山東省濟南市商河縣第一中學2020―2021學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）

1、山東省濟南市商河縣第一中學2020-2021學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）一、單項選擇題1. 已知向量，滿足，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據向量平行坐標表示列方程，解得結果.【詳解】因為，所以.故選：B【點睛】本題考查向量平行坐標表示，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2. 圓的圓心坐標為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將方程配方化成標準式，即可得圓心坐標.【詳解】所以圓心坐標為故選：B【點睛】本題考查圓的標準方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3. 已知m為實數(shù)，直線，若，則實數(shù)m的值( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0

2、或【答案】B【解析】【分析】根據直線平行的等價條件，求出的值；【詳解】解：當時，兩直線方程分別為和，不滿足條件當時，則，由得得或，由得，則，故選：B【點睛】本題考查兩直線的位置關系求參數(shù)的值，屬于基礎題.4. 在長方體中，則與平面所成角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據垂直關系，作，為所求角，直角三角形中求.【詳解】如圖，作，交于點，連接，因為平面，所以，又因為，且，所以平面，即為所求角， 所以，所以 .故選：D【點睛】本題考查線面角的幾何求法，重點考查垂直關系，屬于基礎題型.5. 如圖，已知空間四邊形，其對角線為，分別是對邊的中點，點在線段上，現(xiàn)用基向量表

3、示向量，設，則的值分別是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據向量的加減法運算和數(shù)乘運算原則可表示出，進而得到結果.【詳解】，故選：【點睛】本題考查用基底表示向量，關鍵是能夠熟練掌握向量的加減法運算和數(shù)乘運算原則.6. 設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任一點，的坐標為（6，4），則的最大值為（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】【分析】由橢圓的標準方程得到a、b、c，然后借助定義轉化為求的最大值即可【詳解】如圖所示，由橢圓可得：，由橢圓的定義可得：，則的最大值為15，故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及其性質，三角形三邊大小關系，兩點

4、之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題7. 橢圓上的點到直線距離最近的點的坐標為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設和橢圓相切的且與直線平行的直線和橢圓方程聯(lián)立，求出后再與橢圓方程聯(lián)立，可求得答案.【詳解】設和橢圓相切且與直線平行的直線方程為，所以得，因為直線和圓相切，所以，所以，時，與的距離為，時，與的距離為此時直線雖然與橢圓相切，但是在橢圓的上方，舍去，所以，所以，得，解得切點坐標為，故選：B.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，求切點坐標的問題.8. 已知點在離心率為的橢圓上，是橢圓的一個焦點，是以為直徑的圓上的動點，是半徑為2的圓上的動點，圓與圓相

5、離且圓心距，若的最小值為1，則橢圓的焦距的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圓與圓相離且圓心距，以及的最小值為1，可得圓的直徑，即的長，再由在橢圓上，可得，進而可求出結果.【詳解】因為是以為直徑的圓上的動點，是半徑為2的圓上的動點，圓與圓相離且圓心距，又的最小值為1，所以，解得，又因在橢圓上，所以，因為離心率為，所以,所以，故，所以.故選C【點睛】本題主要考查橢圓的簡單性質，做題的關鍵在于，由兩圓相離先確定的長，進而可根據橢圓的性質，即可求出結果，屬于?？碱}型.二、多項選擇題9. 給出下列命題，其中正確命題有（ ）A. 空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基

6、底B. 已知向量，則存在向量可以與，構成空間的一個基底C. ，是空間四點若不能構成空間的一個基底那么，共面D. 已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底【答案】ACD【解析】【分析】根據空間基底的概念，結合向量的共面定量，逐項判定，即可求解得到答案.【詳解】選項中，根據空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以正確；選項中，因為，根據空間基底的概念，可得不正確；選項中，由不能構成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點B，可得四點共面，所以正確；選項中：由是空間的一個基底，則基向量與向量一定不共面，所以可以構成空間另一個基底，所以正確故選：ACD.【點睛】本

