數(shù)學向量數(shù)量積的坐標運算與量公式新人教B必修PPT學習教案

1、會計學1 數(shù)學向量數(shù)量積的坐標運算與量公式新數(shù)學向量數(shù)量積的坐標運算與量公式新 人教人教B必修必修 向量數(shù)量積的定義是什么？ 如何求向量夾角？ 向量的運算律有哪些？ 平面向量的數(shù)量積有那些性質? 答： ba ba baba cos,cos 運算律有： )()().(2bababa abba. 1 cbcacba ).(3 第1頁/共29頁 數(shù)量積性質: 0 cos)1( aeaae 0)2( baba 2 2 a aaaa aa (3)或 ba ba cos)4( baba )5( 0 0 設設a a與與b b都都是是非非零零向向量量， e e是是單單位位向向量量，是是a a與與e e 的的夾

2、夾角角，是是a a與與b b的的夾夾角角。 第2頁/共29頁 1 1 0 0 二、新課講授 問題1： ),(),( 2211 yxbyxa 已知 怎樣用 ba , 的坐標表示呢？請同學們看下 列問題. ba 設x軸上單位向量為，Y軸上單位向量為 請計算下列式子： i j = ii = jj = ji = ij 第3頁/共29頁 ），（），（已已知知兩兩非非零零向向量量 2211 yxbyxa ，則有，則有軸方向相同的單位向量軸方向相同的單位向量軸和軸和分別為與分別為與，設設yxji jyixa 11 jyixb 22 ）（）（jyixjyixba 2211 2 211221 2 21 jyyi

3、jyxjiyxixx ，11 22 j i 0 ijji 2121 yyxxba 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。 問題2：推導出 的坐標公式. ba 第4頁/共29頁 問題3：寫出向量夾角公式的坐標表示式，向量 平行和垂直的坐標表示式. （1）兩向量垂直條件的坐標表示 0 baba ），（），（已已知知兩兩非非零零向向量量 2211 yxbyxa 0 2121 yyxxba 注意記憶向量垂直與平行的坐標表示區(qū)別。 （2）兩平面向量共線條件的坐標表示 babba 使得使得存在唯一的存在唯一的）（0/ 1221 /0abx yx y 第5頁/共29頁 （3）向量的長度（模） 22 1

4、1 axy ），那那么么，），（，為為（ 點點的的坐坐標標分分別別的的有有向向線線段段的的起起點點和和終終若若表表示示向向量量 2211 yxyx a 2 12 2 12 ）（）（yyxxa （兩點距離公式） （4）兩向量的夾角 cos a b a b 夾角為夾角為），（），），（兩非零向量兩非零向量, 2211 yxbyxa 2 1 2 1 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 第6頁/共29頁 例例1 1( (1 1) )已已知知a a= = （5 5， - -7 7）， b b= = （- -6 6， - -4 4），求求a a b b。 解 (1)：）（）（）（4765 ba

5、2830 2 則實數(shù) 為 （2 2）已已知知a a= = （3 3，4 4）， b b= = （2 2， - -1 1），且且（ a a+ +m mb b ） （ a a- -b b ）， m m何何值值？ 則實數(shù) 為 （3 3）已已知知a a= = （1 1，2 2）， b b= = （n n，1 1），且且（ a a+ +2 2b b ） / / /（2 2a a- -b b ）， n n 何何值值？ 第7頁/共29頁 1例例23421ab a mba bm （）已知 （， ），（， ），且 （）（），則實數(shù) 為何值？ 解解：2（ ） ），（mmbma 423），（ 51 ba ）（）（b

6、abma 0 ）（）（babma 054123 ）（）即（即（mm 3 23 m 第8頁/共29頁 1例例 則實數(shù) 為 （3 3）已已知知a a= = （1 1，2 2）， b b = = （n n，1 1），且且 （ a a+ +2 2b b ）/ / /（2 2a a- -b b ），n n何何值值？ 解：解： ）（）（baba 2/2 3 21 2 4abn （）（， ） ），（322nba 024321 ）（）（nn 2 1 n 第9頁/共29頁 .4,3,90 , 2 ,2, (1) c (2) c (3)? abab cab dakbk dd cd 已知與 的夾角為 且問 為何值時

7、 與 的 變： 夾角為銳角 形 .0 :的的夾夾角角為為銳銳角角與與不不能能保保證證向向量量注注baba !同同向向的的情情況況與與還還要要考考慮慮向向量量ba 第10頁/共29頁 4 2 10 11 33 1 3 1ab a b （）若（， ），（，） 則 與 的夾角為 21231ab ab （ ）若（， ）， （ ， ） 則 與 的夾角的余弦值為 練習 第11頁/共29頁 65 63 .D 65 33 . B 65 33 .C 65 63 . A （3）、若 則 與 夾角的余弦值為 （ ） ),12, 5 (),4 , 3(ba a b B 第12頁/共29頁 2 3 （- ，- ） (4

