高一數(shù)學(xué)必修四-2.5平面向量應(yīng)用舉例分解精編版

1、 求求證證：平平行行四四邊邊形形兩兩條條對對角角線線的的平平方方和和 等等于于相相鄰鄰兩兩邊邊的的平平方方和和的的兩兩倍倍。 D A C B 2 |AB ,ABa ADb 證證明明：設(shè)設(shè) 2 |a 2 |AD 2 |b 22 |ACab 2 ()ab 22 2aa bb 2 a 2 b 22 |DBab 2 ()ab 22 2aa bb 22 |ACDB 22 2()ab 22 2()ABAD . 1例 所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍. 幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運算關(guān)系化向量運算關(guān)系化 向量關(guān)系

2、幾何化向量關(guān)系幾何化 利用向量解決平面幾何問題舉例利用向量解決平面幾何問題舉例 用向量方法解決平面幾何問題的用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲三步曲”： 簡述：簡述：幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運算關(guān)系化向量運算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化 （1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表 示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題 轉(zhuǎn)化為向量問題；轉(zhuǎn)化為向量問題； （2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān) 系，如距離、夾角等問題；系，如距離、夾角等問題； （3）把運算結(jié)果）把運算

3、結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。 例例2 2 如圖，如圖， ABCDABCD中，點中，點E E、F F分別是分別是AD AD 、 DCDC邊的中點，邊的中點，BEBE、BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R 、T T兩點，兩點， 你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ AB CD E F R T 利用向量利用向量 解決平面解決平面 幾何問題幾何問題 舉例舉例 簡述：簡述：幾何問題向量化幾何問題向量化 向量運算關(guān)系化向量運算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化 例例2如圖，在如圖，在ABCD中，點中，點E、F分別是分別是AD、 DC邊的中點，邊的中點，BE、BF

4、分別與分別與AC交于點交于點R、T兩點兩點. 你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ 解：解： AB DC E F R T a b ,bADaAB 設(shè)設(shè) 由圖可猜想：由圖可猜想：AR=RT=TC. 證明如下：證明如下： 則由則由 /,ARAC 得得 ARxAC .xR ()x ab 又又 ARAEER 1 2 bER 而而 /,EREB ERyEB 1 (), 2 y ab .yR 11 () 22 ARby ab ,xaxb 1 ,. 2 y yab yR 由向量基本定理得由向量基本定理得 1 2 xy y x 1 . 3 xy 1 . 3 ARAC AB DC E F

5、 R T a b 同理可證：同理可證： 1 . 3 TCAC 1 . 3 ARAC 于是于是 1 . 3 RTAC 故猜想：故猜想：AR=RT=TC 成立成立. 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例向量在物理中的應(yīng)用舉例 探究（一）：探究（一）：向量在力學(xué)中的應(yīng)用向量在力學(xué)中的應(yīng)用 思考思考1 1：如圖，用兩條成如圖，用兩條成120120角的等長角的等長 的繩子懸掛一個重量是的繩子懸掛一個重量是10N10N的燈具，根據(jù)的燈具，根據(jù) 力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具 的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力 是多少？是多少？ 1201

6、20 O O C C B BA A 10N10N| |F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10N F1 1+ +F2 2+ +G= =0 思考思考2 2：兩個人共提一個旅行包，或在單兩個人共提一個旅行包，或在單 杠上做引體向上運動，根據(jù)生活經(jīng)驗，杠上做引體向上運動，根據(jù)生活經(jīng)驗， 兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 夾角越大越費力夾角越大越費力. 思考思考3 3：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等， 夾角為夾角為，那么，那么| |F1 1| |、| |G| |、之間的之間的 關(guān)系如何？關(guān)系如何？ F F1F2

7、G 上述關(guān)系表明，若重力上述關(guān)系表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于一定，則拉力的大小是關(guān)于 夾角夾角的函數(shù)的函數(shù). .并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系. . 00，180180) ) 2 cos2 1 G F 探究（二）：探究（二）：向量在運動學(xué)中的應(yīng)用向量在運動學(xué)中的應(yīng)用 思考思考1 1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘如圖，一條河的兩岸平行，一艘 船從船從A A處出發(fā)到河對岸，已知船在靜水中處出發(fā)到河對岸，已知船在靜水中 的速度的速度| |v1 1| |1010/h/h，水流速度，水流速度| |v2 2| | 2 2/h/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，那么?/p>

8、，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，那么?的實際速度的實際速度v的大小是多少？的大小是多少？ A A hkmvvvvv/104 2 2121 思考思考2 2：如果船沿與上游河岸成如果船沿與上游河岸成6060方向方向 行駛，那么船的實際速度行駛，那么船的實際速度v的大小是多少？的大小是多少？ v1 v2 v 6060 hkmv hkmv /2 /10 2 1 hkmvvvvv/84 2 2121 思考思考3 3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航 程最短？程最短？ v1 v2 2 v A A B B C C 與上游河岸的夾角為與上游河岸的夾角為 78.7378.73. . 思考思考4

