _ 4 +（2/3） -2 _ y/3 v rjn解祈:根據(jù)余弦疋理9 寸cosA = = .入因為2bc2-4-2V320（,A180,所以A = 30,再根據(jù)余弦定理，得cosB = 匚+匚1 =二=o,又0180,所以5 = 90,lac2-2-2V3再根據(jù)三角形角和定理，得C = 1800-（A + B） = 180-1200=60o綜上，A = 30, B = 90,C = 60o練習：1 在AABC中，已知a = V?,Z? = V,c=、6 + 一 解三角形。2題型五.利用余弦定理解決“巳知兩邊一對角”的類型模型：在AABC中，已知邊a,b

10、和角A,若只求第三邊c,用余弦定理。模型：在AABC中，已知邊“丄和角若不是只求第三邊6用正弦定理。例題：例題1：在AABC中，已知 = 2,c = JI,A = 45,求邊方。解析：根據(jù)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得22 =/?2 +（V2）2-2/?-V2cos45,既 X2b 2 = 0,解得 b = l + J3 或 =1一、你（舍去），練習：在zlABC中，已知b =石 = 2厲,8 = 30,求邊業(yè)（答案：“ =3土JJ）題型六、三角形面積例 1.在 A4BC 中，sinA + cosA = , AC = 29 AB = 39 求 tan A 的值和 4WC 的面 2

11、積。解：由sin A + cos A計算它的對偶關(guān)系式sin A-cos A的值。. sin A + cos A = (D2/. (sin A + cos A)2/. 2sinAcosA = -20 A0,cosA/3,Z? = 5.求 sinBsinC 的值.解：(I)由已知條件得：cos2A + 3cosA = 12cos2 A + 3cos A-2 = 0 t解得cosA = -9 角 A = 60。2(U) S = -bcsinA = 5/3 =c = 4,2由余弦定理得：/ = 21,(2/?)2 =- = 28sin Asin B sin C =be4p練習2.已知ZiABC的周長

12、為旋+1,且sin A + sinB = /2sinC(I)求邊43的長；(II)若厶ABC的面積為-sinC,求角C的度數(shù).6解：(I)由題意及正弦定理，得AB + BC + AC = 2 + , BC + AC = /iAB, 兩式相減，得AB = .(II)由厶ABC的面積-BCMCesinC = -sinC,得BCAC = -,263由余弦定理，得cosC =AC2+BC2-AB22AC.BC(AC + BC)2 - 2AC.BC - AB2 _ 12AC.BC,所以C = 60jr 練習3在ZXABC中，角A B, C對邊的邊長分別是g b, c,已知c = 2, C = -.3(I

13、 )若/XABC的面積等于侖，求“，b：(II)若sinC+sin(B-A) = 2sin2A,求厶ABC的面積.解：(I )由余弦定理及已知條件得，a2+b2-ab = 4t又因為4BC的面積等于JL 所以-absinC = y/39得=42聯(lián)立方程組/ 一 = 4解得a = 2, b = 2.ah = 4,(II )由題意得 sin(B + A)+sin(B A) = 4 sin A cos A ,艮;sin B cos A = 2 sin A cos A ,當 cos A = 0 時，A = , B = , a =, b =-,2633當cos AH 0時，得sinB = 2sinA ,

14、由正弦定理得b = 2a 聯(lián)立方程組a2+b2-ab = 4,b = 2cb所以3C的面積S = *bsinC = #題型七看到mbj想到余弦定理 例1：在川:中，8、 b、C分別是Z兒ZB、ZC的對邊長，已知方且ac -acbc.求的大小及的值。c分析：因給出的是。、b、C之間的等量關(guān)系，要求Z/I,需找Z/1與三邊的關(guān)系，故可用余bb sin B弦定理。由lf-ac可變形為=日，再用正弦定理可求 一的值。 cC解法一： 8二ac。又 cfc-acbct :匕+疋一說二be。在旳滋中，由余弦定理得：cosj +； 7 -孚詁2bc 2bc 2Z/f二60。在/!%中，由正弦定理得sin企竺巴

