廣東省陽(yáng)東廣雅中學(xué)2019―2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

1、廣東省陽(yáng)東廣雅中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知，的實(shí)部與虛部相等，則（）A. -2B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)復(fù)數(shù)z，再運(yùn)用復(fù)數(shù)的相等求得b.【詳解】設(shè) （），則 即 .故選C.【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法，借助復(fù)數(shù)相等建立等量關(guān)系，是基礎(chǔ)題.2. 下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，逐項(xiàng)求導(dǎo)，即可得到本題答案.【詳解】由于，故

2、選項(xiàng)A不正確；由于，故選項(xiàng)B正確；由于，故選項(xiàng)C不正確；由于，故選項(xiàng)D不正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，屬基礎(chǔ)題.3. 已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)，則下列不等式正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷得解.【詳解】從函數(shù)的圖像可知，函數(shù)值的增長(zhǎng)越來(lái)越快，故函數(shù)在該點(diǎn)的斜率也越來(lái)越大.因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的變化率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.4. 把4個(gè)不同的小球全部放人3個(gè)不同的盒子中，使每個(gè)盒子都不空的放法總數(shù)為（ ）A. B.

3、C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用捆綁法選擇兩個(gè)球看成整體，再全排列得到答案.【詳解】選擇兩個(gè)球看成整體，共有種取法，再把三個(gè)球放入三個(gè)盒子中，有種放法，故共有種放法.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了排列和組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力，利用捆綁法是解題的關(guān)鍵.5. 的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，則第項(xiàng)是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，可得可得n值，然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式求解即可.詳解：由題可得故n=9，故，選B.點(diǎn)睛：考查二項(xiàng)式系數(shù)和，二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，屬于基礎(chǔ)題.6. 從10名男生6名女生中任選3人參加競(jìng)賽，要求參賽的3人

4、中既有男生又有女生，則不同的選法有()種A. 1190B. 420C. 560D. 3360【答案】B【解析】分析】根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和組合的應(yīng)用即可得解.【詳解】要求參賽的3人中既有男生又有女生,分為兩種情況：第一種情況：1名男生2名女生，有 種選法；第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，由分類(lèi)計(jì)算原理可得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7. 某學(xué)校組織5個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲科技館在內(nèi)的5個(gè)科技館，每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)科技館參觀，則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲科技館的方案有（ ）A. 種B. 種C. 種D. 種【答案】D【解析】試題分析：從五個(gè)科技館的中選兩個(gè)的可

5、能有種選法,剩下的三年級(jí)任意選擇四個(gè)科技館,每個(gè)科技館的都是等可能的,故有,由分步計(jì)數(shù)原理可得所有可能有種選法，所以應(yīng)選D考點(diǎn)：排列數(shù)組合數(shù)公式及計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用8. 在處有極小值，則常數(shù)c的值為（ ）A. 2B. 6C. 2或6D. 1【答案】A【解析】函數(shù)，又在x=2處有極值，f(2)=128c+=0，解得c=2或6，又由函數(shù)在x=2處有極小值，故c=2，c=6時(shí),函數(shù)在x=2處有極大值，故選A.點(diǎn)睛：已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的值時(shí)，可根據(jù)建立關(guān)于參數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程（組）得到參數(shù)的值后還需要進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)椤啊笔恰盀闃O值點(diǎn)”的必要不充分條件，而不是等價(jià)條件，因此在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不要忘了

6、驗(yàn)證，以免產(chǎn)生增根而造成解答的錯(cuò)誤二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（ ）A. B. C. z的共軛復(fù)數(shù)為D. z的虛部為【答案】BD【解析】【分析】把分子分母同時(shí)乘以，整理為復(fù)數(shù)的一般形式，由復(fù)數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：，A錯(cuò)誤；，B正確；z共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；z的虛部為，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)除法的基本運(yùn)算、復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.10. 定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)

