(重要)高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項和七種求和方法,練習(xí)及答案

1、1高中數(shù)列知識點總結(jié)高中數(shù)列知識點總結(jié) 1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：1nnaad（d為常數(shù)），11naand等差中項：xay，成等差數(shù)列2axy前n項和：11122nnaann nsnad性質(zhì)： （1）若mnpq，則mnpqaaaa；（2） na為等差數(shù)列2nsanbn（ab，為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為常數(shù)項為 0 的二次函數(shù)）2. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：1nnaqa（q為常數(shù)，0q ），11nnaa q.等比中項：xgy、成等比數(shù)列2gxy，或gxy .前n項和：11(1)1(1)1nnna qsaqqq（要注意公比）q性質(zhì)： na是等比數(shù)列（1）若mnpq，則mnpqaaaa3求數(shù)

2、列通項公式的常用方法一、公式法一、公式法例例 1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na123 2nnnaa 12a na解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以123 2nnnaa 12n113222nnnnaa113222nnnnaa2nna為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以1222a112331 (1)22nnan 數(shù)列的通項公式為。na31()222nnan二、累加法二、累加法 )(1nfaann例例 2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na11211nnaana，na2解：由得則121nnaan121nnaan112322112()()()()2(1) 1 2(2) 1

3、(2 2 1)(2 1 1) 12(1)(2)2 1(1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以數(shù)列的通項公式為。na2nan例例 3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na1132 313nnnaaa ，na解：兩邊除以，得，132 31nnnaa 13n111213333nnnnnaa則 111213333nnnnnaa三、累乘法三、累乘法 )(1nfaann例例 4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na112(1)53nnnanaa，na解：因為，所以，則，故112(1)53nnnanaa，0na 12(1)5nnnana1321

4、122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以數(shù)列的通項公式為na(1)123 25!.n nnnan 例例 5 （2004 年全國 i 第 15 題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足na，求的通項公式。11231123(1)(2)nnaaaaanan，na3解：因為123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana則1(1)(2)nnana n故11(2)nnanna四、

5、待定系數(shù)法四、待定系數(shù)法（重點）（重點）例例 6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na1123 56nnnaaa ， na解：設(shè)1152(5 )nnnnaxax 將代入式，得，等式兩邊消去，得123 5nnnaa 123 55225nnnnnaxax 2na，兩邊除以，得代入式得13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 則1152(5 )nnnnaa例例 7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na1135 241nnnaaa ，na解：設(shè)1123(2)nnnnaxyaxy 將代入式，得135 24nnnaa 135 2423(2)nnnnnaxyaxy 整理得。(52 ) 24323nn

6、xyxy令，則，代入式得52343xxyy52xy115 223(5 22)nnnnaa 例例 8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na21123451nnaanna，na4解：設(shè) 221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz將代入式，得212345nnaann，則2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz 222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式兩邊消去，得，2na22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz解方程組，則，代入式，得3224252xxxyyxyzz31018xyz 2213(1)10(1)

7、182(31018)nnannann五、對數(shù)變換法五、對數(shù)變換法例例 9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na512 3nnnaa17a na解：因為，所以。在式兩邊取常用對5112 37nnnaaa，100nnaa，512 3nnnaa數(shù)得1lg5lglg3lg2nnaan設(shè)1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11六、迭代法六、迭代法例例 10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na3(1)2115nnnnaaa，na解：因為，所以3(1)21nnnnaa121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa 七、數(shù)學(xué)歸納法七、數(shù)學(xué)歸納法例例 11 已知，求數(shù)列的通項公式。（其他方法呢

8、？）（其他方法呢？）11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，na解：由及，得1228(1)(21) (23)nnnaann189a 52122322243228(1 1)88 224(2 1 1) (2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1) (2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。22(21)1(21)nnan（1）當時，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18(2 1 1)9a （2）假設(shè)當時等式成立，即，則當時，nk22(21)

9、1(21)kkak1nk1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，當時等式也成立。1nk根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。*nn八、換元法八、換元法例例 12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na111(14124)116nnnaaaa，na6解：令，則1

10、24nnba21(1)24nnab故，代入得2111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因為，故1240nnba111240nnba則，即，可化為，123nnbb11322nnbb113(3)2nnbb九、不動點法九、不動點法例例 13 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。na112124441nnnaaaa，na解：令，得，則是函數(shù)的兩個212441xxx2420240 xx1223xx，2124( )41xf xx不動點。因為112124224121242(41)13262132124321243(41

11、)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa十、倒數(shù)法十、倒數(shù)法11212nnnaaaa，求na4. 求數(shù)列前 n 項和的常用方法一、公式法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： dnnnaaansnn2) 1(2)(112、等比數(shù)列求和公式：) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnasnnn73、 4、) 1(211nnksnkn) 12)(1(6112nnnksnkn5、213)1(21nnksnkn例例 1求的前 n 項和. nxxxx32例例 2 設(shè) sn1+2+3+n，nn*,求的最大

12、值.1)32()(nnsnsnf二、錯位相減法二、錯位相減法（等差乘等比）（等差乘等比） 例例 3 求和：132) 12(7531 nnxnxxxs例例 4 求數(shù)列前 n 項的和. ,22,26,24,2232nn解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積nn22n21設(shè)nnns2226242232 （設(shè)制錯位）14322226242221 nnns得 （錯位相減）1432222222222222)211 ( nnnns 1122212nnn 1224nnns三、倒序相加法三、倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與

13、原數(shù)列相加，就可以得到 n 個.)(1naa 例例 5 求證：nnnnnnncnccc2) 1() 12(53210 證明： 設(shè). nnnnnncncccs) 12(53210 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序）0113) 12() 12(nnnnnnncccncns 8 又由可得mnnmncc . nnnnnnncccncns 1103) 12() 12( +得 （反序相加）nnnnnnnnnccccns2) 1(2)(22(2110 nnns2) 1(例例 6 求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 解：設(shè). 89sin88sin3sin2sin1sin22222 s將式右

