行列式的性質(zhì)完整版

1、 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置相相等等 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置(transposition) 行列式行列式. T DD 記記 nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a D 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 T D nn a a a 22 11 證明證明 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式記記 ij aDdet , 21 22221 11211 nnnn n n T bbb bbb bbb D , 2 , 1,njiab ijij 即即按

2、定義按定義 .11 2121 2121 nppp t nppp t T nn aaabbbD 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺?D 可表示為可表示為 .1 21 21 nppp t n aaaD 頁(yè)頁(yè)第第 教教材材 證證明明見(jiàn)見(jiàn) 8 . ., , 非非必必讀讀內(nèi)內(nèi)容容均均用用小小字字排排印印、教教材材中中行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)21 故故 . T DD 證畢證畢 對(duì)換行列式的兩行（列）對(duì)換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). . 設(shè)行列式設(shè)行列式 , 21 22221 11211 1 nnnn n n bbb bbb bbb D 說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的

3、地位,因此行列因此行列 式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. 是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ij aDdet ji, 換換行行變變號(hào)號(hào) 頁(yè)頁(yè)第第 教教材材 證證明明見(jiàn)見(jiàn) 9 于是于是 nji npjpipp t bbbbD 1 11 1 nji npjpipp t aaaa 1 1 1 ,1 1 1 nij npjpipp t aaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji . 1 的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排列列 nji ppppt , 11 tpppp nji 的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列則有則有 即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),jik,

4、; kpkp ab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), jik, , ipjpjpip abab 例如例如 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則 此行列式為零此行列式為零. . 證明證明 互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D ,DD ,11 1 tt 故故 .1 1 1 11 DaaaaD nij npjpipp t 證畢證畢 , 571571 266 853 . 8 2 5 8 2 5 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 266 853 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第 9行同為零行同為零 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都

5、乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. . k k nnnn inii n aaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面 倍倍行行倍倍式式 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第 9 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第9 性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比 例，則此行列式等于零例，則此行列式等于零 證明證明 nnnn inii inii n aaa k

6、akaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k 21 21 21 11211 . 0 成成比比為為零零 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第9 的解為的解為方程方程 0 14664 7132 3221 3211 2 2 x x 解解： 4 由由行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì) 同同；兩兩行行元元素素有有三三對(duì)對(duì)元元素素相相、容容易易觀觀察察出出21 .43 比比例例兩兩行行元元素素有有三三對(duì)對(duì)元元素素成成、 2612 22 xx 、令令： 21 xx ，解解得得： x1 2x 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一

7、列（行）的元素都是兩 數(shù)之和數(shù)之和. . nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaa D )( )( )( 21 2222221 1111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和： nnnin ni ni nnnin ni ni aaa aaa aaa aaa aaa aaa D 1 2221 1111 1 2221 1111 例如例如 和和行行和和式式 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第 9 例 103100204 199200395 301300600 解 1 c D 拆拆 100100204 200200395 300300600 3100204 1200

8、395 1300600 3100200 1200400 1300600 3 0 c 拆拆 31004 12005 13000 . . 2 3 2,)( ;3,)(: cccolumn rrrow 列列記記為為第第如如表表示示用用列列 行行記記為為第第如如表表示示用用行行規(guī)規(guī)定定記記法法 3100204 1200395 1300600 3100200 1200400 1300600 0 31004 12005 13000 3 c拆拆 314 100125 130 2 100 c 100 20 2000 性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一數(shù)然后加到另

9、一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行 列式不變列式不變 nnnjnin nji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 nnnjnjnin njji njji ji aakaaa aakaaa aakaaa kcc )( )( )( 1 222221 111111 k 例如例如 倍倍加加不不變變 頁(yè)頁(yè)見(jiàn)見(jiàn)教教材材第第 10 注意寫(xiě)法！注意寫(xiě)法！ 見(jiàn)教材第見(jiàn)教材第 1313頁(yè)倒數(shù)頁(yè)倒數(shù) 第第4 4行行 二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算 把行把行 列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列

10、式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ji krr ：列列式式為為例例講講其其一一般般方方法法下下面面我我們們以以化化下下三三角角行行 列列式式。將將行行列列式式化化為為下下三三角角行行也也可可用用 ji kcc nnnnnn nnnnnn n n n aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 4321 114131211 334333231 224232221 114131211 nnnnnn nnnnnn n n n aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 4321 114131211 334333231 224232221 114131211 開(kāi)

11、始開(kāi)始從從 11 a加加到到將將第第一一列列乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)列、列、第第 2 ；消消為為將將 0 12 a 0 ; ; 031 13 消消為為列列將將列列乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)加加到到第第第第a 00 . . 0 1 消消為為直直到到將將 n a 0 行行的的元元素素列列第第再再用用第第22 11 12 a a 11 13 a a ; ; 041 14 消為消為列將列將列乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到第列乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到第第第a 11 14 a a 如如此此下下去去， 11 1 a a n nnnnnn nnnnnn n n aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa a 4321 11413

