數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-三次函數(shù)的性質(zhì)及若干應(yīng)用論文

1、摘 要本文主要探討三次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，通過文獻研究法，對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、三次方程的實根以及三次函數(shù)的圖像特征等相關(guān)性質(zhì)進行歸納，并對相關(guān)定理給予證明，在此基礎(chǔ)上結(jié)合近年來江蘇省理科高考試卷及模擬題等將以上性質(zhì)應(yīng)用于若干問題的解決，重點對涉及三次函數(shù)的最值問題、零點問題及對稱性等問題進行解析.關(guān)鍵詞：三次函數(shù)；單調(diào)性；對稱性；零點；極值A(chǔ)bstractThispapermainlydiscussesthepropertiesofthethreefunctionanditsapplication,throughliteratureresearch,thethreefunctionsof

2、monotonicity,extremevalue,therealrootofcubicequationandtheimagecharacteristicsandrelevantpropertiesofthethreefunctionsaresummarized,andtherelatedtheoremtoprovethat,onthebasisofthecombinationofscienceofJiangsuprovincecollegeentranceexaminationexaminationpaperinrecentyearsandsim-ulatethetopicabovenatu

3、rewasappliedtosolveseveralproblems,mainlyinvolvingthreefu-nctionmostvalueproblem,thezeropointproblemisparsedandtheproblemofsymmetry.Key words:Cubic function;Monotonicity;Symmetry Zero;Extremevalue目 錄1 引 言2 三次函數(shù)的性質(zhì)2.1 三次函數(shù)的單調(diào)性2.2 三次方程實根的性質(zhì)2.3三次函數(shù)的圖象特征3 若干三次函數(shù)問題的解決3.1單調(diào)性、極值與最值問題3.2零點問題3.3對稱性問題4 小結(jié)致 謝參

4、 考 文 獻三次函數(shù)的性質(zhì)及若干應(yīng)用1 引 言自從導(dǎo)數(shù)納入高考考試范圍之日起，三次函數(shù)就在高考題中頻繁出現(xiàn)，但是高中課本也只是對一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的圖象與性質(zhì)進行研究，而對三次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容只是粗略的提及，并沒有專門的板塊進行研究，通過閱讀前人的文獻，知道對于研究三次函數(shù)切線和零點等三次函數(shù)圖像特征的文章較少,對于三次函數(shù)的對稱性的相關(guān)性質(zhì)研究的比較深入，但是三次函數(shù)的對稱性的相關(guān)應(yīng)用卻較少涉及，并且文章大多是給出一個定理再列出相對應(yīng)的題目，對于三次函數(shù)的應(yīng)用僅僅只是研究一類三次函數(shù)問題，基本都沒有對于三次函數(shù)的應(yīng)用進行專門的研究，縱使有列出三次函數(shù)相關(guān)問題，

5、大多分類也不是很明確，所以前人對于三次函數(shù)的研究不太全面.近年來三次函數(shù)在一張試卷中分值占了較大的比重，三次函數(shù)題目基本都在試卷的壓軸題中出現(xiàn).三次函數(shù)的單調(diào)性，對稱性和圖象特征對于三次函數(shù)相關(guān)問題的解決有很大的幫助并且也是大多數(shù)三次函數(shù)問題考查的對象.且三次函數(shù)也可以融入到各種類型的題目中，由于題目靈活多變，則它的涉及的范圍就相對比較廣，從而考查的范圍也就變廣.本文探討了三次函數(shù)的單調(diào)性、三次方程實根的性質(zhì)以及三次函數(shù)的圖象特征，并且對相應(yīng)的定理和性質(zhì)進行了相關(guān)的證明.除此之外，對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，零點，對稱性問題進行專門的研究，并且利用導(dǎo)數(shù)和三次函數(shù)的相關(guān)定理與性質(zhì)對問題進行解

