2021年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬卷二（含答案）

1、2021年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬卷（二） 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a21，a4a664，則公比q（）A4B3C2D【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，能求出公比【解答】解：各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a21，a4a664，且q0，解得，q2，公比q2故選：C【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)2.從4種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，不同的送法共有（）A4種B12種C24種D64種【答案】C【分析】分析易得，這是一個(gè)排列問題，由排列公式計(jì)算可得答案；【解答】解：根據(jù)題

2、意，這是一個(gè)排列問題，故從4種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，不同的送法共有A4343224種故選：C【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用3.直線與曲線相切，則b的值為（）A2B1CD1【答案】B【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)既在直線的圖象上又在曲線上，即可求出b的值【解答】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）y|xm解得 m1切點(diǎn)（1，n）在曲線的圖象上，n，切點(diǎn)（1，）又在直線上，b1故選：B【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程4.若函數(shù)f（x）alnxx2+5x在（1，3）內(nèi)無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（，3）B（，）C3，+

3、）D（，3，+）【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，題目轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在（1，3）內(nèi)無零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的值域，借助函數(shù)的圖象，推出結(jié)果【解答】 解：函數(shù)f（x）alnxx2+5x，f（x）0，即a2x25x，在（1，3）內(nèi)無解，設(shè)h（x）2x25x2（x）2，x（1，3），則h（x）min，h（1）3，h（3）3，由函數(shù)h（x）的圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍：（，3，+）故選：D【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值5.已知集合A1，2，3，4，B1，2，3，4，5，從集合A中任取3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用a表示，從集合B中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用b表示，記Xb

4、a，則隨機(jī)變量X的期望為（）ABC3D4【答案】A【分析】根據(jù)題意，確定集合A和集合B的可能集合，以及a和b的取值，確定Xba的取值為1，2，3，4，分別求出X取不同值時(shí)的概率，列出隨機(jī)變量X的分布列，根據(jù)期望的運(yùn)算公式代入數(shù)值求解即可【解答】解：根據(jù)題意，從集合A中任取3個(gè)不同的元素，則集合A有4種可能，分別為：1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，其中最小的元素a取值分別為：1，2從集合B中任取3個(gè)不同的元素，則集合B有10種可能，分別為：1，2，3，1，2，4，1，2，5，1，3，4，1，3，5，1，4，5，2，3，4，2，3，5，2，4，5，3，4，5，其中最大的元素b取值分

5、別為：3，4，5Xba，則X的取值為：1，2，3，4P（X1）；P（X2）；P（X3）；P（X4）隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234P E（X）1+2+3+4故選：A【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差6.在二項(xiàng)式（x2y）6的展開式中，設(shè)二項(xiàng)式系數(shù)和為A，各項(xiàng)系數(shù)和為B，x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)和為C，則（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n可求得A，令x1，y1可得各項(xiàng)系數(shù)和B，令f（x）（x2）6，x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)和為可求得C，計(jì)算可得的值【解答】解：在二項(xiàng)式（x2y）6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和A2664，令xy1，得各項(xiàng)系數(shù)和B（1）61，令f（x）（x2）6，

6、得x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)和C364，所以故選：A【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理7.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表：x1234y1mn4如表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5，若某同學(xué)對(duì)m賦了三個(gè)值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回歸直線方程分別為yb1x+a1，yb2x+a2，yb3x+a3，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，r3，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）參考公式：線性回歸方程y中，其中，相關(guān)系數(shù)rA三條回歸直線有共同交點(diǎn)B相關(guān)系數(shù)中，r2最大Cb1b2Da1a2【答案】D【分析】由題意可得m+n5，分別取m與n的值，得到b1，a1，b2，a2，r1，r2，r3的值，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案【解答】解：由題意，1+m+

7、n+410，即m+n5若m1.5，則n3.5，此時(shí)，（12.5）（12.5）+（22.5）（1.52.5）+（32.5）（3.52.5）+（42.5）（42.5）5.5，（1.5）2+（0.5）2+0.52+1.525，（1.5）2+（1）2+12+1.526.5則，a12.51.12.50.25，；若m2，則n3，此時(shí)，（12.5）（12.5）+（22.5）（22.5）+（32.5）（32.5）+（42.5）（42.5）5，5，（1.5）2+（0.5）2+0.52+1.525，a22.512.50，；若m2.5，則n2.5，此時(shí)，（12.5）（12.5）+（22.5）（2.52.5）+（32