12、1211 334333231 224232221 11 0000 開(kāi)始開(kāi)始從從 22 a 的的數(shù)數(shù)加加到到將將第第二二列列分分別別乘乘以以適適當(dāng)當(dāng) .03 23 消消為為列列、將將第第 a 3 13 33 0 n n a a a 24 4 a 列列消消去去乘乘以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臄?shù)數(shù)加加到到第第 4 14 34 0 n n a a a . 2n a ，直直到到消消去去如如此此方方法法做做下下去去， nn nn n a a a 1 3 0 . . 0 3333 元元素素全全消消為為 所所在在行行的的右右邊邊各各開(kāi)開(kāi)始始，用用上上述述方方法法將將再再?gòu)膹腶a nnnnnn nnnnnn n aaaaa

13、 aaaaa aaaaa aa a 4321 114131211 334333231 2221 11 000 0000 . . 三三角角行行列列式式最最終終可可將將行行列列式式化化為為下下使使其其化化為為 所所在在行行右右邊邊的的各各元元素素，繼繼續(xù)續(xù)用用上上述述方方法法消消去去 ,0 jj a nn a 行列式行列式 下三角下三角 4 14 0 n n a a nn nn a a 1 0 nn a 0 . . 0 3333 元元素素全全消消為為 所所在在行行的的右右邊邊各各開(kāi)開(kāi)始始，用用上上述述方方法法將將再再?gòu)膹腶a nnnnnn nnnnnn n aaaaa aaaaa aaaaa aa

14、 a 4321 114131211 334333231 2221 11 000 0000 . . 三三角角行行列列式式最最終終可可將將行行列列式式化化為為下下使使其其化化為為 所所在在行行右右邊邊的的各各元元素素，繼繼續(xù)續(xù)用用上上述述方方法法消消去去 ,0 jj a nn a 行列式行列式 下三角下三角 4 14 0 n n a a nn nn a a 1 0 nn a 0 如如下下所所示示意意 角角形形行行列列式式，的的運(yùn)運(yùn)算算化化行行列列式式成成下下三三也也可可用用 ji krr nnnnnnnn nnnnnnnn nnnnnnnn nnn nnn aaaaa aaaaa aaaaa aa

15、aaa aaaaa 1221 111211211 212222221 212222221 111211211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )(！中中元元素素的的數(shù)數(shù)值值有有變變化化的的這這是是示示意意過(guò)過(guò)程程，在在運(yùn)運(yùn)算算 131074 10823 7212 0001 3214 2143 1432 4321 13 12 14 3 2 4 cc cc cc D ：例如 36474 4423 0012 0001 23 24 2 7 cc cc 40474 0423 0012 0001 34 cc . . 160 . . 成下三角形行列式 將行列式化式的性質(zhì)也可以通過(guò)行利用行列6 143

16、2 2143 3214 4321 3214 2143 1432 4321 42 rr D 1432 0721 01082 013107 42 43 41 3 2 4 rr rr rr . ., , , , 運(yùn)算就方便了的位置調(diào)換到 位置上的元素可以通過(guò)換列將位于分?jǐn)?shù)不利于計(jì)算 的元素會(huì)產(chǎn)生及消去位置上的元素用位于 33 31 132333 7 a a aaa 131070 10820 7210 4321 23 13 2 7 36400 4400 7210 4321 rr rr 1234 0127 0044 00040 21 rr . .160 31 cc 換列變號(hào) . . . 換換變變換換就就

17、因因轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置成成為為行行變變 此此時(shí)時(shí)相相應(yīng)應(yīng)的的列列等等的的緣緣故故這這是是因因?yàn)闉檗D(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式相相 三三角角行行列列式式的的方方法法，則則是是將將行行列列式式化化成成上上換換成成列列 行行程程中中的的列列換換成成行行，而而將將行行列列式式的的過(guò)過(guò)程程里里，將將過(guò)過(guò) 的的方方法法化化為為下下三三角角在在上上面面將將行行列列式式用用 ji kcc . . 做做后后，再再按按上上面面的的方方法法去去成成元元素素 生生可可用用均均不不等等于于若若所所有有的的 三三角角行行列列式式下下上上行行第第一一列列的的位位置置上上再再化化 個(gè)個(gè)元元素素調(diào)調(diào)整整到到第第一一可可通通過(guò)過(guò)換換行行及及換換列

18、列使使這這，元元素素有有 而而行行列列式式的的其其它它，的的元元素素不不等等于于如如果果位位于于 1 )(,1 .)( 1 1 11 jijiij kcckrra a .)( 三三角角行行列列式式下下化化為為上上任任何何一一個(gè)個(gè)行行列列式式都都可可以以 例例1 1 nnn n nkn k kkk k bb bb cc cc aa aa D 1 111 1 111 1 111 0 設(shè)設(shè) ,)det( 1 111 1 kkk k ij aa aa aD ,)det( 1 111 2 nnn n ij bb bb bD . 21D DD 證明證明 重重要要例例題題。 這這是是一一個(gè)個(gè) ，頁(yè)頁(yè)例例第第