7、題主要考查了空間基底概念及其判定，其中解答中熟記空間基底的概念，合理利用共面向量定量進行判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.10. 下列說法正確的是（ ）A. 已知，且三角形的周長是6，則頂點的軌跡方程是B. 點關于直線的對稱點是C. 過，兩點的直線方程為D. 經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程是【答案】AB【解析】【分析】根據橢圓定義，可判斷A的正誤；根據點關于線的對稱點的求法，可求得對稱點坐標，即可判斷B的正誤；根據直線的兩點式方程，即可判斷C的正誤；根據直線的截距式方程，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為，所以，所以C點到兩定點A、B的距離

8、之和為定值42，滿足橢圓的定義，所以，解得，所以頂點的軌跡方程是，故A正確；對于B：設點關于直線的對稱點是，則，解得，故對稱點，故B正確；對于C：當時，過，兩點的直線方程為，故C錯誤；對于D：若直線在軸和軸上截距都為0時，設直線，又直線過點，代入解得k=1，所以直線方程為；當直線在軸和軸上截距都相等且都不為0時，設截距為a，則直線方程為，又直線過點，代入解得a=2，所以方程為，整理可得，故D錯誤.故選：AB11. 已知直線：，：，以下結論不正確的是（ ）A. 不論為何值時，與都互相垂直B. 當變化時，與分別經過定點和C. 不論為何值時，與都關于直線對稱D. 如果與交于點M，則的最大值是【答案】

9、C【解析】【分析】利用直線垂直，系數(shù)滿足即可判斷A；根據直線過定點與系數(shù)無關即可判斷B； 在上任取點，關于直線對稱的點的坐標為，代入，左邊可得不恒為，從而可判斷C；將兩直線聯(lián)立求出交點，在利用兩點間的距離公式即可求解.【詳解】對于A，恒成立，與都互相垂直恒成立，故A正確；對于B，直線，當變化時，恒成立，所以恒過定點；，當變化時，恒成立，所以恒過定點，故B正確.對于C，在上任取點，關于直線對稱的點的坐標為，代入，得，不滿足不論為何值時，成立，故C不正確；對于D，聯(lián)立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正確.故選：C【點睛】本題考查了直線垂直時系數(shù)之間的關系、直線過定點問題、直線關于直線對稱問題

10、、兩直線的交點、兩點間的距離公式，考查了考生的計算求解能力，綜合性比較強，屬于中檔題.12. 已知橢圓的離心率為，的三個頂點都在橢圓上，設它的三條邊AB，BC，AC的中點分別為D，E，F(xiàn)，且三條邊所在直線的斜率分別，且，均不為0為坐標原點，則（ ）A. B. 直線AB與直線OD的斜率之積為-2C. 直線BC與直線OE的斜率之積為D. 若直線OD，OE，OF的斜率之和為1，則的值為-2【答案】ACD【解析】【分析】根據離心率可得的關系，從而可判斷A正確，利用點差法可得B、C、D的正誤，【詳解】因為橢圓的離心率為，由得，故A正確；設，則，且，兩式作差得，即，所以，因為AB的斜率，OD的斜率，所以，

11、同理，故B錯誤，C正確.又，同理可得， 所以，又直線OD，OE，OF的斜率之和為1，即，所以，故D正確故選：ACD【點睛】本題考查橢圓基本量的計算、點差法，注意圓錐曲線中與弦的中點、弦的斜率有關的問題，一般用點差法來處理，本題屬于中檔題.三、填空題13. ，是橢圓的兩個焦點，和是此橢圓上關于原點對稱的兩個點，且，則的面積是_.【答案】16【解析】【分析】根據題意，可得，設，所以，又P在橢圓上，聯(lián)立兩方程，可求得，代入面積公式，即可求得答案.【詳解】因為P，Q是橢圓上關于原點對稱的兩個點，且，所以，設，所以，又P在橢圓上，所以，聯(lián)立方程，可得，即，所以的面積.故答案為：1614. 直線經過點A（

12、2，1），B（1，m2）兩點（mR），那么直線l的傾斜角取值范圍是 .【答案】【解析】ktan1m21，所以.15. 已知圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是該圓內一點，過點P的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積是_ 【答案】6【解析】分析】因為經過P點的直徑是圓的最長弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦,根據垂徑定理可求得最短弦長,由此可求得四邊形的面積.【詳解】圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，圓心坐標為M（1，1），半徑r=3P（2，2）是該圓內一點，經過P點的直徑是圓的最長弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦結合題意，得AC是經過P點的直徑，BD