8、.5）（2.52.5）+（42.5）（42.5）4.5，5，（1.5）2+1.524.5，由樣本點(diǎn)的中心相同，故A正確；由以上計(jì)算可得，相關(guān)系數(shù)中，r2最大，b1b2，a1a2，故B，C正確，D錯(cuò)誤故選：D【知識(shí)點(diǎn)】線性回歸方程8.已知數(shù)列an：，（其中第一項(xiàng)是，接下來的221項(xiàng)是，再接下來的231項(xiàng)是，依此類推）的前n項(xiàng)和為Sn，下列判斷：是an的第2036項(xiàng)；存在常數(shù)M，使得SnM恒成立；S20361018；滿足不等式Sn1019的正整數(shù)n的最小值是2100其中正確的序號(hào)是（）ABCD【答案】C【分析】是an的第k項(xiàng)，則k211+221+2101，利用等比數(shù)列的求和公式求出即可判斷出結(jié)論由

9、題意可得：分母為2k時(shí)，（kN*），可得：Sn單調(diào)遞增，且n+時(shí)，Sn+，即可判斷出結(jié)論由可得：S2036+，利用等差數(shù)列的求和公式求出即可判斷出結(jié)論S20361018，設(shè)S2036+1018+1019，解得k即可判斷出結(jié)論【解答】解：是an的第k項(xiàng)，則k211+221+2101102036；由題意可得：分母為2k時(shí)，（kN*），可得：Sn單調(diào)遞增，且n+時(shí)，Sn+，因此不存在常數(shù)M，使得SnM恒成立，因此不正確；由可得：S2036+1018，因此正確S20361018，設(shè)S2036+1018+1019，則k（k+1）212，解得k64滿足不等式Sn1019的正整數(shù)n的最小值2036+6421

10、00，因此正確其中正確的序號(hào)是故選：C【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性 二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選對(duì)得分，錯(cuò)選或漏選不得分。9.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1+3a2S6，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（）Aa70BS130CS7最小DS5S8【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，據(jù)此由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，對(duì)于A，若a1+3a2S6，即4a1+3d6a1+d，變形可得：a1+6d0，即a70，故A正確；對(duì)于B，S131

11、3a70，B正確；對(duì)于C，S77a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正確；對(duì)于D，S5S8（5a1+d）（8a1+d）3a118d3a70，D正確故選：ABD【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和10.現(xiàn)有3個(gè)男生4個(gè)女生，若從中選取3個(gè)學(xué)生，則（）A選取的3個(gè)學(xué)生都是女生的不同選法共有4種B選取的3個(gè)學(xué)生恰有1個(gè)女生的不同選法共有24種C選取的3個(gè)學(xué)生至少有1個(gè)女生的不同選法共有34種D選取的3個(gè)學(xué)生至多有1個(gè)男生的不同選法共有18種【答案】AC【分析】根據(jù)組合的定義和分步計(jì)數(shù)原理即可求出【解答】解：選取的3個(gè)學(xué)生都是女生的不同的選法共有C434，故A正確；恰有1個(gè)女生的不同選法共有C32C411

12、2種，故B錯(cuò)誤；至少有1個(gè)女生的不同選法共有C73C3334種，故C正確；選取的3個(gè)學(xué)生至多有1個(gè)男生的不同選法共C31C42+C4322種，故D錯(cuò)誤故選：AC【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題11.如圖所示，5個(gè)（x，y）數(shù)據(jù)，去掉D（3，10）后，下列說法正確的是（）A相關(guān)系數(shù)r變大B殘差平方和變大C相關(guān)指數(shù)R2變小D解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)【答案】AD【分析】由散點(diǎn)圖知，去掉離群點(diǎn)D后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，由此判斷即可【解答】解：由散點(diǎn)圖知，去掉離群點(diǎn)D后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)r的值變大，相關(guān)指數(shù)R2的值變大，殘差平方和變小故選：AD【知識(shí)點(diǎn)

