高考數(shù)學(xué)兵法10招（8）打蛇“七寸”攻題“命門”

1、(8)打蛇“七寸”，攻題“命門” 傳說(shuō)人與蛇斗，要緊的是在距蛇頭七寸之處給予重?fù)簦纯梢粨舳蛊渲翑烂?，這是因?yàn)椤捌叽纭敝幨瞧湫呐K所在，蛇的心臟都癱瘓了，他還能夠逞兇嗎？這些道理移植到解題上，每個(gè)題都有其“七寸”之處，也就是題的“命門”.抓住了命門這樣的關(guān)鍵部位，解題也就不難了.【例1】如，下列不等式一定成立的是 （ ）【分析】從形式上看，題中的選項(xiàng)太復(fù)雜了.逐一分析討論決非明智之舉本題的要害之處在哪里？在含絕對(duì)值不等式的性質(zhì).看清了這一點(diǎn)，解題是輕而易舉的.【解析】令=，=.注意到時(shí)，0，且，+2，故選.【例2】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則的面積為 （ ）【分析】題干中含有參

2、數(shù)，而所有選項(xiàng)都是常數(shù).這一特殊結(jié)構(gòu)注定解本題應(yīng)走消參的道路.消參，便是本題的蛇頭或“七寸”.【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)、虛半軸，半焦距依次為，那么：，=1，.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線右支，由雙曲線的定義：PF1-PF2=2 （1） 而由條件： （2）解（1），（2）得：PF1=，PF2=，又F1F2=2，可知：PF12+PF22=F1F22，F(xiàn)1PF2=90.于是.故選A.【例3】對(duì)任意實(shí)數(shù)k,直線y=kx+b與橢圓恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是 【分析】b是什么？是直線y=kx+b在y軸上的截距， 也就是x=0時(shí)y的值，這不正是本題的“七寸”么.【解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.在如圖的橢圓中，命x=0,得y1

3、=2,得y=3或1.當(dāng)b1,3時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】請(qǐng)注意“恒有公共點(diǎn)”幾個(gè)字.若或，直線y=kx+b與橢圓也可能會(huì)有公共點(diǎn)，但不是“恒有”，需由斜率k之值確定.【例4】 已知f(x+y)=f(x)f(y)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都成立，且f(1)=3,則.【思考】本題的“七寸”在哪里？注意到待求值的式子是連續(xù)2005個(gè)比值之和，這些比值有什么規(guī)律？自變量的規(guī)律是明顯的（分子中的自變量比分母中的自變量多1），那么函數(shù)值的相應(yīng)比值呢？這正是關(guān)鍵所在，為此我們?nèi)ハ驐l件要答案.【解】在f(x+y)=f(x)f(y)中，命x=k,y=1,那么：f(k+1)=f (k)f(1),又f(1)=3,.

4、 又由f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),知f(0)=1,故知數(shù)列f(0),f(1),f(2),是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.在中依次令k=0,1,2,，2004，得：.【點(diǎn)評(píng)】可見：本題的關(guān)鍵點(diǎn)即“七寸”所在，是看見f(k)是等比數(shù)列.【例5】P是圓x2+y24x=0上一動(dòng)點(diǎn)，Q是射線OP上一點(diǎn)，滿足|OP|OQ|=4,則點(diǎn)Q的軌跡方程是 .例5圖【思考】軌跡方程是需要探求的，探求的方向何在？找出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，也就是相應(yīng)的“七寸”.圓（x2）2+y2=4的圓心為C（2，0）,半徑為R=2,如圖，我們先讓P運(yùn)動(dòng)到直徑的外端，即當(dāng)P重合于A時(shí)，|OA|=4.此時(shí)Q應(yīng)重合于M，且由|OM|

5、OA|=4.只能|OM|=1，又因|OQ|OP|=|OM|OA|=4,知A、P、Q、M四點(diǎn)共圓.OPA=90,必AMQ=90，這就是說(shuō)：點(diǎn)Q的軌跡是過(guò)M（1，0）且垂直于x軸的直線，其方程為x=1.【評(píng)注】本題的“七寸”是用特值探究出來(lái)的其解簡(jiǎn)明、直觀.本題還有多種解法，其中較為簡(jiǎn)便的一種是：設(shè)Q（x,y）為直線OP上一點(diǎn),則射線OQ的參數(shù)方程是：代入圓方程：t2cos2+t2sin24tcos=0,即t24tcos=0.t0,t=4cos.即是當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有|OP|=4cos.已知|OQ|OP|=4,|OQ|cos=1,即得x=1. 【例7】設(shè)實(shí)數(shù)(x,y)滿足方程x2+y22x2y

6、+1=0,則的最小值是 【解析】圓(x1)2+(y1)2=1的圓心C(1,1)，半徑r=1.如圖所示，此圓在第一象限且與兩軸相切，為求的最小值.先求的最大值.表示圓上的點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn)P（1，0）連線的斜率.kPA（其中PA、PB為過(guò)P所引圓的切線）.設(shè)APC=CPB=,則tan=.tanBPA=tan2=.【例8】設(shè)f(x)=,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(5)+f(4)+f(0)+f(5)+f(6)的值為 .【思考】f(x)+f(1x)=.命x=1,2,3,4,5,6.得：f(1)+ f(0)= f(2)+ f(1)= f(3)+ f(2)= f(4)+f(3)=

7、 f(5)+ f(4)= f(6)+ f(5)=.原式=.【點(diǎn)評(píng)】本題的“七寸”之處在哪里？其實(shí)題本身已作了提示：“利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法”.那是什么方法？那是抓住了等差數(shù)列“與首末等距離的兩項(xiàng)之和相等”這個(gè)“七寸”，因而采用“倒寫相加”即可求和.本題若能發(fā)現(xiàn)并抓住f(x)+f(1x)=這個(gè)“七寸”，一切矛盾也就迎刃而解，但我們特別提醒，f(5),f(4),，f(6)本身并非等差數(shù)列（讀者可自行驗(yàn)證）.也就是說(shuō)：與首末距離相等的兩項(xiàng)之和都相等的數(shù)列，不一定是等差數(shù)列.【小結(jié)】每位考生在備考之時(shí)，對(duì)于所遇到的每個(gè)問(wèn)題須認(rèn)真思索如下三個(gè)問(wèn)題：（1）本題的條件和要求是什么？（2）題的關(guān)鍵點(diǎn)即要害之處是什么？（3）應(yīng)采用何種手段才能最行之有效地破題？經(jīng)多次反復(fù)訓(xùn)練，有了良好的“悟性”，找到“七寸”之處也就不難了. 考前預(yù)演1. (04浙江卷)設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳一個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（3，0）（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)的不同運(yùn)動(dòng)方法共有 種（用數(shù)字作答）. 2. (x2+)9的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）. 3.若過(guò)（m,2）總可以作兩條直線和圓(x+1)2+(y2)2=4相切，