14、邊反序得 . （反序）1sin2sin3sin88sin89sin22222 s 又因為 1cossin),90cos(sin22xxxx +得 （反序相加）89 )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 s s44.5四、分組法求和四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例例7 求數(shù)列的前 n 項和：，231, 71, 41, 1112 naaan例例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前 n 項和.解：設(shè)kkkkkkak2332) 12)(1( nk

15、nkkks1) 12)(1()32(231kkknk將其每一項拆開再重新組合得 sn （分組）kkknknknk12131329五、裂項法求和五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）)() 1(nfnfannnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin（3） （4）111) 1(1nnnnan)121121(211) 12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnn

16、nnsnnnnnnnnna2) 1(11,2) 1(12121) 1() 1(221) 1(21則例例 9 求數(shù)列的前 n 項和. ,11,321,211nn 例例 10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前 n 項11211 nnnnan12nnnaab的和. 例例11 求證：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 解：設(shè)89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 s （裂項）nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin （裂項求和）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 s 88tan89tan)2tan3(

17、tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 )0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立 六、合并法求和六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，10可將這些項放在一起先求和，然后再求 sn.例例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè) sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項）)180cos(cosnnsn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177

18、）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例例 13 數(shù)列an：，求 s2002.nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1解：設(shè) s20022002321aaaa 由可得nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性質(zhì)項）0665646362616kkkkkkaaaaaas2002 （合并求和）2002321aaaa )()()(66261612876321 kkkaaaaaaaa

19、aa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5例例 14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.103231365logloglog, 9aaaaa 求解：設(shè)1032313logloglogaaasn 由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）qpnmaaaaqpnm和對數(shù)的運算性質(zhì) 得nmnmaaalogloglog11 （合并求和）)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaasn )(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9log

20、9log9log333 10 七、利用數(shù)列的通項求和七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n 項和，是一個重要的方法.例例 15 求之和.11111111111個n 解：由于 （找通項及特) 110(91999991111111 kkk 個個征） 11111111111個n （分組求和）) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1111 (91)10101010(911321 個nn 9110) 110(1091nn)91010(8111nn例例 16 已知數(shù)列an：的值.1

21、1)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求數(shù)列練習(xí)數(shù)列練習(xí)一、選擇題一、選擇題1.已知等比數(shù)列na的公比為正數(shù)，且3a9a=225a，2a=1，則1a = 12a. 21 b. 22 c. 2 d.2 2.已知為等差數(shù)列，則等于a. -1 b. 1 c. 3 d.73.公差不為零的等差數(shù)列na的前n項和為ns.若4a是37aa與的等比中項, 832s ,則10s 等于 a. 18 b. 24 c. 60 d. 90 . 4 設(shè)ns是等差數(shù)列 na的前 n 項和，已知23a ，611a ，則7s等于a13 b35 c49 d 63 5.已知 na為等差數(shù)列，且7a24a1, 3a0,則公差

22、 d（a）2 （b）12 （c）12 （d）26.等差數(shù)列na的公差不為零，首項1a1，2a是1a和5a的等比中項，則數(shù)列的前10 項之和 a. 90 b. 100 c. 145 d. 1907.等差數(shù)列 na的前 n 項和為ns，已知2110mmmaaa，2138ms,則m （a）38 （b）20 （c）10 （d）9 . 8.設(shè) na是公差不為 0 的等差數(shù)列，12a 且136,a a a 成等比數(shù)列，則 na的前n項和ns= a2744nn b2533nn c2324nn d2nn9.等差數(shù)列na的公差不為零，首項1a1，2a是1a和5a的等比中項，則數(shù)列的前10 項之和是 a. 90

23、b. 100 c. 145 d. 190 . 二、填空題二、填空題131 設(shè)等比數(shù)列na的公比12q ，前n項和為ns，則44sa 2.設(shè)等差數(shù)列na的前n項和為ns，則4s，84ss，128ss，1612ss成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 nb的前n項積為nt，則4t， ， ，1612tt成等比數(shù)列3.在等差數(shù)列na中,6, 7253aaa,則_6a.4.等比數(shù)列na的公比0q , 已知2a=1，216nnnaaa，則na的前 4 項和4s= . 數(shù)列練習(xí)參考答案數(shù)列練習(xí)參考答案一、選擇題1.【答案】b【解析】設(shè)公比為q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因為等

24、比數(shù)列na的公比為正數(shù)，所以2q ,故211222aaq,選 b2.【解析】135105aaa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 204(204)1aad .選 b。【答案】b3.答案：c【解析】由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adadad得1230ad,再由81568322sad得 1278ad則12,3da ,所以1019010602sad,.故選 c4.解: 172677()7()7(3 11)49.222aaaas故選 c.或由21161315112aadaaadd, 71 6 213.a 所以1777()7(1 13)49.22aas故

25、選 c.5.【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d12【答案】b6.【答案答案】b【解析解析】設(shè)公差為d，則)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10s1007.【答案】c【解析】因為 na是等差數(shù)列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，14得：2ma2ma0，所以，ma2，又2138ms，即2)(12(121maam38，即（2m1）238，解得 m10，故選.c。8.【答案】a 解析設(shè)數(shù)列na的公差為d，則根據(jù)題意得(22 )22 (25 )dd，解得12d 或0d （舍去），所以數(shù)列na的前n項和2(1)1722244nn nnnsn9.【答案答案】b【解析解析】設(shè)公差為d，則)41 (1)1 (2dd.d0，解得d2，10s100二、填空題1.【命