8、)、已知向量 ， 且 的夾角為鈍角，則x的取值范 圍是 . )4 , 3(), 2(bxa ba , 第13頁/共29頁 例2：求與向量 的夾角為45o的 單位向量. ) 13, 13(a 解：設所求向量為 ,由定義知： 2 2 2 845cosxaxa ),(nmx 另一方面 nmxa) 13() 13( 待定系數(shù)法 分析：可設x=（m, n)，只需求m, n. 易知 1 22 nm 再利用 （數(shù)量積的 坐標法）即可！ xaxa )(定義 第14頁/共29頁 由，知 2) 13() 13(nm 1 22 nm 解得： 或 2 3 1 m 2 3 2 n 2 1 1 n 2 1 2 m ) 2

9、 1 , 2 3 (x ) 2 3 , 2 1 (x 或 第15頁/共29頁 例3：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）, 求證:ABC是直角三角形. 031) 3(1ACAB ABC是直角三角形 證明： ) 1 , 1 ()23 , 12(AB )3 , 3()25 , 12(AC )2 , 4() 35 , 22(BC 第16頁/共29頁 (2,3),(1, ),ABACk ABC ：在 ABC中，設且 是直角三角形 變形 ，求k的值。 :( 1,3) 1)90 ,0 ( 2, 3) ( 1,3)0 23(3)0 11 3 BCACABk ABC ABCBABC BA BC k

10、k k 解 又是直角三角形 即 當 K還有其他情 況嗎？若有 ，算出來。 要注意 分類討論！ 第17頁/共29頁 頂點別為 邊為 例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2）， C C（- -3 3， - -1 1），B BC C上上的的高高A AD D，求求： ADD點點的的坐坐標標以以及及）（1 的的形形狀狀，并并說說明明理理由由）判判斷斷（ABC 2 解：解： ,Dx y設 點的坐標為 (2,1), ( 6, 3),(3,2) ADxy BCBDxy BCAD 邊邊上上的的高高是是BCAD 三三點點共共線線、又又CDB BDBC / A

11、 B C x y 第18頁/共29頁 頂點 別為 邊為 例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2）， C C（- -3 3， - -1 1），B BC C 上上的的高高 A AD D，求求： ADD點點的的坐坐標標以以及及）（1 0)3()3()6()2( 0)3() 1()6()2( xy yx 5 7 5 9 y x 解解得得： ），（ 5 2 5 1 AD 5 5 5 2 5 1 22 ）（）（AD 5 5 5 7 5 9 ADD），點點的的坐坐標標為為（ A B C x y 第19頁/共29頁 4ABCA 21B 3 2 C -3-

12、1BCAD 例 、已知的頂點分別為 （， ）， （， ）， （ ，），邊上的高為，求： 的的形形狀狀，并并說說明明理理由由）判判斷斷（ABC 2 A B C x y )2(解解： ABAC ABAC A cos ），（），（1125 ABAC 71215 ）（）（ABAC 261)5( 2 AC2 AB 52 7 0 為為鈍鈍角角A 為鈍角三角形為鈍角三角形ABC 第20頁/共29頁 例5:已知 ，且存在實 數(shù)k和t，使得 且 ，試求 的最小值. ) 2 3 , 2 1 (),1,3(ba 2 (3) ,xatb ykatb yx 2 kt Z t 第21頁/共29頁 解：由題意有: 13 2

13、,1,310 22 aba b a b 2 ,30 x y x ya tbka tb 又 3 3 4 tt k 2 2 2 117 432 444 kt ttt t 2 7 2. 4 kt t t 當時，有最小值 說明：本題考查平面的數(shù)量積及相關知識，與函數(shù)聯(lián) 系在一起，具有綜合性。要注意觀察揭示題中的隱含 條件，然后根據(jù)垂直條件列出方程得出k與t的關系， 利用二次函數(shù)求最值。 第22頁/共29頁 第23頁/共29頁 第24頁/共29頁 第25頁/共29頁 第26頁/共29頁 這節(jié)課我們主要學習了平面向量數(shù)量積的坐標表示以及運用平面向量數(shù)量積性質的坐標表示解決有關垂直、平行、長度、角度等幾何問題。 （1）兩向量垂直條件的坐標表示 0 2121 yyxxba （2）兩向量平行條件