19、 此此例例見(jiàn)見(jiàn)教教材材 1014 證明證明 ; 0 11 1 11 1kk kkk pp pp p D 設(shè)設(shè)為為 化化為為下下三三角角形形行行列列式式，把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì) 11 DkrrD ji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運(yùn)運(yùn)算算對(duì)對(duì) 22 ,DkccD ji . 0 11 1 11 2nn nnn qq qq q D 設(shè)設(shè)為為 , 0 1 11 1 111 1 11 nnnnkn k kkk qq q cc cc pp p D 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把算算 列列作作運(yùn)運(yùn)，再再對(duì)對(duì)后后行行作作運(yùn)運(yùn)算算的的前前對(duì)對(duì) Dkcc nkrrkD ji ji , nn

20、kk qqppD 1111 故故. 21D D 例例2 2101044 614753 12402 59733 13211 D 利用運(yùn)算利用運(yùn)算 把行列式化為上三角形行列把行列式化為上三角形行列 式，從而算得行列式的值式，從而算得行列式的值 ji krr （注注：這種化上三角形的方法在線性代數(shù)中有廣這種化上三角形的方法在線性代數(shù)中有廣 泛的應(yīng)用，如后面化矩陣為階梯形矩陣中就用到泛的應(yīng)用，如后面化矩陣為階梯形矩陣中就用到 這種方法，應(yīng)學(xué)會(huì)和掌握這種方法！這種方法，應(yīng)學(xué)會(huì)和掌握這種方法?。?2101044 614753 12402 59733 13211 D 3 解解 2101044 614753

21、12402 20100 13211 3 12 rr 1 , , , 元元素素 第第一一列列的的 把把第第一一行行 一一行行出出發(fā)發(fā) 我我們們從從第第 行行列列式式 上上三三角角形形 為為了了化化成成 . 6 全化為零全化為零 的性質(zhì)的性質(zhì) 用行列式用行列式 方的元素方的元素 下下 0 0 0 0 2101044 614753 14020 20100 13211 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2 3 13 2rr 4 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 1321

22、1 15 4rr 14 3rr . , ; 化化為為零零 元元素素的的下下方方元元素素全全 把把第第二二行行第第二二列列的的 再再?gòu)膹牡诘诙行兄质?素素全全化化為為零零后后 列列的的元元素素下下方方各各元元 當(dāng)當(dāng)位位于于第第一一行行第第一一 . 0 0 , 0 元元素素化化為為 行行互互換換后后再再將將下下方方 素素所所在在的的行行與與第第二二 的的元元列列下下方方不不為為 時(shí)時(shí)需需將將第第二二行行第第二二 此此的的元元素素現(xiàn)現(xiàn)在在為為 由由于于第第二二行行第第二二列列 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 3512

23、0 13211 23 rr 2 . , ; 化化為為零零 元元素素的的下下方方元元素素全全 把把第第三三行行第第三三列列的的 再再?gòu)膹牡诘谌行兄质?化化為為零零后后 元元素素的的下下方方元元素素全全 當(dāng)當(dāng)?shù)诘诙行械诘诙辛械牡?60000 01000 21100 35120 13211 612 45 4rr .12 64000 01000 21100 35120 13211 35 2rr 4 . , 化化為為零零 元元素素下下方方的的元元素素全全 第第四四行行第第四四列列的的 再再將將仿仿上上述述方方法法 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式n abbbb babbb bbab

24、b bbbab bbbba D 解解 abbbbna babbbna bbabbna bbbabna bbbbbna D n ccc )1( )1( )1( )1( )1( 21 abbb babb bbab bbba bbbb bnaD bnac 1 1 1 1 1 )1( )1( 1 baab ba baab ba bbbb bna nn nn nn rr rr rr rr rr 000 0000 000 0000 1 )1( 32 21 1 12 23 ba ba ba ba bbbnbn bna nn nn cc cc cc cc 0000 0000 0000 0000 2)2()1(1 )1( . 12 1 32 43 .)()1( 1 n babna 4例例）頁(yè)頁(yè)例例（教教材材第第1114 階階行行列列式式計(jì)計(jì)算算n2 dc dc ba ba D 0其其中中未未寫(xiě)寫(xiě)出出的的元元素素為為 n2 n2 解：解：行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)、第第行行、行行依依次次與與第第中中的的第第把把2122 2 nnD n 得得 dc dc ba ba dc ba D n 00 00 00 00 2 ）頁(yè)頁(yè)例例（即即教教材材第第根根據(jù)據(jù)例例10141的的結(jié)結(jié)論論，有有 )1