初中數(shù)學(xué)學(xué)案編寫方法

1、初中數(shù)學(xué)學(xué)案培訓(xùn)材料與編寫方案成都市龍泉驛區(qū)教育研究培訓(xùn)中心 王富英第一部分 學(xué)案設(shè)計(jì)的基本理論一、 學(xué)案及其設(shè)計(jì)的概念 1. 學(xué)案的概念學(xué)案，是以學(xué)生的學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，把學(xué)習(xí)的內(nèi)容、目標(biāo)、方法以及教師指導(dǎo)等要素有機(jī)地融入到學(xué)習(xí)過程之中而編寫的一種引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究知識(shí)、主動(dòng)發(fā)展的方案這個(gè)定義具有以下含義：第一，學(xué)案是以學(xué)生的“學(xué)”為出發(fā)點(diǎn)和歸宿，其著眼點(diǎn)在于學(xué)生學(xué)什么和如何學(xué)，所追求的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)發(fā)展，體現(xiàn)了“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念第二，學(xué)案即是學(xué)生的學(xué)業(yè)與進(jìn)程的結(jié)合，是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的安排與學(xué)習(xí)過程的規(guī)劃；又是學(xué)習(xí)預(yù)設(shè)與生成的結(jié)合，是各種課程資源的整合因此，學(xué)案具有課程的屬

2、性，是一種學(xué)的課程第三，學(xué)案中既有學(xué)生自主學(xué)習(xí)的活動(dòng)過程，也有教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的要求和學(xué)法指導(dǎo)，是學(xué)生的學(xué)與教師的教的合一第四，學(xué)案將學(xué)生的學(xué)習(xí)帶入到一個(gè)有效的探究發(fā)現(xiàn)過程之中，為學(xué)生問題意識(shí)的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)構(gòu)建了一個(gè)良好的平臺(tái)第五，學(xué)案的主要目的是更加有效的引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，它將教師的指導(dǎo)以“有形的文字”融合到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程之中，為學(xué)生的主動(dòng)發(fā)展提供了一個(gè)有效的通道學(xué)案致力于建立一種“學(xué)的課程”，所要解決的核心問題是“學(xué)什么”與“怎么學(xué)”學(xué)案既是一種教與學(xué)的課程資源，也是一種引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方案；是教師用以幫助學(xué)生掌握教材內(nèi)容的支架，是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究能力和建構(gòu)知

3、識(shí)能力的一種重要工具與媒介，是教師主導(dǎo)取向的接受學(xué)習(xí)和學(xué)生自主取向的探究式學(xué)習(xí)的取中和平衡的產(chǎn)物，是溝通學(xué)與教的橋梁，是教與學(xué)的最佳結(jié)合點(diǎn)一份完整的、高質(zhì)量的學(xué)案，需有兩種相互融合的要素組成，一是顯性要素，主要是指那些可以言明的、表述在學(xué)案之中的內(nèi)容；二是隱性要素，主要是指那些默會(huì)的、起指導(dǎo)作用的思想和理念. （1）顯性要素：目標(biāo)要素；背景要素；知識(shí)要素；活動(dòng)要素；問題要素； 學(xué)法要素.（2）隱性要素：思想要素；能力要素；對(duì)話要素；評(píng)價(jià)要素：對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)、為學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)內(nèi)評(píng)價(jià). 詳見,王新民，王富英，譚竹著.數(shù)學(xué)學(xué)案及其設(shè)計(jì)【M】. 北京：科學(xué)出版社，2011:10-302.學(xué)案設(shè)計(jì)的概念

4、學(xué)案設(shè)計(jì)是教師為了有效的改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)和諧的發(fā)展，在教學(xué)理論與學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下，在認(rèn)真分析學(xué)情，深入鉆研教材、整合各種學(xué)習(xí)資源的基礎(chǔ)上，以學(xué)生的學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過程、學(xué)法指導(dǎo)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)研究與規(guī)劃，制定高效學(xué)習(xí)方案的過程由此可知，要進(jìn)行有效的學(xué)案設(shè)計(jì)，首先，深入鉆研教材和各種學(xué)習(xí)資料，并將其進(jìn)行有機(jī)整合；其次，在學(xué)習(xí)教學(xué)理論和學(xué)習(xí)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行編寫；第三，認(rèn)真分析學(xué)情 ，以學(xué)生的學(xué)為出發(fā)點(diǎn)；第四，系統(tǒng)的分析研究，統(tǒng)籌規(guī)劃各方面內(nèi)容 參考文獻(xiàn) 【1】 王富英，王新民. 數(shù)學(xué)學(xué)案及其設(shè)計(jì)J. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009,18(1):71-74 【2】

5、王新民，王富英，譚竹. 數(shù)學(xué)學(xué)案及其設(shè)計(jì)M.北京：科學(xué)出版社，2011:10-30,75. （二） 學(xué)案的主要欄目及設(shè)計(jì)【學(xué)習(xí)課題】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】【學(xué)習(xí)過程】【學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)】【學(xué)習(xí)鏈接】1.學(xué)習(xí)課題的設(shè)計(jì)要求每課時(shí)要注明章節(jié)題目.格式： 第章 第 課時(shí)，節(jié) （學(xué)習(xí)內(nèi)容的題目）案例1： 七年級(jí)上 第二章 第一課時(shí) 第二章 有理數(shù) 第一節(jié) 有理數(shù)的概念 111 有理數(shù)的概念 2.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】的設(shè)計(jì)要求【學(xué)習(xí)目標(biāo)】是寫給學(xué)生的，是給學(xué)生指出學(xué)習(xí)的方向和目標(biāo)要求，不要用教案中教學(xué)目標(biāo)的語言.如不要用“提高學(xué)生的”、“培養(yǎng)學(xué)生的”之類的語言進(jìn)行設(shè)計(jì)，而要用學(xué)生明確的、易懂的，可測(cè)的行為動(dòng)詞，如“能

6、舉例說出的含義”，“會(huì)運(yùn)用公式解答問題”等，而且目標(biāo)的設(shè)計(jì)要體現(xiàn)三維目標(biāo)，不能只有知識(shí)技能目標(biāo).案例2： 一元二次方程的概念的【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 能舉例說明一元二次方程的含義與特征并能運(yùn)用概念解題；2. 能從方程的解的概念和一元一次方程解的概念得出一元二次方程的解的概念并能運(yùn)用它解題；3. 通過一元二次方程概念和一元二次方程解的概念的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的形成過程，體會(huì)歸納、演繹與類比的學(xué)習(xí)方法。3【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】的設(shè)計(jì)要求重點(diǎn)是由其在知識(shí)體系中的地位確定的，具有穩(wěn)定性，可能還比較好寫，但要準(zhǔn)確確定需要認(rèn)真分析教材和研究高考.難點(diǎn)則因?qū)W生的基礎(chǔ)和能力不同而不同，具有相對(duì)性，可能不一定把握準(zhǔn)確.因此，

