導數(shù)專題(三)零點問題教師版

1、導數(shù)專題(三)一一零點問題(2013昌平二模理)(18)(本小題滿分13分)(零點問題)一八 一1 2已知函數(shù) f(x) x alnx(a 0).2(I)若a 2,求f(x)在(1,f(1)處的切線方程；(n)求f(x)在區(qū)間1,e上的最小值；(III)若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點，求 a的取值范圍.(18)(本小題滿分13分)1 92斛：(I) a 2, f(x) -x 2ln x, f(x) x -, 2x.1f(1)1,f(1),2f (x)在(1,f(1)處的切線方程為2x 2y 3 0.：3分2(n)由 f (x) x -. x x由a 0及定義域為(0,)，令f(x)

2、0,得x Va.若癡1,即0 a 1,在(1,e)上，f(x) 0, f (x)在1,e上單調遞增，1 因此，f(x)在區(qū)間1,e的最小值為f(1) 1.2若 1 金 e,即 1 a e2,在(1,逝)上，f(x) 0, f(x)單調遞減；在(Va,e), f (x) 0, f (x)單調遞增，因此f (x)在區(qū)間1,e上的最小值為f (Vo-) a(1 In a) 2若ja e,即a e2,在(1,e)上，f (x) 0, f (x)在1,e上單調遞減，1c因此，f (x)在區(qū)間1,e上的最小值為f(e) 1 e2 a. 22221 2當 a e 時，fmin (x) -e a.：9分2綜上

3、，當 0 a 1 時，fmin (x) 1；當 1 a e2 時，fmin (x) 1a(1 In a)；(III)由(II)可知當0 a 1或a e2時，f (x)在(1,e)上是單調遞增或遞減函數(shù)，不可能存在兩個零點 當1 a e2時，要使f (x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點，則1a e即 1 2 ,止匕時，e a -e2.a -e2225a(1 Ina) 0, r 1- f(i) 2 0,1 2f (e) e a 0 2所以，a的取值范圍為(e,1 e2).：13分2(2014西城期末理)18.(本小題滿分13分)(零點問題)已知函數(shù)f(x) (x a)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，

4、a R .(I)求函數(shù)f (x)的單調區(qū)間；(n)當a 1時，試確定函數(shù) g(x) f(x a) x2的零點個數(shù)，并說明理由18.(本小題滿分13分)(I)解：因為 f(x) (x a)ex, x R ,所以 f (x) (x a 1)ex . 2 分令 f (x) 0,得 x a 1. 3 分當x變化時，f (x)和f (x)的變化情況如下:x(,a1)a 1(a 1,f (x)0f(x) 5分故f(x)的單調減區(qū)間為(，a 1)；單調增區(qū)間為(a 1,) . 6分(n)解：結論：函數(shù)g(x)有且僅有一個零點. 7分理由如下：由 g(x) f (x a) x2 0 ,得方程 xex a x2

5、,顯然x 0為此方程的一個實數(shù)解所以x 0是函數(shù)g(x)的一個零點.當x 0時，方程可化簡為ex a X.設函數(shù) F(x) ex a x ,貝U F (x) ex a 1 ,令 F (x) 0 ,得 x a.即F(x)的單調增區(qū)間為(a,當x變化時，F(xiàn) (x)和F (x)的變化情況如下:所以F(x)的最小值F(x)mF(a) 1 a.11分所以 F(x)minF(a) 1 a0,所以對于任意x R, F(x)0,x(,a)a(a,)F (x)0F(x);單調減區(qū)間為(令 f (x) 0 ,則 x 0 .因此方程ex a所以當x 0時，函數(shù)g(x)不存在零點.13分綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個

6、零點(2015上學期期末豐臺理)18.(本小題共13分)(圖像交點、問題轉化)已知函數(shù)f(x) x ex 1.(I )求函數(shù)f (x)的極小值;(n)如果直線 y kx 1與函數(shù)f(x)的圖象無交點，求 k的取值范圍.18.解：(I)函數(shù)的定義域為 R.因為f (x) x e x 1 ,所以f (x)x(,0)0(0,)f (x)-0+f(x)極小值所以當x 0時函數(shù)有極小值f(x)極小值=f(0) 0 . 6分1(n)函數(shù) f(x) x 1 x.e1當 x 0時 f (x) 0 1 f 0，y k 0 11，e所以要使y kx 1與f(x)無交點，等價于 f(x) kx 1恒成立.人1x令

7、g(x) x 1 (kx 1),即 g(x) (1 k)x e , e(1 k)ex 1所以g (x)-q. e1.一當k 1時，g(x) 0 ,滿足y kx 1與f(x)無交點; e11-當 k 1 時，g() (1 k) e1k e1k 1 ,k 1k 1十1A而0 , e1k 1 ,1 k一,1所以g() 0，此時不滿足 y kx 1與f(x)無父點.k 1當k 1時，令g (x)ln(1 k),(1 k)ex 1xe當 x(, ln(1 k)時，g (x)0,g(x)在(，ln(1 k)上單調遞減;當 x( ln(1 k),)時，g (x)0,g(x)在(ln(1 k),)上單調遞增;