13、是與AC垂直的弦|PM|=，由垂徑定理，得|BD|=2因此，四邊形ABCD的面積是S=|AC|BD|=62=6故答案為6【點睛】本題考查了圓中的垂徑定理,屬中檔題.16. 若點O和點F分別為橢圓的中點和左焦點，點P為橢圓上的任一點，則的最小值為_【答案】6【解析】【分析】可設，可求得與的坐標，利用向量的數(shù)量積的坐標公式，結合橢圓的方程即可求得其答案.【詳解】點P為橢圓上的任意一點，設，依題意得左焦點，即，故最小值為6.【點睛】該題考查的是有關向量數(shù)量積的最值的求解問題，涉及到的知識點有橢圓上點的坐標所滿足的條件，向量數(shù)量積的坐標運算式，橢圓上點的坐標的范圍，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，屬于

14、中檔題目.四、解答題17. 在平面直角坐標系中，三角形的三個頂點坐標分別為，求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，代入點斜式方程即可；(2)求出直線BC的斜率，得到BC邊上的高所在直線的斜率，代入點斜式方程即可.【詳解】（1）設的直線方程為.將，坐標代入可得，解方程組可得，則直線方程為，化為一般式為. （2）因為為直線的高，所以，故， 設的直線方程為，將代入，解得，得的直線方程為，代為一般式為.【點睛】本題主要考查了直線方程問題，考查求直線的斜率，兩條垂直直線斜率間的關系，屬于基礎題18. 已知圓經過點和點且圓心

15、在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）求得線段的垂直平分線方程，聯(lián)立方程組，求得圓心，根據，求得圓的半徑，即可求得圓的方程；（2）根據題意，得到圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，根據點到直線的距離公式，列出方程，求得，進而得出直線的方程.【詳解】（1）設的中點為，因為點和點，所以，即，又由，所以的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立方程組，解得，即圓心坐標，又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為.（2）過點的直線與圓相交于

16、兩點，且，所以圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，此時直線方程為，則圓心到直線的距離為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，綜上可得，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查了圓的標準方程的求解，以及直線與圓的位置關系的應用，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.19. 如圖，在正四棱柱中，已知AB2， ，E、F分別為、上的點，且.(1)求證：BE平面ACF；(2)求點E到平面ACF的距離【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：（1）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，要證明線與面垂直，只需證明這條直線

17、與平面上的兩條直線垂直即可；（2）為平面的一個法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，根據點到面的距離公式可得到結論.詳解：(1)證明：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)由(1)知，為平面ACF的一個法向量，點E到平面ACF的距離d.故點E到平面ACF的距離為.點睛：本題主要考查利用空間向量求

18、點到面的距離，屬于中檔題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.20. 已橢圓：經過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于，兩點，以為直徑的圓經過不在直線上的點，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據題意，橢圓經過點，離心率為，建立方程，由此算出，即可得到橢圓的方程；（2）設，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，

19、由題意可得，即，即可求出參數(shù)的值，從而得解；【詳解】解：（1）由題意得解得：，所以橢圓的方程為.（2）設，聯(lián)立，消并化簡整理得，則有，又，由得，解得或.當時，直線過點，與題意不符；當時，直線不過點，符合題意，故直線的方程為.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題.21. 已知四邊形是矩形，平面，、分別是、的中點（）求證：平面；（）若二面角為，求與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）G為CD的中點，由線面平行的判定即有面，面，又，由面面平行判定即有面面，由面面平行的性質即得證；（2）構建以A為原點，為x軸，為y軸，為z軸構建空間直角坐標系，求面的法向量與斜線方向向量的夾角余弦值，結合它與線面角的關系即可求得與平面所成角的正弦值【詳解】（1）若G為CD的中點，連接FG、AG，如下圖示、分別是、的中點，且，即為平行四邊形，有又由，面，面面，面，又，即面面由面，即有面得證（2）由四邊形是矩形，平面，且二面角為，即有、兩兩垂直，且以A為原點，為x軸，為y軸，為z軸