7、可以只寫【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】不寫【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】.重點(diǎn)的確定要準(zhǔn)確，表述要清楚.它可以是學(xué)習(xí)目標(biāo)中的某一個(gè)或兩個(gè).但重點(diǎn)不要太多.它必須是一節(jié)課的核心內(nèi)容和主要方法.如，案例2 中的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是“正確理解一元二次方程的概念及并能利用概念正確解題 ”參考文獻(xiàn)： 王富英. 怎樣確定教學(xué)的重、難點(diǎn)【J】. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2010（1-2）:17-18,38.4【學(xué)習(xí)過程】的設(shè)計(jì)【學(xué)習(xí)過程】是學(xué)案的主要部分，它包括“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、學(xué)習(xí)探究、變式練習(xí)、學(xué)習(xí)反思”四個(gè)方面“學(xué)習(xí)過程”的設(shè)計(jì)一般按知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成過程來寫為佳，也可以按學(xué)習(xí)活動(dòng)的展開過程來寫，同時(shí)還要根據(jù)學(xué)習(xí)知識(shí)的內(nèi)容來確定.最好是按知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形

8、成過程并結(jié)合學(xué)生探究活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì). 教師對(duì)學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)是結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容有機(jī)地融入到學(xué)習(xí)過程之中.如對(duì)學(xué)法指導(dǎo)的具體設(shè)計(jì)可用“提示”、“建議”、“注意”、“要求”等指導(dǎo)語，把教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求與建議、學(xué)法指導(dǎo)融入具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容之中，以引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)（1）“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”的設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備” 有兩方面的含義:一是為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容做好知識(shí)、方法、情感和工具上的準(zhǔn)備，是為學(xué)生順利進(jìn)入新課學(xué)習(xí)做好鋪墊和掃清知識(shí)、方法上的障礙，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求奇欲,起到“先行組織者”的作用,為新知識(shí)的產(chǎn)生做好鋪墊. 二是學(xué)會(huì)如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備.案例3: 平方差公式的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備： 1.學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容需要熟悉“多項(xiàng)式乘

9、多項(xiàng)式”、“冪的乘方”和“積的乘方”的運(yùn)算法則，學(xué)習(xí)前可先檢查自己是否熟悉這幾個(gè)法則，若不熟悉可翻到本冊(cè)教材第32頁(yè)，18-20頁(yè)看看；2.同學(xué)們?cè)诶枚囗?xiàng)式乘法方則進(jìn)行多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算時(shí)，是否感到有些繁瑣？是否渴望有一個(gè)公式能很快得出運(yùn)算結(jié)果？學(xué)完本節(jié)內(nèi)容后你的這一愿望就基本會(huì)如愿以賞了！ “知識(shí)準(zhǔn)備”的撰寫方式： 提問式：提問式就是把節(jié)將要用到的知識(shí)用提問的形式引導(dǎo)學(xué)生去復(fù)習(xí).如，案例3的3問. 指導(dǎo)自查式：指導(dǎo)自查式是教師設(shè)計(jì)時(shí)用一些指導(dǎo)用語要求學(xué)生去復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容 填空式：這是學(xué)習(xí)中將要用到的知識(shí)用習(xí)題填空的形式進(jìn)行設(shè)計(jì).實(shí)際上，也可以從這樣幾個(gè)方面展開：明確需要用到的基礎(chǔ)知識(shí)，你準(zhǔn)

10、備好了嗎？即方式2，指導(dǎo)自查式，以問題形式梳理相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備，即所謂提問式.“情感準(zhǔn)備”的撰寫要設(shè)身處地地為學(xué)生著想，從學(xué)生的期盼中提出問題，激發(fā)興趣.例如，案例3的第3問.注意：1. 不是每節(jié)課每種課型都有學(xué)習(xí)準(zhǔn)備,例如，復(fù)習(xí)課的章節(jié)的第一節(jié)課主要是基礎(chǔ)知識(shí)的系統(tǒng)整理，既可以不要這個(gè)欄目. 2.【學(xué)習(xí)準(zhǔn)備】不是課前預(yù)習(xí)，不要寫成看教材第頁(yè)至第頁(yè)，并回答以下問題. 參考文獻(xiàn)： 王富英. 學(xué)案中“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”的設(shè)計(jì)J.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬刊).2010(6)（2）“學(xué)習(xí)探究”的設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)探究”是學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)的核心部分，它含有兩方面的含義:一是對(duì)學(xué)習(xí)新知的探究;二是學(xué)習(xí)如何探究.它具有三種形式：一是

11、閱讀探究；二是發(fā)現(xiàn)探究；第三是兩者的結(jié)合.同時(shí),根據(jù)不同課型和不同內(nèi)容又有不同的要求，如“概念的探究”、“公式的探究”、“定理的探究”、“法則的探究”、“解題規(guī)律的探究”等.這在后面各種類型的學(xué)案設(shè)計(jì)中將講述.“學(xué)習(xí)探究”一般按知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程進(jìn)行設(shè)計(jì)，也可以按探究活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì).學(xué)習(xí)探究的活動(dòng)過程中，要根據(jù)探究的內(nèi)容以“觀察(閱讀)思考”、“歸納概括”等小欄目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.案例4： 平方差公式的【學(xué)習(xí)探究】（一）公式的探究閱讀探究： 完成教材35頁(yè)的“做一做”，并仔細(xì)觀察算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)你用自已的語言敘述你的發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：_.思路啟迪：注意觀查“做一做”四個(gè)計(jì)算題中每

12、一個(gè)題由哪些部分組成，它們中每個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、符號(hào)有何相同點(diǎn)和不同個(gè)點(diǎn)。想一想： 你能推導(dǎo)該公式嗎？推導(dǎo)的依據(jù)是什么？ 請(qǐng)將你推導(dǎo)的過程寫在下面。公式的推導(dǎo)：公式特征的認(rèn)識(shí) 思考：1.公式左右兩邊各是什么形式？2公式中含有幾個(gè)字母，這些字母有何特點(diǎn)？（3）“變式練習(xí)”的設(shè)計(jì) “變式練習(xí)是在探究得出新知后,對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固運(yùn)用的設(shè)計(jì).變式練習(xí)的設(shè)計(jì)要遵循”循序漸進(jìn)”的原則,由淺入深,步步深入.設(shè)計(jì)的形式要多樣，題型要多樣.變式練習(xí)的處理方式有兩種:一是在每個(gè)例題后的變式練習(xí).二是用題組的形式進(jìn)行專門的變式練習(xí).若是公式的運(yùn)用,則可設(shè)計(jì)三組:公式順用、公式的逆用、公式的變用和公式的連用；若是命題的運(yùn)用