9、 4：如果河的寬度如果河的寬度d d500m500m，那么船，那么船 行駛到對岸至少要幾分鐘？行駛到對岸至少要幾分鐘？ 0.5 603.1(min). | |96 d t v 所以 hkmv hkmv /2 /10 2 1 “向量法解決幾何問題向量法解決幾何問題”的兩個角度：的兩個角度： 非坐標角度和坐標角度非坐標角度和坐標角度 例例3.如圖，正方形如圖，正方形ABCD中，中，P是對角線是對角線BD上的一點，上的一點，PECF 是矩形，用向量證明：是矩形，用向量證明： （1）PA=EF （2）PAEF AB C D P E F 1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中的三條中 線；

10、線； 求證：求證：AD、BE、CF交于一點交于一點 2、已知已知ABC的三個頂點的三個頂點A(x1，y1)，B(x2， y2)， C(x3，y3)，則重心，則重心G的坐標為的坐標為 _ 3、用向量法證明：三角形三條高線交于一、用向量法證明：三角形三條高線交于一 點點 1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中線；的三條中線； 求證：求證：AD、BE、CF交于一點交于一點 證明：如圖證明：如圖AD、BE相交于點相交于點G，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)DE A B CD E G F 易知易知GDEGAB，DEAB 1 2 所以，所以，BGBE 2 3 CGCB+BGCB+BE 2 3 CB+ ( CA-

11、- CB) 2 3 1 2 ( CB+CA) 1 3 1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三條中線；的三條中線； 求證：求證：AD、BE、CF交于一點交于一點 因此因此C、G、F三點在同一直線上三點在同一直線上 所以，所以，AD、BE、CF交于一點交于一點 所以所以CG CF， 2 3 ( CBCA) 1 3 即即CG 又因為又因為CF(CBCA) 1 2 A B CD E G F 2、已知、已知ABC的三個頂點的三個頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，則重心，則重心G的坐標為的坐標為_ (，) x1+x2+x3 3 y1+y2+y3 3 OGOA AG OA

12、 AD 2 3 OA( ABAC ) 1 3 OA( OBOAOCOA) 1 3 OAOBOC 3 解：設(shè)原點為解：設(shè)原點為O，則，則 3 3、用向量法證明：三角形三條高線交于一點、用向量法證明：三角形三條高線交于一點 A B CD E H F 證明：設(shè)證明：設(shè)H是高線是高線BE、CF的交點，的交點， 且設(shè)且設(shè)ABa，ACb，AHh， 則有則有BHha，CHhb，BCba 所以所以( ha )b ( hb )a 0 化簡得化簡得 h( ab )0AHBC 因為因為BHAC，CHAB 所以，三角形三條高線交于一點所以，三角形三條高線交于一點 三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示 外外 重重

13、三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示 內(nèi)內(nèi) 垂垂 例例1、已知、已知O是平面上一定點，是平面上一定點，A,B,C是平面上不是平面上不 共線的三個點，動點共線的三個點，動點P滿足滿足 則則P點的軌跡一定通過點的軌跡一定通過ABC的（的（ ） A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 )(ACABOAOP 點撥：由點撥：由 得出得出 由平行四邊形法則和共線定理可得由平行四邊形法則和共線定理可得AP一一 定經(jīng)過定經(jīng)過ABC的重心。的重心。 )(ACABOAOP )(ACABAP C 變式變式1、已知、已知P是平面上一定點，是平面上一定點，A,B,C是平面上不是平面上不 共線的三個點

14、，點共線的三個點，點O滿足滿足 則則O點一定是點一定是ABC的（的（ ） A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 點撥：點撥：由由 得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。 3 0 0 POPAPBPC POPAPOPBPOPC AOBOCO 1 3 POPAPBPC 1 3 POPAPBPC C 變式變式2、已知、已知O是平面上一定點，是平面上一定點，A,B,C是平面上不是平面上不 共線的三個點，動點共線的三個點，動點P滿足滿足 則則P點的軌跡一定通過點的軌跡一定通過ABC的（的（ ） A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 )0) sinsin (， CA

15、C AC BAB AB OAOP 點撥：在點撥：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有 令令 則則 由平行四邊形法則和共線定理可得由平行四邊形法則和共線定理可得AP一定經(jīng)過一定經(jīng)過 ABC的重心。的重心。 CACBABsinsin CACBABtsinsin )0)(， t ACAB t OAOP )(ACAB t AP )0) sinsin (， CAC AC BAB AB OAOP C 例例2、已知已知O是平面上一定點，是平面上一定點，A,B,C是平面上不共是平面上不共 線的三個點，動點線的三個點，動點P滿足滿足 則則P點的軌跡一定通過點的軌跡一定通過ABC的（的（ ） A 外心外心 B