6、答.對比前人的研究，本文將三次函數(shù)的性質(zhì)進行了規(guī)整，將三次函數(shù)的問題單獨進行了分類，而不是將性質(zhì)與應(yīng)用結(jié)合在同一個內(nèi)容中進行研究.先對題目進行分析，然后運用三次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進行解答，將三次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與問題緊密結(jié)合在一起.2 三次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象特征形如的函數(shù)叫做三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，為的判別式.以下若無特別說明，本文中以及均如上定義.2.1 三次函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性為求解函數(shù)的極值與最值問題提供了有力的工具，以下就是對三次函數(shù)的單調(diào)性進行探討.性質(zhì)2.1.1 若，則時，在上單調(diào)遞減；時，在區(qū)間,上單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增李云杰. 三次函數(shù)的單調(diào)性與極值J. 福建中學(xué)數(shù)學(xué),2004(0

7、9):22-23.證明：當(dāng)，時，二次函數(shù)圖象開口向下且與軸至多有一個交點，由此可得對于任意的,都有，即在上單調(diào)遞增. 當(dāng)，時，二次函數(shù)的圖象開口向下且與軸有兩個不同的交點.令，解得，.因此與軸的兩個不同交點分別為，.當(dāng)時，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可得，在區(qū)間,上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.性質(zhì)2.1.2 若，則時，在上單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減1.證明：根據(jù)性質(zhì)2.1.1，同理可證，性質(zhì)2.1.2.通過上述的性質(zhì)2.1.1以及性質(zhì)2.1.2，可以得出，在一定取值范圍下，三次函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三次函數(shù)的單調(diào)性可以求得該三次函數(shù)的極值，并

8、且由極值可以知道，該三次函數(shù)在一定區(qū)間上的最值.令，解得，.由性質(zhì)2.1.1與性質(zhì)2.1.2列表如下 表2-10+0極小值極大值表2-2+00+極大值極小值由此可得性質(zhì)2.1.3三次函數(shù)，在時，該三次函數(shù)沒有極值，在時，該三次函數(shù)有兩個極值且極大值為，極小值為.2.2 三次方程實根的性質(zhì)若三次函數(shù)有極值，設(shè)它的兩個極值點分別為，所對應(yīng)的極值為，其中，. 由，得.性質(zhì)2.2.1 對于三次方程.若，則該方程恰有一個實根；若，且，則該方程恰有一個實根；若，且，則該方程有兩個不相等的實根且其中一個為二重根；若，且，則該方程有三個不相等的實根李忠發(fā). 淺析三次函數(shù)零點的判斷J. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2011

9、(17):82.證明：由性質(zhì)2.1.1和性質(zhì)2.1.2可知，當(dāng)時，三次函數(shù)在上是單調(diào)的，所以該三次函數(shù)與軸有且僅有一個交點，則其所對應(yīng)的三次方程恰有一個實根.當(dāng)，且，則三次函數(shù)的兩個極值同號，所以該三次函數(shù)與軸有且僅有一個交點，則其所對應(yīng)的三次方程恰有一個實根.當(dāng)，且，則或且.所以三次函數(shù)與軸有兩個交點且其中一個交點為該函數(shù)的極值點，則其所對應(yīng)的三次方程有兩個不相等的實根且其中一個為二重根.當(dāng)，且，則三次函數(shù)的兩個極值異號，所以該三次函數(shù)與軸有三個交點，則其所對應(yīng)的三次方程有三個實根.2.3 三次函數(shù)的圖象特征（1）三次函數(shù)的對稱性根據(jù)以往所學(xué)的知識我們可知三次函數(shù)是中心對稱圖形，所以三次函數(shù)

10、是具有對稱性的，三次函數(shù)的對稱中心有較多的特性，利用這些性質(zhì)，可以對很多問題進行簡單的求解.接下來對三次函數(shù)的對稱性進行研究.定理2.3.1 三次函數(shù)的對稱中心為，且在其導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上羅碎海,蔡文靈. 原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)“三性”聯(lián)系與三次函數(shù)對稱性J. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2017(19):33-35.證明：先證，三次函數(shù)三次函數(shù)的對稱中心為，設(shè)為三次函數(shù)的圖象上的任意一點，將代入可得 .點關(guān)于點對稱的點為,下證是該函數(shù)圖象上的一點，因為 所以，點是該函數(shù)圖象上的一點，則三次函數(shù)的對稱中心為.再證，在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，導(dǎo)函數(shù)的對稱軸為，根據(jù)上述可知在的對稱軸上.定理2.3.2若三次