13、，則可以變?yōu)榈葍r(jià)命題、否命題、逆命題、逆否命題等.變的方式可以是變條件、變結(jié)論、變形式、變內(nèi)容、變背景等，還有一從一種形式逐漸變化為另一種形式，以培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移能力和創(chuàng)新能力.案例5：平方差公式的【變式練習(xí)】在弄清以上問題后請(qǐng)做例2后的“隨堂練習(xí)”和以下的練習(xí)：用平方差公式計(jì)算下列各式：(套用公式了！)（1） (2) (3) (4) (5) (6) 用平方差公式計(jì)算下列各式：(位置有變化了！)（1) （2） （3） （4） （5） 填空：(公式反著用了！) （1）（ ）（3x+2y）=(9x2-4y2) (2)（ )( - )=0.04a4- (3) ( + )( )49s2-64t2 化簡(jiǎn)

14、求值: (連用公式了！)已知x = - 3 ，求 的值（4）“學(xué)習(xí)反思”的設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)反思”有兩方面的含義:一是對(duì)知識(shí)、方法和自我體驗(yàn)與感悟的反思，它屬于學(xué)習(xí)內(nèi)評(píng)價(jià)和為學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)；二是學(xué)會(huì)如何反思，進(jìn)而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。在學(xué)案的設(shè)計(jì)中“學(xué)習(xí)反思”有兩部分內(nèi)容，一是對(duì)某一問題解決后的反思；一類是作為一個(gè)欄目對(duì)全課的反思.反思的內(nèi)容主要有兩部分：一是解題規(guī)律和方法的反思，而是解題策略和學(xué)習(xí)策略的反思.前者得反思在學(xué)案設(shè)計(jì)中可以用一下提問引導(dǎo)進(jìn)行:“此題還有其它解法嗎？”“解決在此問題用到了那些數(shù)學(xué)思想方法，這種方法能否用于解決其他問題？”“問題的內(nèi)在規(guī)律是什么？”“特殊形式是什么？一般形式如何？”“逆命題是

15、否成立？”“能否推廣？”后者在學(xué)案的設(shè)計(jì)中可以用一下提問引導(dǎo)進(jìn)行：“自己沒有很快找到解題思路的原因是什么？”“自己在解答的過程是否走了彎路？”“自己的解答是否最優(yōu)？”等.“學(xué)習(xí)反思”的設(shè)計(jì)要遵循循序漸進(jìn)的原則，特別是作為一個(gè)欄目的學(xué)習(xí)反思的設(shè)計(jì).剛開始可以幫助寫出對(duì)全課的反思小結(jié)，其后可以采用填空的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行，最后就以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生反思.但這種方式只能用于對(duì)知識(shí)的反思.對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)策略與方法的反思一開始就要用提問題的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行，從而教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)反思.案 例5：數(shù)學(xué)41.3 誘導(dǎo)公式（1）的“學(xué)習(xí)反思”.【學(xué)習(xí)反思】（請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的反思小結(jié)，并認(rèn)真體會(huì)）（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了誘

16、導(dǎo)公式（二）至公式（四）.公式（一）至公式（四）記憶的口訣是 “函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.請(qǐng)注意口訣的意義.（2）在求任意角的三角函數(shù)值時(shí)一般可按以下步驟：（3）利用誘導(dǎo)公式（一）至公式（四）可以求出任意角的三角函數(shù)值.在解答時(shí)關(guān)鍵是要把角變成公式的形式，值得注意的是要注意符號(hào).（4）利用誘導(dǎo)公式（一）至公式（四）求任意角的三角函數(shù)的值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而體現(xiàn)了劃歸的數(shù)學(xué)思想方法.點(diǎn)評(píng)：這里給出的是本節(jié)課知識(shí)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)反思，學(xué)習(xí)反思還有學(xué)習(xí)者自己的體驗(yàn)與感悟，學(xué)習(xí)策略與方法的反思.對(duì)于前者，有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，開始階段可以設(shè)計(jì)者可以給出完整的反思小結(jié)，但要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)細(xì)體味，逐漸過渡

17、到讓學(xué)生自己能進(jìn)行知識(shí)的歸類整理總結(jié)，從而達(dá)到由扶到放，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)反思的目的.對(duì)于后者，只能有學(xué)習(xí)者自己進(jìn)行，設(shè)計(jì)者是不能代替的. 案例6： 一元二次方程的概念一節(jié)課“學(xué)習(xí)反思”。 1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了那些知識(shí)？如何判斷一個(gè)方程是一元二次方程？ 2.在利用概念解題的過程中用到了那些數(shù)學(xué)思想方法？5【學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)】設(shè)計(jì)要求“學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)”有兩方面的含義：一是對(duì)“對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”、“為學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”和“學(xué)習(xí)內(nèi)評(píng)價(jià)”；二是學(xué)習(xí)如何評(píng)價(jià)。在學(xué)案的設(shè)計(jì)中，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)主要有“對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”和“學(xué)習(xí)內(nèi)評(píng)價(jià)”.“學(xué)習(xí)內(nèi)評(píng)價(jià)”主要在解決某一問題后和本課學(xué)習(xí)要結(jié)束時(shí)的學(xué)習(xí)反思中進(jìn)行.“對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)”主要是課后的“達(dá)標(biāo)檢測(cè)”，

18、主要目的是檢測(cè)自己本課的學(xué)習(xí)是否到達(dá)了學(xué)習(xí)目標(biāo)的要求.它既可以作為學(xué)習(xí)者自己對(duì)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，也可以用于教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià).為了滿足不同學(xué)生的需要，可以設(shè)計(jì)兩個(gè)層次：“自我測(cè)評(píng)一”和“自我測(cè)評(píng)二”.這個(gè)欄目可以分成幾個(gè)層次，以滿足不同學(xué)校和不同學(xué)生的需要.案例7： “因式分解應(yīng)用”解題學(xué)習(xí)課的【學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)】【學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)】自我評(píng)價(jià)一（體驗(yàn)與感悟）： 1本節(jié)課我學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和方法，有何收獲與感悟？ 2. 本課題我還有那些問題沒有弄清楚？自我測(cè)評(píng)二（知識(shí)技能檢測(cè)）：1利用分解因式計(jì)算：（1） （2）2先分解因式，然后計(jì)算求值：（1）已知：，求多項(xiàng)式的值 。（2）已知：，求多項(xiàng)式的值。3 已知：為ABC的