8、當 x ln(1 k)時，g(x)min g( ln(1 k) (1 k)(1 ln(1 k).由(1 k)(1 ln(1 k) 0 得 1 e k 1,即y kx 1與f(x)無交點.綜上所述當k (1 e,1時，y kx 1與f(x)無交點.13分(2016東城上學期期末理)(19)(本小題共14分)(零點，問題轉化)x e已知函數(shù) f (x) a(x ln x).x(i)當a 1時，試求f(x)在(1,f(1)處的切線方程；(n)當a 0時，試求f(x)的單調區(qū)問；(出)若f(x)在(0,1)內有極值，試求a的取值范圍.解：(I)當 a 1 時，f/(x)ex(x 1)1-1)0，fe

9、1方程為y(n) f(x)ex(x 1)a(1-) xex(x 1) ax(x 1)所以所以/ x(eax)(x 1)2x0時，對于f (x) 0(0,)ax(x)0包成立,0x10.單調增區(qū)間為(1,),單調減區(qū)間為(0,1) .(0,1)內有解.(出)若f(x)在(0,1)內有極值，則f (x)在x人 (e ax)(x 1)xe令 f(x)20 e ax 0 a 一xxx e 設 g(x) x (0,1),x所以 g(x) e (x 1) ,當 x (0,1)時，g(x) 0 包成立, x所以g(x)單調遞減.又因為g(1) e,又當x0時，g(x) ,即g(x)在x (0,1)上的值域為

10、(e,),所以當 a e時，f(x) (e一axx 1) 0 有解. xxx設 H(x) e ax ,則 H (x) e a 0 x (0,1),所以H (x)在x (0,1)單調遞減.因為 H (0) 1 0, H(1) e a 0,所以H (x) ex ax在x (0,1)有唯一解x0.所以有:x(0,x。)x0(x0,1)H(x)0f (x)0f(x)極小值Z所以當a e時，f(x)在(0,1)內有極值且唯一. 當a e時，當x (0,1)時，f (x) 0包成立，f(x)單調遞增，不成立.綜上，a的取值范圍為(e,).14分(2015海淀一模理)(18)(本小題滿分13分)(問題轉化、

11、零點)1已知函數(shù) f(x) aln x (a 0).x(I)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (n)若xf(x) 0 b,c(其中b c),求a的取值范圍，并說明b,c (0,1).(18)(共 13 分)a1ax 1解：(I) f (x) (x 0). 2 分x x x(i)當a 0時，f (x) 0 ,則函數(shù)f (x)的單調遞減區(qū)間是(0,).3分，人，1(ii)當 a 0 時，令 f(x) 0,得 x -.a當x變化時，f (x) , f(x)的變化情況如下表x(0,1) a1 a(1,) af(x)0f(x)極小值 1“、一1所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(0, ),單調遞增區(qū)間是(一，).

12、5分aa(n)由(i)知：f (x)至多存在一個零點，不符合題當a 0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,)內是減函數(shù)，所以，函數(shù),1在(-,)內是增函數(shù)， a7分(a 2ln a).e).所以要使一， 一， 一1，一，一 ，當a 0時，因為 f (x)在(0, 1)內是減函數(shù)，a，一r 一 ，1、八.1八x f(x)0 b,c,必須 f(一)0,即 alna 0.aa所以 a e.1122當 a e 時，f (-2) aln(-2) a 2alna a a aa2x2令 g(x) x 2ln x(x e),則 g(x) 1 - (xx x當x e時，g(x) 0,所以，g(x)在e,)上是增函數(shù)所

13、以 當 a e 時，g(a) a 2ln a g(e) e 2 0.1所以 f(-2) 0. 9分a11 ,1.因為1, f () 0, f (1) 1 0, aaa ，一 ，1 11所以 f (x)在(一2,)內存在一個零點，不妨記為b ,在(一，1)內存在一個零點，不妨記為a aac. 11 分11因為 f (x)在(0,)內是減函數(shù)，在(一，)內是增函數(shù)，aa所以xf(x) 0 b,c.綜上所述，a的取值范圍是(e,+ ). 12分1 11因為 b (-,-), c (一，1), a a a所以b,c(0,1). 13分(2015海淀上學期期末)(19)(本小題滿分13分)(零點、三角函

14、數(shù)). 一 一.兀兀已知函數(shù) f(x) a cosx xsinx, x 2, 2(I)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性，并證明你的結論； (n)求集合A x|f(x) 0中元素的個數(shù);(出)當1 a2時，問函數(shù)f(x)有多少個極值點？(只需寫出結論)(19)(共 13 分)解：(I)函數(shù)f (x)是偶函數(shù),證明如下:對于冗冗x 2，則冗冗x 2，2.因為 f( x) acos( x) xsin( x) a cosx xsin x f (x),所以f (x)是偶函數(shù)._ .一 一 一TT TT(n)當 a 0時，因為 f(x) acosx xsin x 0, x 恒成立，22所以 集合A x| f (x) 0中元素的個數(shù)為0. 5分_ ,. _TT TT當 a 0時，令 f (x) xsin x 0 ,由 x -,-, 2 2得x 0.所以 集合A x| f (x) 0中元素的個數(shù)為1. 6分當 a 0時，因為 f(x) asinx sin x xcosx (1 a)sin x xcosx