13、】變量間的相關(guān)關(guān)系、相關(guān)系數(shù)12.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），導(dǎo)函數(shù)為f（x），xf（x）f（x）xlnx，且，則（）Af（）0Bf（x）在處取得極大值C0f（1）1Df（x）在（0，+）單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】令g（x），則g（x），設(shè)g（x），得f（x），結(jié)合f（）求得c，可得f（x）的解析式，求導(dǎo)后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【解答】解：令g（x），則g（x），g（x），即，則f（x）又f（），c則f（x）f（x）0，則f（）0，故A正確；f（x）在（0，+）單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤，D正確；f（1）（0，1），故C正確故選：ACD【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性三、填空題：本題共

14、4小題，每小題5分，共20分。13.函數(shù)f（x）（2xx2）ex取得極小值時(shí)的x值為【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，再由極值的定義，即可得到所求【解答】解：函數(shù)f（x）（2xx2）ex，f（x）（2x2）exex（x）（），由f（x）0，解得x或x；由f（x）0，解得x即有f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（，），（，+），單調(diào)遞增區(qū)間為（，），則有x處f（x）取得極大值，在x處f（x）取得極小值故答案為：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值14.已知（x）（1x）4的展開式中x2的系數(shù)為4，則a，（x）（1x）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為【答案】【第1空】2【第2空】8【分

15、析】把（1x）4按照二項(xiàng)式定理展開，可得（x）（1x）4的展開式中x2的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)【解答】解：（x）（1x）4（x）（x+x2x3+x4），故展開式中x2的系數(shù)為4+a4，則a2常數(shù)項(xiàng)為a（）4a8，故答案為：2；8【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理15.用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）2n135（2n1）（nN*）時(shí)，從nk到nk+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是【答案】4k+2【分析】從nk到nk+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）2n135（2n1）（nN*）時(shí)，從nk到nk+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是2（2k+1

16、）故答案為：4k+2【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法16.已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為【分析】恰好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且前6次出現(xiàn)第四種號(hào)碼分兩類，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，1，1或者2，2，1每類中可以分步完成，先確定三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)順序?yàn)榉N，再分別確定這三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)的位置（注意平均分組問題），最后讓第四種號(hào)碼卡片出現(xiàn)有一種方法，相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可【解答】解：由分步計(jì)數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，進(jìn)行6次一共有45種不同的取法恰

17、好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，1，1或者2，2，1三種號(hào)碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時(shí)停止的取法由，三種號(hào)碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時(shí)停止的取法由，由分步加法計(jì)數(shù)原理知恰好取6次卡片時(shí)停止，共有240+360600種取法，所以恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為P，故答案為【知識(shí)點(diǎn)】n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕?jù)要求作答。17.已知F（x）t（t4）dt，x（1，+）（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)F（x）在1，5上的最值【分析】先由定積分的運(yùn)算求得F（

18、x）的解析式，（1）求導(dǎo)，令F（x）0，可求得增區(qū)間，令F（x）0，可求得減區(qū)間；（2）由（1）可得函數(shù)F（x）在1，5上的單調(diào)性，再比較在x1，x4及x5處的函數(shù)值大小，進(jìn)而得到最值【解答】解：（1）F（x）x24xx（x4），由F（x）0，得1x0或x4；由F（x）0，得0x4，所以F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和（4，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，4）（2）由（1）知F（x）在1，4上遞減，在4，5上遞增，因?yàn)镕（1），F(xiàn)（4），F(xiàn)（5）6，所以F（x）在1，5上的最大值為，最小值為【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性18.某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人員值日，現(xiàn)從包含甲、乙

19、兩人的七名行政人員中選四人負(fù)責(zé)四天的輪班值日，在下列條件下，各有多少種不同的安排方法？（1）甲、乙兩人都被選中，且安排在前兩天值日；（2）甲、乙兩人只有一人被選中，且不能安排在后兩天值日【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：甲、乙兩人安排在前兩天值日，從剩下的五人中選兩人安排在后兩天排列值日，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：從甲、乙兩人中選一人安排在前兩天中的一天值日，從剩下的五人中選三人安排在剩余的三天值日，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：甲、乙兩人安排在前兩天值日，有種排法，從剩下的五人中選兩人安排在后兩天排列值日，有種排