19、三邊長(zhǎng)，求證：4. 已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求m的值。6【學(xué)習(xí)鏈接】的設(shè)計(jì)“學(xué)習(xí)鏈接”是指結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容提供和介紹相關(guān)的學(xué)習(xí)材料、有關(guān)結(jié)論，以引導(dǎo)學(xué)生去自我檢查和課后查閱與閱讀，以開闊學(xué)生的眼界和視野.“學(xué)習(xí)鏈接”分為“問題結(jié)論的鏈接”、“思路與方法的鏈接”和“學(xué)習(xí)資源鏈接”等.前兩者主要用于學(xué)習(xí)探究的過程中，對(duì)某一問題的解決.先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，探究的結(jié)論和解決問題的思路與方法放到學(xué)案的最后【學(xué)習(xí)鏈接】部分，這樣的優(yōu)點(diǎn)是避免事先告知結(jié)論干擾學(xué)生的獨(dú)立探究，當(dāng)學(xué)生實(shí)在不能解決或得出解答后再看學(xué)習(xí)鏈接告知的答案，既可以起到進(jìn)行自我評(píng)價(jià)的作用，也可以起到提示的作用.而“學(xué)習(xí)資源鏈接”主要是開闊學(xué)生

20、的眼界和視野.，設(shè)計(jì)時(shí)可以直接給出閱讀材料，也可以只給參考文獻(xiàn)或網(wǎng)站地址.案例8. （北師大版七年級(jí)下冊(cè) 第一章 整式的運(yùn)算 第一節(jié)”平方差公式（1）的【資源鏈接】 【閱讀材料】 “一般”與“特殊” “特殊”與“一般”是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.二者相互依存、相互轉(zhuǎn)化、互為存在的前提條件.“特殊”隱含有“一般”，“一般”包含有“特殊”.也就是說，特殊事務(wù)中一定隱藏事物的共有屬性，如果我們善于挖掘特殊事物背后所隱含的一般屬性，往往可發(fā)現(xiàn)事物的普遍規(guī)律.因此，它是人們認(rèn)識(shí)事物，研究問題的一種有效的思想方法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們經(jīng)常利用從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，將特殊問題一般化以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.

21、如，本課中表現(xiàn)為從“做一做”的四個(gè)“特殊”例子歸納概括出“一般”的平方差公式.此外，由“一般”到“特殊”也是我們常用的認(rèn)識(shí)和解決問題的思維方法數(shù)學(xué)中公式、定理的證明與運(yùn)用就是由“一般”到“特殊”思維方法.本課中公式的運(yùn)用就表現(xiàn)為一般到特殊的思想方法.在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)你面對(duì)一個(gè)太抽象、條件太一般的問題時(shí)，看看能否利用各方面的信息來探討問題的特殊狀況，然后借助一般成立，特殊一定成立；特殊成立，一般不一定成立；特殊不成立，一般一定不成立的邏輯知識(shí)，根據(jù)問題的形式，往往就能做出問題的解答評(píng)析：這是設(shè)計(jì)者把教材中推導(dǎo)平方差公式所有用到的數(shù)學(xué)（不只是數(shù)學(xué)，它具有一般性）探究發(fā)現(xiàn)的方法歸納法（由特殊到一

22、般）上升到哲學(xué)的層面，就“特殊與一般”的關(guān)系編寫的一段供學(xué)生閱讀的材料.使學(xué)生在閱讀的過程中自覺接受數(shù)學(xué)文化的洗禮與熏陶.（三）學(xué)案設(shè)計(jì)的原則1目標(biāo)性原則目標(biāo)性原則包括兩個(gè)方面的含義.一是學(xué)習(xí)過程中各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)與學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)計(jì)安排都必須緊緊圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行；二是學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)要以學(xué)習(xí)目標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn).學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)立既要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，明確學(xué)習(xí)意向，對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)容產(chǎn)生一種期盼的心情，又要能為學(xué)生的學(xué)習(xí)探究過程與學(xué)習(xí)效果提供一個(gè)明確而有效的評(píng)估或評(píng)價(jià)（包括過程性評(píng)價(jià)與結(jié)果性評(píng)價(jià)）依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn).在編制學(xué)案時(shí)，不論是對(duì)教材的理解與挖掘，公式、定理的推導(dǎo)，還是例題和練習(xí)題的設(shè)計(jì)，學(xué)生的反思小結(jié)，學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的

23、設(shè)計(jì)都應(yīng)以目標(biāo)的達(dá)成為核心進(jìn)行組織、安排和設(shè)計(jì).學(xué)案設(shè)計(jì)中貫徹這一原則時(shí)有以下要求：（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)要準(zhǔn)確具體.由于學(xué)習(xí)目標(biāo)的行為主體是學(xué)生，設(shè)計(jì)時(shí)必須要從學(xué)生的角度出發(fā)，要樹立一種“學(xué)”的課程意識(shí).目標(biāo)的指向要具體直觀，要用學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在心理過程和外在行為表現(xiàn)相結(jié)合的語言來描述，即用學(xué)生熟悉的、動(dòng)作指向明確的語言進(jìn)行表述.不要籠統(tǒng)地使用“了解”、“理解”、“掌握”等術(shù)語，而多用“知道”、“說明”、“舉例”、“解釋”、“比較”、“推測(cè)”、“整理”等詞語.關(guān)于如何準(zhǔn)確具體的設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們將在下一章中進(jìn)行了論述.（2）針對(duì)性要強(qiáng).有兩方面的要求，一是要針對(duì)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”來設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)，要準(zhǔn)

24、確把握學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平與需要達(dá)到的目標(biāo)之間的差距，使所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)目標(biāo)既要以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，又是學(xué)生經(jīng)過努力能夠達(dá)到的；二是學(xué)案中每一內(nèi)容的確定，每項(xiàng)活動(dòng)的安排，都要針對(duì)某一具體學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成來設(shè)計(jì).（3）要有目標(biāo)意識(shí).進(jìn)行學(xué)案設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)者心中必須要有目標(biāo)意識(shí)，真正把學(xué)習(xí)目標(biāo)作為學(xué)習(xí)材料選擇、學(xué)習(xí)活動(dòng)安排、學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)以及學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)或準(zhǔn)則.只有教師具有強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)，在設(shè)計(jì)時(shí)，才能把這種目標(biāo)意識(shí)體現(xiàn)在學(xué)案的字里行間，也才能由此而激發(fā)學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，也才能使學(xué)習(xí)目標(biāo)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的指南.在實(shí)際的學(xué)案設(shè)計(jì)中，我們發(fā)現(xiàn)有的學(xué)案把學(xué)習(xí)目標(biāo)作為一種擺設(shè)，有的學(xué)案根本就沒有學(xué)