16、 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 )0) coscos ( 2 ， CAC AC BAB ABOCOB OP 點撥：取點撥：取BCBC的中點的中點D D，則，則 由已知條件可得由已知條件可得 又因為又因為 所以所以 所以所以DPDP是是BCBC的垂直平分線，所以的垂直平分線，所以P P點的軌跡一定經(jīng)過點的軌跡一定經(jīng)過 ABCABC的外心。的外心。 2 OCOB OD )0) coscos (， CAC AC BAB AB DP ()()0 coscos -+ AB BCAC BC BC DPBCBC ABBACC DPBC )0) coscos (， CAC AC BAB AB DP A

17、 外心的向量表示外心的向量表示 結(jié)論結(jié)論2：ABC所在平面一定點所在平面一定點O，動點，動點P滿足滿足 P點軌跡經(jīng)過點軌跡經(jīng)過ABC的外心的外心 結(jié)論結(jié)論1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或 OCOBOA 222 OCOBOA )0) coscos ( 2 ， CAC AC BAB ABOCOB OP 例例3、已知已知O是平面上一定點，是平面上一定點，A,B,C是平面上不共是平面上不共 線的三個點，動點線的三個點，動點P滿足滿足 則則P點的軌跡一定通過點的軌跡一定通過ABC的（的（ ） A 外心外心 B 內(nèi)心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 )0) coscos (， CAC AC BAB

18、 AB OAOP 點撥：由已知等式可知點撥：由已知等式可知 在等式的兩邊同時乘以在等式的兩邊同時乘以 即即 故點故點P P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABCABC的垂心。的垂心。 )0) coscos (， CAC AC BAB AB AP BC ()()0 coscos AB BCAC BC BC APBCBC ABBACC BCAP )0) coscos (， CAC AC BAB AB OAOP D 變式變式3、已知、已知O是平面上一點，是平面上一點，A,B,C是平面上不共是平面上不共 線的三個點，點線的三個點，點O滿足滿足 則則O點一定是點一定是ABC的（的（ ） A 外心外心 B 內(nèi)

19、心內(nèi)心 C 重心重心 D 垂心垂心 OAOCOCOBOBOA 點撥：點撥：OA OB OB OC 0-OA OB OB OC 0-OA OCOB 0CA OB 同理可得同理可得 CAOB CBOA ABOC D 垂心的向量表示垂心的向量表示 結(jié)論結(jié)論1 1：O O是是ABCABC的垂心的充要條件是的垂心的充要條件是 OAOCOCOBOBOA 結(jié)論結(jié)論2、動點、動點P滿足滿足 P點的軌跡經(jīng)過點的軌跡經(jīng)過ABC的垂心的垂心 )0) coscos (， CAC AC BAB AB OAOP 例例4 4、已知已知O O是平面上一點是平面上一點, ,A A、B B、C C是平面上不共線是平面上不共線 的

20、三個點的三個點, ,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所對的三邊所對的三邊) )點點O O 滿足滿足 則則O O點一定是點一定是ABCABC的（的（ ） A A 外心外心 B B 內(nèi)心內(nèi)心 C C 重心重心 D D 垂心垂心 點撥點撥：由已知條件可得：由已知條件可得 同理可得同理可得 0OCcOBbOAa 0+aOAb OA ABc OA AC ()abc OAbABcAC ()abc OBbBAcBC ()abc OCbCAcCB 則則O O點一定是點一定是ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心 B 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 與與 滿足滿足 且且 ，則，則ABCA

21、BC為（為（ ） A A 三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形 D D等邊三角形等邊三角形 點撥：點撥：從從 可知可知 的平分線的平分線 垂垂 直對邊直對邊BCBC，故，故ABCABC為等腰三角形；為等腰三角形； 可知可知cosA= cosA= ，所以，所以 =60 =60， 故故ABCABC為等邊三角形。為等邊三角形。 ABAC 0)(BC AC AC AB AB 2 1 )( AC AC AB AB 0)(BC AC AC AB AB BAC 2 1 )( AC AC AB AB 2 1 A 從從 D 例例6 6、已知

22、已知O O是平面上一點是平面上一點, ,A A、B B、C C是平面上不共線是平面上不共線 的三個點的三個點, ,點點O O滿足滿足 則則O O點一定是點一定是ABCABC的（的（ ） A A 外心外心 B B 內(nèi)心內(nèi)心 C C 重心重心 D D 垂心垂心 則則O O點一定是點一定是ABCABC的內(nèi)心的內(nèi)心 0 CB AC CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA 四心逐個四心逐個突破突破 B A BC O ,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 則 證：設(shè)證：設(shè) 例例7、已知已知O為為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足所在平面內(nèi)一點，且滿足: 問：問：O是是ABC的的_心。心。 2