mm昆工高數(shù)下試題與答案

1、昆明理工大學(xué)2001級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一、填空（每小題4分，共24分）1函數(shù)的定義域是 ，函數(shù)在 是間斷的.2設(shè)函數(shù)，則 ， .3函數(shù)在 點(diǎn)（1，2）處沿軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)等于 .4設(shè)，則曲面積分= .5設(shè)，則二重積分= .6如果微分方程的通解的所有任意常數(shù)的值確定后，所得到的微分方程的解稱之為 解.二、解答下列各題（每小題6分，共18分）1求函數(shù)（為常數(shù)）的全微分.2求曲面在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程.3求微分方程的通解.三、解答下列各題（每小題6分，共18分）1設(shè)而為可導(dǎo)函數(shù)，試計(jì)算.2計(jì)算三重積分其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域.3計(jì)算曲面積分，其中是柱面介于平面及之間部分的前側(cè)。四、（1

2、2分）求微分方程的通解.五、（12分）求曲線積分其中：（1）（8分）L為圓周的正向.（2）（4分）L為橢圓的正向六、（10分）求表面積為36，而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.七、（7分）討論函數(shù) 在（0，0）處的連續(xù)性.昆明理工大學(xué)2002級(jí)高等數(shù)學(xué)（下）期末試卷一填空題（每小題4分，共40分）1設(shè)函數(shù)，則全微分 2設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 3二重積分，改變積分次序后= .4直角坐標(biāo)系下的三次積分化為球坐標(biāo)系下的三次積分= 5若區(qū)域，則三重積分= 6當(dāng)= 時(shí)，為某二元函數(shù)的全微分.7曲線積分，其中L是拋物線上從點(diǎn)到的一段弧，則= .8當(dāng)為面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域D時(shí)，曲面積分與二重積分的關(guān)系為= .9

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y= 10. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式為y*= 二（10分）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程 所確定的函數(shù)滿足三（10分）由錐面及拋物面所圍立體體積四（10分）求螺旋線在處的切線方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為上半球面與所圍成空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).六（10分）設(shè)曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，其中可導(dǎo)且，求.七（10分）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，求其通解.昆明理工大學(xué)2003級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一填空題（每小題4分，共32分）1設(shè)函數(shù)，則 ， .2曲線在處的切線方程為.3交換二次積分次序，

4、 . 4設(shè)L為右半圓周：，則曲線積分 .5設(shè)為平面在第一卦限中的部分，則曲面積分 .6級(jí)數(shù)的斂散性為 .7冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R= ，收斂區(qū)間為 .8求微分方程的通解為 .二解答下列各題（每小題7分，共35分）1設(shè).2討論函數(shù)是否有極值.3求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).4求微分方程的特解.5求微分方程的通解.三（11分）利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中為從原點(diǎn)的正弦曲線.四（11分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中是球面的內(nèi)側(cè).五（11分）求由錐面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的立體的體積.昆明理工大學(xué)2004級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一填空題（每小題4分，共32分）1設(shè)函數(shù)，則 .2曲線處的法平面方程為： .3設(shè)區(qū)域

5、D由及所圍，則化二重積分為先的二次積分后的結(jié)果為 .4設(shè)L為圓?。海瑒t曲線積分 .5設(shè)，則曲面積分= .6級(jí)數(shù)收斂于 .7冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R= ，收斂區(qū)間為 .8二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式為y*= .（不要求計(jì)算）二解答下列各題（每小題7分，共28分）1求函數(shù)z=，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2討論的極值.3將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.4求微分方程的通解.三（10分）設(shè)L為沿順時(shí)針?lè)较虻纳习雸A，計(jì)算曲線積分.四（10分）求由球面及所圍成的立體的體積.五（10分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中是球面外側(cè)的上半部分.六、（10分）求，使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有二階連

6、續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.昆明理工大學(xué)2005級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一填空題（每小題4分，共32分）1設(shè)函數(shù)則 .2設(shè)，則 .3曲線處的法平面方程為 .4交換二次積分次序，則 .5設(shè)L為圓周：，則曲線積分 .6當(dāng)為平面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域D時(shí)，則曲面積分 .7微分方程的通解為 .8微分方程的的通解為 .二解答下列各題（每小題7分，共28分）1由方程所確定，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求.2計(jì)算二重積分其中D是由所圍成的閉區(qū)域.3利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中是球面的外側(cè).4求微分方程的通解.三（10分）某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形水箱，問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取多少時(shí)，才能使用料最省.四（10分）求由曲面及所圍成的立體的