25、習(xí)目標(biāo)，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)隨意性大、學(xué)習(xí)活動(dòng)指向不明、學(xué)習(xí)重點(diǎn)不明確等弊端，甚至有的學(xué)案所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)活動(dòng)與學(xué)習(xí)目標(biāo)相脫離，從而嚴(yán)重影響了學(xué)案設(shè)計(jì)的質(zhì)量.學(xué)案設(shè)計(jì)中貫徹啟發(fā)指導(dǎo)原則時(shí)有以下幾點(diǎn)要求：1）認(rèn)真鉆研教材和分析學(xué)情.只有深入鉆研理解教材，認(rèn)真全面的分析學(xué)情，才能真正把握教材，才能知道那些內(nèi)容或問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和薄弱點(diǎn)，在學(xué)案設(shè)計(jì)時(shí)，才能針對(duì)這些學(xué)習(xí)要點(diǎn)進(jìn)行有效的鋪墊、提示、點(diǎn)撥與引導(dǎo).例如，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)新知時(shí)需要用到原有的某一知識(shí)，但由于間隔時(shí)間較長(zhǎng)，大多學(xué)生已遺忘，在學(xué)案設(shè)計(jì)時(shí)就要在“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中啟發(fā)指導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行復(fù)習(xí).2）啟發(fā)指導(dǎo)要恰當(dāng)和適度.恰當(dāng)是指要根據(jù)教

26、材內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，在學(xué)生需要時(shí)進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥、指導(dǎo).適度包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是指數(shù)量要適度，不要過多，過濫，學(xué)生自己通過思考能解決的問題不要提示和指導(dǎo)；二是指提出啟發(fā)思考的問題難度要適度，所提出的問題對(duì)于學(xué)生而言要具有潛在的心理意義，使多數(shù)學(xué)生在通過一定的思考與探究后能夠獲得答案或發(fā)現(xiàn)結(jié)論.3）啟發(fā)性問題要簡(jiǎn)明、生動(dòng)、有趣、富有價(jià)值.首先，提出的問題要明確具體，便于學(xué)生理解和操作；其次，所提出的問題要能夠激發(fā)學(xué)生的“三欲”，即求奇欲、求知欲和求識(shí)欲；第三，問題的敘述形式要生動(dòng)、新穎、親切；第四，在內(nèi)容上要有價(jià)值，要圍繞學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，并能夠較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值

27、和美學(xué)價(jià)值等.4）啟發(fā)性問題要有挑戰(zhàn)性.主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是提出的啟發(fā)問題要在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)并有一定的難度，要使學(xué)生意識(shí)到，要解決學(xué)案中設(shè)計(jì)的問題，不看書不行，看書不細(xì)致也不行，光看書不思考不行，思考不深不透也不行；二是設(shè)計(jì)的問題要有一定的開放性，要有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)；在思維能力上，要能夠促進(jìn)歸納思維與演繹思維和諧發(fā)展.特別是要加強(qiáng)歸納問題的設(shè)計(jì)，我國(guó)學(xué)生創(chuàng)新能力弱，主要就弱在歸納能力上.設(shè)計(jì)時(shí)要體現(xiàn)“開而弗達(dá)”的思想，呈現(xiàn)給學(xué)生的不是結(jié)果，而是能夠生成結(jié)果的事實(shí)與現(xiàn)象；給他們提供面對(duì)事實(shí)或現(xiàn)象的機(jī)會(huì)，使他們能夠在寧?kù)o的觀察思考中，做出大膽的歸納猜測(cè).

28、2循序漸進(jìn)原則循序漸進(jìn)原則，是指學(xué)案的設(shè)計(jì)要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)者的身心發(fā)展規(guī)律，有次序、有步驟、由易到難地逐漸進(jìn)行，從而使學(xué)習(xí)者能夠有效的掌握系統(tǒng)的知識(shí)技能，促進(jìn)身心健康的向前發(fā)展.循序漸進(jìn)原則是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的客觀要求，也是學(xué)習(xí)制約于學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律的反映.我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)體系，知識(shí)的前后順序不能顛倒.學(xué)生要學(xué)習(xí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就必須遵照數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯順序，掌握其基本結(jié)構(gòu).否則，就會(huì)邏輯混亂，雜亂無章；就會(huì)只見樹木不見森林，看不到知識(shí)的全貌，從而造成學(xué)習(xí)上不必要的困難，還可能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)異化為斷章取義和死記硬背.學(xué)案設(shè)計(jì)中貫徹這一原則時(shí)有以下幾點(diǎn)要求：（1）要把握好

29、三個(gè)“序”1）學(xué)習(xí)內(nèi)容的序.一般來說，課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書體系與相應(yīng)年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)能力、掌握知識(shí)的順序是相適應(yīng)的.因此，設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)學(xué)案前必須認(rèn)真鉆研教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，掌握好教材內(nèi)容的體系以及知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并把它們體現(xiàn)在學(xué)案材料的組織編排之中，使得學(xué)案中的知識(shí)保持應(yīng)有的邏輯關(guān)系和結(jié)構(gòu)體系（雖然當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)不再追求嚴(yán)密的形式化系統(tǒng)，但必要的邏輯結(jié)構(gòu)還是應(yīng)該要的）.2）學(xué)習(xí)活動(dòng)的序.荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾指出：“學(xué)校中的學(xué)習(xí)不是那些封閉的系統(tǒng)，而是作為一項(xiàng)人類活動(dòng)的數(shù)學(xué)，是從現(xiàn)實(shí)生活開始的數(shù)學(xué)化過程.”既然數(shù)學(xué)是人類的一項(xiàng)活動(dòng)，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)就必然要遵循人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律：實(shí)踐認(rèn)識(shí)再實(shí)

30、踐在認(rèn)識(shí).學(xué)案作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的方案，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該堅(jiān)持更為實(shí)踐的態(tài)度，盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生與形成過程，使他們?cè)趯?shí)踐中發(fā)現(xiàn)提出問題，并且在實(shí)踐中探尋規(guī)律和結(jié)論.從數(shù)學(xué)思維的角度來講，就是先開展歸納活動(dòng)，再開展演繹活動(dòng).3）學(xué)習(xí)過程的序.一般而言，任何學(xué)習(xí)過程都需經(jīng)歷先模仿熟悉、再理解掌握、最后達(dá)到靈活運(yùn)用這三個(gè)階段.在學(xué)案設(shè)計(jì)中，不要一味貪多，急于求成，要善于把教材內(nèi)容進(jìn)行分解，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，由易到難、由淺入深、由近及遠(yuǎn)地安排各個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠真實(shí)的循序漸進(jìn)、拾級(jí)而上.（2）把握好設(shè)計(jì)的層次性1）知識(shí)內(nèi)容設(shè)計(jì)的層次性整體上看，學(xué)案體現(xiàn)了一個(gè)相對(duì)完整