11、函數(shù)有極值，則其對稱中心即為這兩個極值點的中點3.證明：根據(jù)定理2.1.3，可知若三次函數(shù)有極值，則該函數(shù)的兩個極值點分別為，其中，.由此可得，.因為， 即，由定理2.3.3,可知三次函數(shù)的對稱中心為，所以若三次函數(shù)有極值，則其對稱中心即為這兩個極值點的中點.（2）三次函數(shù)的圖象由性質(zhì)2.1.1，性質(zhì)2.1.2，得出三次函數(shù)，根據(jù)，的不同情況，三次函數(shù)圖象有以下四種當(dāng)，時 ，如圖2-1所示；當(dāng)，時 ，如圖2-2所示；當(dāng)，時 ，如圖2-3所示；當(dāng)，時，如圖2-4所示. 圖2-1圖2-3圖2-2圖2-43 若干三次函數(shù)問題的解決 由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，而二次函數(shù)在初中就已經(jīng)經(jīng)常出現(xiàn)并且也是

12、我們比較熟悉的函數(shù)，所以三次函數(shù)處理起來就會比較容易.以下列出二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)二次函數(shù)，將其化為頂點式為，頂點坐標為，當(dāng)為該二次函數(shù)的極值點，為其極值.若二次函數(shù)的，則該二次函數(shù)所對應(yīng)的二次方程有實根，設(shè)其為，有，.3.1 單調(diào)性、極值與最值問題三次函數(shù)的極值與最值問題，通過導(dǎo)數(shù)和3.2三次函數(shù)的單調(diào)性內(nèi)的性質(zhì)2.1.1,性質(zhì)2.1.2,性質(zhì)2.1.3以及其它相關(guān)內(nèi)容進行求解，以下就是一些求解三次函數(shù)極值和最值的題目.例1【2015年江蘇卷理】已知函數(shù).試討論的單調(diào)性.分析：本題考查三次函數(shù)的單調(diào)性問題，首先對函數(shù)進行求導(dǎo)，可以得出，然后再通過的取值范圍來討論三次函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時，由的函數(shù)

13、關(guān)系式，可以得出，三次函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時或當(dāng)時，結(jié)合性質(zhì)2.1.2，可以得出該三次函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)性.解：由，得，令，解得，.當(dāng)時，由此可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，根據(jù)性質(zhì)2.1.2，得函數(shù)在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，根據(jù)性質(zhì)2.1.2，得函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例2【2017年江蘇卷理】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點，（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（I）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（II）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍.分析：本題利

14、用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的極值及零點問題，（I）首先要求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即先要求三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極值點，再由題目中的導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點這一條件，可以得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后再求的取值范圍，要求的取值范圍，根據(jù)該三次函數(shù)有極值這一條件，可得出有實根，可知導(dǎo)函數(shù)的，再對該取值進行檢驗，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式的定義域；（II）先求出的極值之和，要求的極值之和，先設(shè)有兩個極值點為，根據(jù)韋達定理求出，再列出的式子，并且對其進行相應(yīng)的變形，將未知轉(zhuǎn)化為已知，再求出函數(shù)的極值，即可求出和這兩個函數(shù)的所有極值之和（含有未知數(shù)），然后根據(jù)第（I）小題的關(guān)系式得出一個含有未知數(shù)的式子，按照題意，即可得出的取