7、體積.五（10分）微分方程的通解.六（10分）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，計(jì)算.昆明理工大學(xué)2006級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一、填空題（每小題3分，共30分）（1）設(shè)，則.（2）設(shè)，則全微分.（3）曲線在處的切線方程為 .（4）交換二次積分次序，則 .（5）設(shè)有曲線：的起點(diǎn)為（0，0），終點(diǎn)為（1，1）則曲線積分： .（6）設(shè)曲面是錐面在柱面內(nèi)部那一部分上側(cè)，則曲面積分 .（7）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則 .（8）當(dāng) 時(shí)，為某二元函數(shù)的全微分.(9) 微分方程的通解為 (10) 微分方程的通解為 二（7分）設(shè).三（7分）利用拉格朗日乘數(shù)法求解問(wèn)題：從斜邊之長(zhǎng)為 的一切直 角三角形中，求

8、有最大周長(zhǎng)的直角三角形.四 （7分）利用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算積分 其中D 是由直線： 及曲線 所圍城的閉區(qū)域.五 （10分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分：其中是曲面上側(cè).六(10分) 利用格林公式，計(jì)算曲線積分：其中L為三頂點(diǎn)分別為（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向邊界.七(10分) 求由拋物面與平面 所圍成空間閉區(qū)域內(nèi)的立體的質(zhì)量，已知此立體的體密度為八(10分) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ，求其通解.九（9分）設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān), 其中具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且當(dāng)其為起點(diǎn)在O（0，0）終點(diǎn)為B（1，1）的有向曲線時(shí)，該曲線積分值等于求函數(shù). 昆明理工大學(xué)2007級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一、

9、填空題（每小題3分，共30分）（1）設(shè),，,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （2）設(shè)，則全微分 （3）曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 （4）交換二次積分次序，則 （5）計(jì)算二重積分的值 ，其中（6）曲線L為球面與平面相交的圓周，其中，則曲線積分 （7）設(shè)曲面是在柱面 上介于的部分，則曲面積分 （8）當(dāng) 時(shí)，曲線積分 與路徑無(wú)關(guān).（9）微分方程（b為常數(shù)）的通解為 （10）微分方程的通解為 二、（8分）已知三個(gè)正數(shù)之和為12，求的最大值.三、（8分）計(jì)算二重積分的值，其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域.四、（10分）求旋轉(zhuǎn)拋物面與錐面所圍立體的體積.五、（10分）求，其中L為頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，的三角形的正向邊界

10、.六、（10分）利用高斯公式計(jì)算曲面積分：，其中是曲面的上側(cè).七、（10分）求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解（其中a為常數(shù)）.八、（10分）設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，又是全微分方程，求.九、（6分）已知，且，其中可微，連續(xù)，且，連續(xù)，求.昆明理工大學(xué)2008級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷一填空題（每小題4分，共40分）1.由曲線與直線及圍成的圖形的面積為若以x為積分變量,面積可用定積分表示為 .2.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則交換二次積分次序后 .3. ,其中L是圓弧.4. ，其中為平面在第一卦限中的部分.5.設(shè)為面上的閉區(qū)域,取下側(cè), 表示在面的投影,將化為上的二重積分,則 .6. 已知級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)的和是 .7.

11、已知，則 .8.當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的斂散性為 .9.全微分方程的通解為 .10.一階線性非齊次方程:的通解為 .二、計(jì)算下列各題(每小題5分，共10分)1.求曲線與所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.2.三、（7分）計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域。四、（7分）計(jì)算，其中L為圓周（按逆時(shí)針?lè)较蚶@行） 五、(8分)計(jì)算，其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面.六、(8分)利用高斯公式計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).為常數(shù)）.七、(8分)設(shè)冪級(jí)數(shù)為，求（1）收斂半徑及收斂區(qū)間，（2）和函數(shù).八、計(jì)算下列各題（每題6分 共12分）1.如果可微函數(shù)滿足關(guān)系式，求.2.求微分方程的通解.各年期末試卷參考解

12、答2001級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答一填空（每小題4分，共24分）1. ,; 2. ，3 略 ; 4. ; 5.; 6. 通 .二解答下列各題（每小題6分，共18分）1. 解：;2. 解：切平面的法向量為,故切平面方程為，法線。3. 解：分離變量得: ,積分得: ,即微分方程的通解為.三解答下列各題（每小題6分，共18分）1. 解： ,故.2. 解：由交線，由柱面坐標(biāo) 3. 解：由于關(guān)于面對(duì)稱,而被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù),故.四. 解：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為.由于不是特征方程的根，可設(shè)特解：,代入原方程得:,故：,故所求通解為：.五. 解：(1)由于不包含奇點(diǎn),由格林公式并注意到得：;(2) 由于包