31、的學(xué)習(xí)過程，完成了學(xué)案中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，就完成了一個(gè)學(xué)習(xí)循環(huán)周期：課前課中課后.這一點(diǎn)，我們?cè)诘谝徽轮性懻撨^.課前學(xué)習(xí)主要是一種準(zhǔn)備性的學(xué)習(xí)，所要達(dá)到的是“最近發(fā)展區(qū)”的前端水平，相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)以梳理舊知識(shí)和直觀感受事實(shí)性的新知識(shí)為主.課中學(xué)習(xí)主要是一種師生互動(dòng)的學(xué)習(xí)，所要達(dá)到的是“最近發(fā)展區(qū)”的后端水平，學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)以概念性知識(shí)與方法性知識(shí)為主.課后學(xué)習(xí)主要是一種反思拓展性的學(xué)習(xí)，其目的是使學(xué)習(xí)達(dá)到“后發(fā)展區(qū)”的水平，使學(xué)生對(duì)學(xué)知識(shí)的意義與價(jià)值所評(píng)價(jià)與認(rèn)識(shí)，因此，設(shè)計(jì)是應(yīng)以價(jià)值性知識(shí)為主.這樣的設(shè)計(jì)可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)，不但在知識(shí)層面上經(jīng)歷了一個(gè)由低到高的過程，即從事實(shí)性知識(shí)，到概念性知識(shí)與方法性

32、知識(shí)，再到價(jià)值性知識(shí)，而且在思維層面上也經(jīng)歷了一個(gè)由低到高的過程，即從感性思維水平，到理性思維水平，再到辨證思維水平.2）問題設(shè)計(jì)的層次性“問題是數(shù)學(xué)的心臟！”問題是學(xué)案構(gòu)成的核心要素之一，從一定角度講，問題也是學(xué)案的心臟.一個(gè)好的數(shù)學(xué)學(xué)案應(yīng)該體現(xiàn)“問題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)原理，應(yīng)以不同層級(jí)的問題作為學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的導(dǎo)向以及學(xué)習(xí)進(jìn)程的標(biāo)志.因此，問題設(shè)計(jì)的層次性是學(xué)案設(shè)計(jì)必須要處理好的一個(gè)問題.在實(shí)際設(shè)計(jì)中，我們把學(xué)案中所涉及到的問題（包括習(xí)題）分成了由低到高的六種類型：）識(shí)別性習(xí)題、程序性習(xí)題、）變式性習(xí)題、應(yīng)用性問題、）拓展性問題和情境性問題（詳見本書第七章）.這是分類是針對(duì)學(xué)案整體而言的，若對(duì)于

33、學(xué)習(xí)活動(dòng)而言，則常常將問題設(shè)計(jì)成“問題串”的形式.為了提高“問題串”的層次性，可根據(jù)澳大利亞教育心理學(xué)家畢哥斯(J.B.Biggs)和科林斯(K.F.Collins)所提出的SOLO分類理論進(jìn)行“問題串”的設(shè)計(jì).跟據(jù)SOLO分類理論可將“問題串”中的問題設(shè)計(jì)成如下四種水平：?jiǎn)我唤Y(jié)構(gòu)水平問題：只使用一個(gè)相關(guān)的線索或資料，就得出問題的答案；多元結(jié)構(gòu)水平問題：直接利用問題中兩條或更多的相互獨(dú)立的信息，可得出問題的答案；關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平問題：只有把問題各個(gè)的信息整合為一個(gè)有機(jī)整體，才能夠得出答案； 拓展抽象水平問題：解答時(shí)，需要從問題所蘊(yùn)涵的信息中提取抽象的一般原理.第二部分 各種類型學(xué)案的設(shè)計(jì)一、 數(shù)學(xué)

34、概念的學(xué)案設(shè)計(jì)1. 概念學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)過程許多教師在教學(xué)中都存在這樣的問題大家都知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概念很重要，也清楚，很多學(xué)生在解題中犯一些低級(jí)錯(cuò)誤、許多成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生常常在簡(jiǎn)單題上出錯(cuò)，都是由于概念不清而不能自如的運(yùn)用概念造成的，但在概念教學(xué)上卻舍不得花時(shí)間許多教師在教學(xué)中直接給出概念后就急急忙忙將大量的時(shí)間用于解題訓(xùn)練上，他們也許認(rèn)為概念很簡(jiǎn)單，直接給予學(xué)生就可以了實(shí)際上“知識(shí)和概念是不能直接給予學(xué)生的我的知識(shí)或者概念也很難轉(zhuǎn)化為他的的知識(shí)或者概念，根本原因在于每個(gè)人的知識(shí)都必須有一個(gè)形成和發(fā)展的過程”季萍著叫什么知識(shí)-對(duì)教學(xué)知識(shí)論基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)M北京：教育科學(xué)出版社，2009：233因此，要學(xué)好數(shù)學(xué)概

35、念，就必須親歷概念形成的過程，在“再創(chuàng)造”的過程中理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)含在概念中的思想方法一般地，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)要經(jīng)歷以下幾個(gè)基本過程：操作想象概括固化（逗留）應(yīng)用結(jié)構(gòu)第一，操作指?jìng)€(gè)體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象的過程操作就是讓學(xué)生“回到事實(shí)面前”，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、嘗試等活動(dòng)，為概念的形成積累豐富的感覺經(jīng)驗(yàn)操作活動(dòng)是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，操作活動(dòng)可使學(xué)生親身體驗(yàn)和感受概念的直觀背景與概念間的關(guān)系操作可分為具體行為操作和思維操作例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念時(shí)，先讓學(xué)習(xí)者觀察概括幾個(gè)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，所進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動(dòng)就是一種思維的操作只有學(xué)習(xí)者經(jīng)歷一定量的