15、值范圍.解：（I）由，得，則的極值點為.因為的極值點是的零點，所以，又，故.因為有極值，故有實根，則，即.當(dāng)時，故在上是增函數(shù).因此關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，且定義域為.（II）由性質(zhì)2.1.3可得，有兩個極值點，若設(shè)這兩個極值點分別為，則，可得.記和這兩個函數(shù)的所有極值之和為，因為的極值為，所以，.因為，所以在單調(diào)遞減.因為，所以，則.因此的取值范圍為.例3【2019全國III卷】已知函數(shù).（I）討論的單調(diào)性；（II）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由.分析：本題考查三次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，（I）要求的單調(diào)性，首先要對三次函數(shù)進行求導(dǎo)，得出，

16、再求出的兩個極值點，然后根據(jù)的取值范圍及性質(zhì)2.1.2，對的單調(diào)性進行分類討論；（II）要求，且知在區(qū)間的最小值為且最大值為1，由于的取值范圍不同，的一定區(qū)間的單調(diào)性不同，則可根據(jù)的取值范圍，結(jié)合的單調(diào)性求出，的所有值.解：（I）由，得，令，解得或.當(dāng)時，根據(jù)性質(zhì)2.1.2,可得 在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，則，根據(jù)性質(zhì)2.1.2，可得在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（II）滿足題目條件的，存在.（i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，解得，.（ii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，或.當(dāng)，時，解得，所以與矛盾；當(dāng)，時，解得或或，所以與矛盾.所以，可知當(dāng)，不存

17、在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1.（iii）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上，解得，.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)，或，在區(qū)間的最小值為且最大值為1.例4【江蘇鹽城模擬】有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊長為6分米，另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩形（如圖3-1（a）所示，其中長為6分米），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個底面是弓形的柱體包裝盒（如圖3-1（b）所示，重疊部分忽略不計），其中是以為圓心、的扇形，且弧，分別與邊，相切于點，.當(dāng)?shù)拈L是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大？ （a） （b）圖3-1分析：本題考查三次函數(shù)的最值問題.結(jié)合題意求出改包裝盒的容積(容積是關(guān)于的函數(shù)

18、關(guān)系式)，在利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三次函數(shù)的單調(diào)性，求出該包裝盒容積的最大值.解：設(shè)，則,所以所得柱體的底面積. 又因柱體的高，所以，其中.令，則由，解得（舍去）或.列表如下：表3-12+0-極大值由上述的討論，可知當(dāng)時，取得最大值.例5函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為，求的值.分析：本題考查三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，先對該三次函數(shù)進行求導(dǎo)，得，然后再求導(dǎo)函數(shù)的最值點，導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間的端點處的值，再根據(jù)，得出端點處的值的范圍，從而可以得出三次函數(shù)的極值點與閉區(qū)間的位置關(guān)系.然后求出在的最大值（關(guān)于的式子），再根據(jù)在區(qū)間上的最大值為，即可求出的值.證明：由，可得.由于，所以有兩個實根，令這兩個實根分別為，且

19、設(shè)，因為，所以.因為，所以.則，可得=，由于，所以，則.綜上所述，若在的最大值為，的值為1.3.2 零點問題三次函數(shù)的零點問題可以轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的圖象與直線的交點問題，也可以轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)根的個數(shù)問題，在解答過程中，基本都是先將交點問題與根的個數(shù)問題或者零點問題相互轉(zhuǎn)化，使得題目更加通俗易懂，然后通過性質(zhì)2.2.1來解決相關(guān)問題，以下就是一些關(guān)于三次函數(shù)零點的問題.例6【2015年江蘇卷理】已知函數(shù).若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.分析：本題考查三次函數(shù)的零點問題，根據(jù)函數(shù)有三個不同的零點時這一條件，再根據(jù)性質(zhì)2.2.1,可以得出一個含參數(shù)的不等式