15、蘭，：6二込aZ/!二60 ,bsin B b2 sin 60解法二：在中，由面積公式得丄3csin/l= 3csino2 2：Z朋6(T , 方csiM二/sinB.竺昨=sin朋週。c2評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用 正弦定理。題型八：利用正、余弦定理判斷三角形形狀一邊角互化問題例 1.在MBC中，已知2sinAcosB = sinC,那么A4BC一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法 1：由 2sinAcosB = sinC=sin（/1+Q = sinJcosi?4-cos/lsi即 sin/fcosj?

16、cosJsin=0,得 sin（J=0,得 A=B.故選（B）解法2：由題意，得cosB=- = ,再由余弦定理，得834佇二匚二佇 2 sin A 2a2ac22 t2:.=上，即=成得尸乩故選（B）2ac2a評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷（如解法1）, 統(tǒng)一化為邊，再判斷（如解法2）.zy *tan A例2.在AASC中，若廠=丄丄，試判斷AABC的形狀。h tanB答案：故AABC為等腰三角形或直角三角形。練習1在AABC中，acosA = bcosJ3.判斷ZkABC的形狀。答案：AABC為等腰三角形或直角三角形。(1)練習2、在ABC中9a2sinB =

17、 b2 sinA,這個三角形是三角形。練習 3、在AABC中，a = csinA且sinC = 2sinAsinB,判斷AABC的形狀。題型九：三角形中最值問題R亠例1. AABC的三個角為A、B、C,求當A為何值時，cosA + 2cos 取得最大值,2并求出這個最大值?！?Ih B+C n B+C A解析：由 A+B+C二 n ,得所以有 cos二sing。B+C. A. A .A z 八cosA+2cos- =cosA+2sin-二 12sirT + 2sinj= 2(sin當sin* =占,即人冷 時，cosA+2cos竽取得最大值為|。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一

18、個角的三角函數(shù)的形式，通過三 角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。練習.設(shè)銳角AABC的角A、B、C的對邊為a、b、c , = 2/?sinA求ZB的大小。一6(2)求 cos A+sin C 的取值圍。(,)題型十.邊角互化問題例 1.在ABC 中，已知 2b=a+c,證明：2 sinB= sinA+ sinC例2、在AABC中，a、b、c分別是/L B、C的對邊，試證明：a = b cosC + c cosB例3 .已知e b, c為AABC的三個角A B, C的對邊，向量加=（、代一 1）,n = (cos Asin4) 若丄，且acosB+bcosA = csinC,則角 3 =例4、在AABC中，

19、已知BCp, AC二方，且 血b是方程x? -2屆 + 2 = 0的兩個根,2cos(A + B) = 1求:角C的度數(shù)(2)彳B的長例 5.已知 AABC 的周長為 V2+ 1,且 sin A + sin B = x/2 sin C . 求邊48的長；若ABC的面積為丄sin C ,求角C的度數(shù).,且 a cos 3 = 3, 求AABC的周長/6練習1 設(shè)AABC的角A, B, C所對的邊長分別為a b ./?sinA = 4. (1)求邊長a； (2)若AABC的面積S = 10, 練習2.在AABC中，角A B, C對邊的邊長分別是a b，c,已知c = 2, C =-3(I )若 A

20、ABC的面積等于 求 0 /?；(!)若sinC + sin(B-A) = 2sin2A，求 AABC的面積練習 3在 AABC 中 abc 分別為 ZA,ZB,ZC 的對邊，若2 sin A (cos B+cos C) = 3 (sin B+sin C),(1)求A的大?。?2)若u = 応,b + c = 9.求和c的值。在ZkABC中,因此，BD=3血+蟲20a 0.3%機題型十一：正余弦定理的實際應用例6. （2009卷文，理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面，B, D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75, 30%于水面C處測得B點和D點的仰角均為60. AC=0. lkmo試探究圖中B, D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B, D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km,運彩 1.414, x/6 2. 449）解：在ZkABC