36、操作后，才能形成一定的感性認(rèn)識(shí)，為下一步想象的開展提供直觀基礎(chǔ)和感性經(jīng)驗(yàn)因此，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)案設(shè)計(jì)中，要提供給學(xué)生一定量的隱含概念本質(zhì)特征的事實(shí)材料，并提出具體的操作要求，讓學(xué)生主動(dòng)的、有目的的開展豐富多樣的行為操作和思維操作活動(dòng)第二，想象想象是對(duì)操作過程的壓縮與內(nèi)化想象的前提是具體事例“共同性印象”的形成，而“共同性印象”的形成的前提是一定量直觀感知經(jīng)驗(yàn)的積累當(dāng)“操作”經(jīng)過多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，就可以引起聯(lián)想或想象而轉(zhuǎn)化為內(nèi)容的心理操作活動(dòng)（即產(chǎn)生“內(nèi)觀”）學(xué)習(xí)者就可以直接想象這個(gè)“操作”，而不需要通過外顯的直觀操作過程，他可以在頭腦中實(shí)施這個(gè)操作過程進(jìn)而，他還可以對(duì)這個(gè)過程進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與

37、其它程序進(jìn)行組合例如，通過對(duì)數(shù)列前三項(xiàng)2，4，6的觀察，可以想象得出第四項(xiàng)為8，第10項(xiàng)為20，等等因此，想象是在操作的基礎(chǔ)上向抽象跨出的第一步在以往的概念教學(xué)中，由于缺少了“想象”這一環(huán)節(jié)，使得所形成概念或者只停留在感覺經(jīng)驗(yàn)的層面上，或者只是一些純粹的抽象符號(hào)或術(shù)語在學(xué)案的設(shè)計(jì)中一般通過設(shè)計(jì)一些思考問題來幫助學(xué)生進(jìn)行過反思、聯(lián)想和想象如案例5-3中，在操作活動(dòng)1、2、3之后，為了引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生進(jìn)行想象，可設(shè)計(jì)一些思考下的問題在操作活動(dòng)1、2后可設(shè)計(jì)反思性問題：字母x、n分別表示什么？字母有何作用？在操作活動(dòng)3后可設(shè)計(jì)反思性問題：（1）在活動(dòng)1，2，3中各問題的答案是由什么組成的？從中你能否發(fā)

38、現(xiàn)“字母”可以表示什么？（2）這些答案的共同特點(diǎn)是什么？（3）你想象出一些類似的式子嗎？ 第三，概括在經(jīng)歷“操作”與“想象”兩個(gè)過程后，結(jié)合對(duì)具體操作事實(shí)材料的觀察思考和想象得出的具體事例，再通過“由表及里，去偽存真，由此及彼”的反復(fù)運(yùn)作過程，歸納抽象出概念的本質(zhì)特征，由此而得出科學(xué)的概念例如，在對(duì)數(shù)列（1）2，4，6，；（2）0，5，10，15，；（3）1，-1，-3，-5，等進(jìn)行觀察操作與想象類似數(shù)列后，通過比較與區(qū)分，便可以概括出這類數(shù)列的共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，在此基礎(chǔ)上給出等差數(shù)列的定義可以說是水到渠成的事了又如，在案例5-3中，通過學(xué)生對(duì)活動(dòng)1、2、3的特

39、點(diǎn)、反思和想象的概括，可以抽象出所得答案與所想象的式子的共同特征：“它們含有加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算”；“都含有字母”；“ 字母可以表示具有一般性的數(shù)”；“含有字母的式子可以表示一般規(guī)律、運(yùn)算律以及一些事物的數(shù)量關(guān)系”等在此基礎(chǔ)上，提出代數(shù)式的概念就比較自然第四，固化（逗留）大家應(yīng)當(dāng)明白“概念不能一次性學(xué)會(huì)”季平叫什么知識(shí)-對(duì)教學(xué)知識(shí)論基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)M北京：教育科學(xué)出版社，2009：233給出了概念的定義并不意味著概念就形成了，而只是概念形成的開端因此，在給出概念的定義之后，不要急忙往前走，應(yīng)在概念的定義處作一些逗留因?yàn)楦拍畹膬?nèi)涵具有豐富性，但這些豐富性是抽象的，它們并不會(huì)自動(dòng)地顯現(xiàn)出來，只有專

40、心地“逗留”其面前，以安寧的心態(tài)對(duì)待它，概念的內(nèi)在豐富性才可能顯現(xiàn)出來，由此也才能豐富對(duì)概念的理解和認(rèn)識(shí)根據(jù)現(xiàn)象學(xué)的觀點(diǎn)，“逗留”就是“回到事實(shí)本身”的一種具體方式季平叫什么知識(shí)-對(duì)教學(xué)知識(shí)論基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)M北京：教育科學(xué)出版社，2009：277但遺憾的是，教學(xué)中教師并不逗留在概念面前，帶領(lǐng)學(xué)生從各個(gè)不同的角度和層次去審視概念，而是急忙進(jìn)入到“題?！庇?xùn)練之中，就如現(xiàn)象學(xué)家海德格爾所說的那樣：“放任自己從一個(gè)事實(shí)到下一個(gè)事實(shí)，追逐不?！?，從而割斷了學(xué)生探究和感受概念豐富性的道路逗留，不是停下來休息，而是對(duì)給概念進(jìn)行進(jìn)一步的挖掘與分析、對(duì)概念的形成過程進(jìn)行回味、思考概念定義語句的特點(diǎn)和含義，通過正反例

41、析和各種不同角度的審視，以達(dá)到內(nèi)化概念、固化概念和認(rèn)識(shí)概念的目的如，在給出等差數(shù)列的概念后，要審視、分析定義的語句特點(diǎn)和關(guān)鍵詞的含義，結(jié)合正例與反例的辨析，使學(xué)生從各種角度挖掘和感受等差數(shù)列概念的豐富性我們用下面的例子來加以說明例：判別以下數(shù)列是否為等差數(shù)列，若不是請(qǐng)說明理由（1） -1，3 ，6，9， 12 ，15 ，18；（2） 2， 4， 6， 8，11，14，17，20，；（3） 2，3，2，3，2，3，（4） 10，7，4，1，-2，-5，數(shù)列（1）從第三項(xiàng)其每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)3，但第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的差卻是4，不符合定義中的“從第二項(xiàng)起”；數(shù)列（2）的前四項(xiàng)和后四項(xiàng)中，每一項(xiàng)與

42、前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，但不是同一個(gè)常數(shù)，由此可使學(xué)生體現(xiàn)或感受到“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是常數(shù)”這一本質(zhì)特征的真正含義；數(shù)列（3），從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和是常數(shù)，而相應(yīng)的差不是常數(shù)只有數(shù)列（5）符合要求是等差數(shù)列通過這樣正反幾個(gè)例子的辨析，使學(xué)生感受與理解了定義中“從第二項(xiàng)起”，“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差”、“都是同一個(gè)常數(shù)”等關(guān)鍵詞的真正含義，深化了對(duì)“等差”這一本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)；明白了為什么叫“等差數(shù)列”而不叫“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”的道理同時(shí)還可以引發(fā)學(xué)生去進(jìn)一步聯(lián)想和思考有沒有“等和數(shù)列”、“等積數(shù)列”等問題第五，運(yùn)用是指通過運(yùn)用概念去分析解決具體的問題，以進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解，進(jìn)而達(dá)到