20、法則排法種數(shù)為（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：從甲、乙兩人中選一人安排在前兩天中的一天值日，有種排法從剩下的五人中選三人安排在剩余的三天值日，有種排法則滿足條件的排法種數(shù)為【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題19.已知的展開式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是1：3（1）求n的值；（2）求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和以及各項(xiàng)系數(shù)和；（3）求展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)【分析】（1）由：1：3，可解得n；（2）二項(xiàng)式系數(shù)和2n，令x1可得各項(xiàng)系數(shù)和；（3）通過列不等式組即可求展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)【解答】解：（1）由題意得：1：3，即，解得n7；（2）二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為27128

21、，令x1可得各項(xiàng)系數(shù)和為（32）71；（3）展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1，設(shè)展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為Tr+1，則，解得r，r3，展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T422680【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理20.近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴(yán)重和電池技術(shù)的提高，電動(dòng)汽車已被世界公認(rèn)為21世紀(jì)汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向?yàn)榱私档蛯?duì)大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動(dòng)汽車車型A和車型B，并在黃金周期間同時(shí)投放市場(chǎng)為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機(jī)調(diào)查了5家汽車4S店的銷量（單位：臺(tái)），得到如表：4S店甲乙丙丁戊車型A661381l車型B1291364（）若從甲、

22、乙兩家4S店銷售出的電動(dòng)汽車中分別各自隨機(jī)抽取1臺(tái)電動(dòng)汽車作滿意度調(diào)查，求抽取的2臺(tái)電動(dòng)汽車中至少有1臺(tái)是車型A的概率；（）現(xiàn)從這5家汽車4S店中任選3家舉行促銷活動(dòng)，用X表示其中車型A銷量超過車型B銷量的4S店的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望【分析】（）先根據(jù)古典概型依次求出從甲、乙4S店分別隨機(jī)抽取的1臺(tái)電動(dòng)汽車是車型B的概率，然后依據(jù)獨(dú)立事件的概率和從對(duì)立事件的角度出發(fā)求解問題即可；（）由表可知，車型A銷量超過車型B銷量的4S店有2家，故X的可能取值為0，1，2，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法逐一求出每個(gè)X的取值所對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望【解答】解：（）設(shè)“從甲4S

23、店隨機(jī)抽取的1臺(tái)電動(dòng)汽車是車型B”為事件M1，“從乙4S店隨機(jī)抽取的1臺(tái)電動(dòng)汽車是車型B”為事件M2，則，且事件M1、M2相互獨(dú)立，設(shè)“抽取的2臺(tái)電動(dòng)汽車中至少有1臺(tái)是車型A”為事件M，則（）由表可知，車型A銷量超過車型B銷量的4S店有2家，故X的可能取值為0，1，2，P（X0），P（X1），P（X2）隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E（X）【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的期望與方差21.國家實(shí)施二孩放開政策后，為了了解人們對(duì)此政策持支持態(tài)度是否與年齡有關(guān)，計(jì)生部門將已婚且育有一孩的居民分成中老年組（45歲以上，含45歲）和中青年組（45歲以下，不含45歲）兩個(gè)組別，每組各隨機(jī)調(diào)查了100人，對(duì)各組中持支持態(tài)度和不支持態(tài)度的人所占的頻率繪制成等高條形圖，如圖所示：（）根據(jù)已知條件，完成22列聯(lián)表支持不支持合計(jì)中老年組100中青年組100合計(jì)200（）是否有99.9%的把握認(rèn)為人們對(duì)此政策持支持態(tài)度與年齡有關(guān)？P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：K2【答案】【第1空】20【第2空】80【第3空】50【第4空】50【第5空】70【第6空】130【分析】（）利用已知條件直接完成22列聯(lián)表（）求出K2的觀測(cè)值，則結(jié)論可求【解答】解：（）由等高條形圖可知