13、含奇點(diǎn),不能直接使用格林公式，由于，故由連續(xù)變形原理可以將壓縮為小圓（較小），積分的值不變，即：，此時(shí)，則可以使用格林公式得.六. 解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為，則體積,且由拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組，由對(duì)稱性,即當(dāng)長(zhǎng)、寬、高都取 時(shí)，才能使體積為最大, 最大體積為. 七略.2002級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試題參考解答一填空：1. 2. 3. 4.； 5.0； 6. 2； 7. ; 8. ； 9. ； 10. 二.解:由隱函數(shù)求導(dǎo)公式得 ，左邊右邊.三.解法一:（用三重積分），由交線由柱面坐標(biāo) 解法二:（用二重積分）四.解:當(dāng)時(shí),=0, ，切線方程或,法平面方程為. 五.解:由Guass

14、公式(球體積的一半)六.解:,，由得 （一階線性微分方程），兩端同乘，得，積分得，再由 得， .七解：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為.由于不是特征根，設(shè)特解,代入原方程求得,所求通解為.2003級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答一填空題（每小題4分，共32分）1、 2、 3、 4、0; 5、; 6、略； 7、略； 8、二解答下列各題（每小題7分，共35分）1.解：微分得即.2.解:，故由知函數(shù)無(wú)極值. 3略4.解：由得，積分得，由得，故原微分方程的特解為.5.解：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為.由于不是特征根，觀察易得特解,所求通解為三.解：，其中為從原點(diǎn)的直線段，利用格林公式得 .四.解:由高斯公式.五.解法一:（用三重

15、積分），由交線由柱面坐標(biāo) 解法二:（用二重積分）由極坐標(biāo) 2004級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答一填空題（每小題4分，共32分） 1、0； 2、 3、; 4、 5 6略; 7略. 8二 1求函數(shù)z=，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解：,.22由于知該函數(shù)沒有極值。4解可變?yōu)椋藶橐浑A線性方程，同乘以得，積分得通解三解：，其中為從原點(diǎn)的直線段，利用格林公式得.四解：,由交線,由極坐標(biāo).五解：，其中，高斯公式.六解：由條件得，即，此為二階非齊次線性微分方程，又由，得，對(duì)應(yīng)齊次方程通解：，又不是特征根，故設(shè)：，代入方程得，故非齊次線性微分方程通解為 由，得2005級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答一 1; 2

16、; 3;4 5； 6=區(qū)域D面積. 7.8.二1解:由隱函數(shù)求導(dǎo)公式得 ，.2解：.3解：由高斯公式.4解可變?yōu)?，此為一階線性方程，同乘以得，積分得通解.三解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為，則用料,由拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組，由對(duì)稱性,得.，即當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取時(shí)，才能使用料最省.四,由交線,由極坐標(biāo).五解：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為.由于不是特征方程的根，可設(shè)特解,代入得，故所求通解為.六解：由條件得，即，此為一階可分離變量的微分方程，解得由得，故.從而 2006級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一. 填空題(每題3分,共30分) （1） （2），（3） （4）交換二次積分的積分秩序有

17、： (5) . (6) . (7) （注：對(duì)兩邊對(duì)求全導(dǎo)數(shù)有 （8） （9） （10） 二（7分）解：設(shè)再一次對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，得三 （7分）解 設(shè)兩直角邊 則周長(zhǎng) 且 記 （3分） （2分）得當(dāng) 時(shí)，有最大周長(zhǎng) （2分）四（7分）解： 五 （10分）解 :記為曲面下側(cè)，（1分）則有：所以： 六（10分）解：或法2： 七 （10分）解 ：由柱坐標(biāo)：八、（10分）解：先解得 （2分）故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 （2分）不是特征根， 設(shè) 代入原方程有 （2分） （2分）所以 非齊次方程的通解為： （2分）九（9分）解：因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以記點(diǎn) 則代回（1）得,2007級(jí)高等數(shù)學(xué)下期末試卷參考解答一、（1）； （2）；（3）； （4）； （5） 1 ； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）二、解：.設(shè)，令，解得：，所以點(diǎn)為唯一駐點(diǎn)，則所求最大值為6912.三、解：四、解：投影區(qū)域?yàn)?，五、解?由格林公式得=或六、解：補(bǔ)：取下側(cè) =七、解：特征方程為：，所以當(dāng)時(shí)，通解為：當(dāng)時(shí)，通解為：八、解：