7、論正確的是（ ）A. -3是的一個(gè)極小值點(diǎn)；B. -2和-1都是的極大值點(diǎn)；C. 的單調(diào)遞增區(qū)間是；D. 的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】ACD【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，是極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，增區(qū)間是，減區(qū)間是故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反11. 若且，則實(shí)數(shù)值可以為（ ）A. 3B. 1C. 0D. 1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，令得到，令得到，然后根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)?，令得：，令得：，因?yàn)椋?，所以，所以或，解得：?故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)及系數(shù)的和，還考

8、查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12. 已知函數(shù)，給出下面四個(gè)命題：函數(shù)的最小值為；函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；若方程有一解，則；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.則其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)圖象逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)， 的最小值為；如圖所示：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；若方程有一解，則或，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故錯(cuò)誤命題的序號(hào)是 故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的圖象和性質(zhì)中的綜合應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 的展開(kāi)式中，

9、x3的系數(shù)是_.（用數(shù)字填寫(xiě)答案）【答案】10【解析】試題分析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(，1，2，5)，令得，所以的系數(shù)是.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫(xiě)出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù).14. 函數(shù)的最大值為_(kāi)【答案】【解析】試題分析：易知函數(shù)的定義域?yàn)橛深}，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系15. 把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰， 且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有 種.【答案】36【解析】試題分析：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個(gè)元素有種方法，而A

10、、B可交換位置，所以有種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿(mǎn)足A、C相鄰，有種擺法，故滿(mǎn)足條件的擺法有種.考點(diǎn)：排列組合，容易題.16. 函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最小距離為_(kāi)【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合幾何關(guān)系，尋找與直線平行的直線與相切，切點(diǎn)到直線的距離即為所求.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象，只需尋找與直線平行的直線與相切，切點(diǎn)到直線的距離就是函數(shù)圖像上的點(diǎn)到直線的最小距離，由題，令，則到直線的距離最小，最小距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，只需尋找與直線平行的直線與相切，且點(diǎn)即為所求點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字

11、說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. ，為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念可得出關(guān)于的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值；（2）將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合條件得出該復(fù)數(shù)的實(shí)部為正數(shù)、虛部為負(fù)數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由為純虛數(shù)得，解得；（2）復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)位于第四象限，所以，解得或故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與幾何意義求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18. 在數(shù)列 中， (1)證明：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求

12、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列前n項(xiàng)【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【詳解】試題分析：由,知數(shù)列是首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列，由此能求出的通項(xiàng)公式由的通項(xiàng)公式為，知,從而得到數(shù)列的前項(xiàng)證明：（1） 是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 （2）由（1）得 19. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).【答案】（1）；（2）的減區(qū)間是，增區(qū)間是；為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)計(jì)算，得到切線方程（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值點(diǎn).【詳解】（1）時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）時(shí)，由解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在，上單減，在上單增，故

13、為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn).綜上，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；為的極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求切線方程，求導(dǎo)得單調(diào)性及極值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，屬于中檔題.20. 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且（）求的值； （）求的最大值【答案】（）4 （）【解析】【詳解】（）在中，由正弦定理及可得即，則；（）由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最大值為.21. 如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧 所在平面垂直，是上異于 ，的點(diǎn) （1）證明：平面平面 ； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面 與面所成二面角的正弦值 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】 【分析】（1）先證平面

14、CMD, 得,再證 ，進(jìn)而完成證明 （2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面 和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面 所成二面角的正弦值 【詳解】解：（1）由題設(shè)知,平面CMD平面 ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C CD,BC平面ABCD ,所以BC平面CMD,故 BCDM. 因?yàn)镸為 上異于C，D的點(diǎn), 且DC為直徑，所以 DMCM. 又 BCCM= C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC. （2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤 軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz . 當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M 為的中點(diǎn). 由題設(shè)得 ， 設(shè) 是平面MAB的法向量,則 即 可取 . 是平面 MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是 . 【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題22. 函數(shù).（1）若函數(shù)