20、，函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是,可以得出方程（含有未知數(shù)），然后利用用待定系數(shù)法得出的值，將代入該不等式，再解出的取值范圍進行驗證.解：由，得，令，解得，.函數(shù)的兩個極值為,.由性質(zhì)2.2.1得，當(dāng)時，則只有一個零點，所以不成立，當(dāng)時，則.因為該不等式的解集為，所，解得. 當(dāng)時，.因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以且，解得.例7設(shè)函數(shù),若函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，求的取值范圍.分析：本題是對三次函數(shù)的圖象與直線的交點問題進行考察，首先將三次函數(shù)將三次函數(shù)與直線的交點問題，轉(zhuǎn)化為三次方程的實根問題，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，即三次方程有三個不同的實根，根據(jù)

21、題意，再依據(jù)性質(zhì)2.2.1，可以求出的取值范圍.解：函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，等價于有三個實根.令，可得.令，解得，.由于有三個實根，由性質(zhì)2.2.1，可得，則的取值范圍為.例8設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，討論方程根的個數(shù).分析：本題考查三次方程根的個數(shù)問題，先對求導(dǎo)，得出，然后求出該三次函數(shù)的函數(shù)的極值點，的值，再根據(jù)性質(zhì)2.2.1，得出一定取值下，三次方程根的個數(shù).解：因為，所以.得.令，解得，,.由性質(zhì)2.2.1，可得若，即或，有一個根；若，即或，有兩個根；若，即，有三個根.例9【2018天津卷文】設(shè)函數(shù)，其中，且是公差為的等差數(shù)列.若曲線與直線有三個互異的公共點，求的取值范圍.分析：本題將三

22、次函數(shù)與數(shù)列結(jié)合，以此來考查三次函數(shù)的零點問題，曲線與直線有三個互異的公共點，求的取值范圍，即要求出有三個互異的實數(shù)根時，的取值范圍，這里要利用換元法研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求出滿足條件的的取值范圍.解：曲線與直線有三個互異的公共點等價于關(guān)于的方程有三個互異的實數(shù)根.令，得.設(shè)函數(shù)，則曲線與直線有三個互異的公共點等價于有三個不同的零點.求得，令，解得，.根據(jù)性質(zhì)2.2.1，得，則得的取值范圍為.例10已知函數(shù)，過點可以做曲線的三條切線，則的取值范圍為 .解析：本題考查三次函數(shù)切線的相關(guān)問題，由，得，令切點坐標為，則切線方程的斜率為，且.由于切線方程過點，所以，得，因為過點可以做曲線的三條切線，

23、所以有三個零點.由，得或.由于要使得有三個根，根據(jù)性質(zhì)2.2.1,需使，則，即.3.3 對稱性問題在解決三次函數(shù)對稱性問題的時候，先要求出對稱中心，然后利用相關(guān)性質(zhì)進行解答，以下就是三次函數(shù)對稱性的相關(guān)問題.例11已知函數(shù)，求的值.解析：本題考查三次函數(shù)中心對稱的相關(guān)問題，根據(jù)定理2.3.3，可得該函數(shù)的對稱中心為，由于，所以，則.例12已知直線與曲線有三個不同的交點，,，且，求的值.分析：本題考查三次函數(shù)的對稱性，由可知點為點和點的中點，再由性質(zhì)2.2.1可以求出曲線的對稱中心,然后即可求出的值.解：由性質(zhì)2.2.1可得曲線的對稱中心為，因為直線與曲線有三個不同的交點，,，且，所以點和點關(guān)于

24、點對稱，則可以得出，.所以可以求出例13已知，函數(shù)，已知曲線在其圖象上的兩點,處的切線分別為.若直線與平行，試探究點與點的關(guān)系，并給予你的結(jié)論陳崇榮. 三次函數(shù)的對稱性試題賞析J. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(高一、二),2014（02）:12-145.5曹一洪. 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)J. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2016,07:57-59.6錢鵬. 感悟三次函數(shù)的中心對稱性J. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2010,08:36-37.7韓尚石. 關(guān)于三次函數(shù)圖象切線問題的探討J. 延邊教育學(xué)院報,2015,2901:79-80.分析：本題考查三次函數(shù)對稱性問題，首先要根據(jù)題意提出合理的假設(shè)，然后再以直線與平行為突破點，來證明假設(shè)成立.解：根據(jù)