43、活化概念理解水平當(dāng)然，在“逗留（固化）”時(shí)也在運(yùn)用概念去辨析真?zhèn)?，但主要目的是為了認(rèn)識(shí)和理解概念的本質(zhì)特征和定義本身的特點(diǎn)與含義而這里的運(yùn)用主要是運(yùn)用概念解釋實(shí)際想象和分析解決具體的問題，使概念內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)識(shí)的一種觀念，成為他們解決問題的工具或經(jīng)驗(yàn)第六，結(jié)構(gòu)是指一個(gè)概念通過“操作”、“想象”、“運(yùn)用”以及與相關(guān)概念、原理的聯(lián)系所形成的一種在個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用于解決與這個(gè)概念相關(guān)的問題“結(jié)構(gòu)”既是一個(gè)靜態(tài)的結(jié)果，也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，需要在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)不斷豐富和完善起初的結(jié)構(gòu)包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號(hào)，通過不斷應(yīng)用逐步建立起與相關(guān)概念、原理、事物、背景的聯(lián)系，在頭腦中

44、形成一種具有豐富性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)案設(shè)計(jì)中，通過操作、想象、概括、固化（逗留）、運(yùn)用的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，積累豐富的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深化對(duì)概念含義及其價(jià)值的理解和認(rèn)識(shí)，廣泛地與其他概念建立聯(lián)系，以形成清晰、穩(wěn)定、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)我們提出概念學(xué)習(xí)的六個(gè)基本過程，是對(duì)數(shù)學(xué)概念所特有的思維形式“過程和對(duì)象的雙重性”進(jìn)行切實(shí)分析的基礎(chǔ)上提出的，比較真實(shí)的反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中的思維活動(dòng)其中的“操作”階段是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過“操作”讓學(xué)生親身體驗(yàn)與感受概念的直觀背景以及概念產(chǎn)生的最初形態(tài)“想象”階段是學(xué)生對(duì)“操作”活動(dòng)過程進(jìn)行壓縮、內(nèi)化的過程，是由直觀感知向概括抽象過渡的必然環(huán)節(jié)“概括”階段是

45、通過對(duì)“操作”、“想象”中所形成的各種具體屬性進(jìn)行區(qū)分、抽象與綜合，認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)屬性，并對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)表示，使其達(dá)到精致化而成為一個(gè)具體的對(duì)象實(shí)體，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng)“固化”、“運(yùn)用”階段是通過正反例析和運(yùn)用概念分析問題和解決問題的過程，進(jìn)一步鞏固和加深對(duì)概念本質(zhì)特征的理解以及概念內(nèi)涵與外延的認(rèn)識(shí)“結(jié)構(gòu)”階段的形成要經(jīng)過長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來完善，起初的概型包含典型特例、抽象過程、定義及符號(hào)，經(jīng)過學(xué)習(xí)建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式2從現(xiàn)象學(xué)看概念學(xué)習(xí)的基本過程現(xiàn)象學(xué)認(rèn)為，當(dāng)感知一個(gè)對(duì)象時(shí)，一般要經(jīng)歷“個(gè)別的看”、“想象的看”和“一

46、般的看”季萍叫什么知識(shí)-對(duì)教學(xué)知識(shí)論基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)M 北京：教育科學(xué)出版社，2009：136-137我們?cè)诒緯谝徽碌诹?jié)“學(xué)案的理論思考-知識(shí)的學(xué)習(xí)形態(tài)”中從現(xiàn)象學(xué)的“三看”分析了學(xué)習(xí)者知識(shí)學(xué)習(xí)的過程，將知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的形成劃分為五個(gè)階段：“個(gè)別的看”、 “重復(fù)的看”、 “想象的看”、 “一般的看”和“認(rèn)識(shí)的看”現(xiàn)在我們運(yùn)用這五個(gè)階段來分析概念學(xué)習(xí)的基本過程概念學(xué)習(xí)過程的個(gè)別“操作”就是讓學(xué)生直接觀察經(jīng)驗(yàn)中的事物，獲得的對(duì)事物特征的直觀感受（經(jīng)驗(yàn)）這是“個(gè)別的看；為了揭示概念的本質(zhì)特征只看個(gè)別的實(shí)例是不夠的，還要多看幾個(gè)同類的事例，使學(xué)生在積累直觀感受的過程中，聚焦經(jīng)驗(yàn)中事物的共同特征（變化中不變的東

47、西），這就需要“重復(fù)的看”（形成印象性概念）；在重復(fù)看幾個(gè)同類事例后，就可以超越視界，想象出同類的事物，在大腦中形成一種事物的“內(nèi)觀”（可以說是經(jīng)驗(yàn)的一種復(fù)制）這就是“想象的看”（形成共同性概念）；當(dāng)學(xué)習(xí)者將所有看到的與想象的事物都看成是某個(gè)“一般下的個(gè)別”，也即形成一種關(guān)于事物的“本質(zhì)直觀”（經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的知識(shí)），在此基礎(chǔ)上抽象概括出概念的本質(zhì)屬性而給出概念的定義，這個(gè)過程就是“一般的看”（形成抽象性概念）獲得概念后在“逗留”與“運(yùn)用”階段，深化鞏固概念，用概念的“本質(zhì)直觀”去看世界，去解釋、尋找和創(chuàng)造出更多的同類事物，并通過反思形成概念知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，這就是“認(rèn)識(shí)的看”（ 維果斯基指出：“當(dāng)一

48、系列被抽象了的特征重新綜合時(shí)，當(dāng)用這種方法獲得的抽象的綜合成為主要的思想形式時(shí)（兒童借助這種抽象的綜合理解和認(rèn)識(shí)他周圍的現(xiàn)實(shí)），才會(huì)出現(xiàn)概念。”余震球維果斯基教育論著選M北京：人民教育出版社，2005：172就是說，當(dāng)學(xué)生在“一般的看”的過程中抽象出概念后，并不意味著他們就獲得了概念，只有當(dāng)運(yùn)用概念的定義去解釋或解決相關(guān)問題時(shí)，他們才能感受到概念的真實(shí)存在；只有當(dāng)概念的定義成為學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的一部分、成為一種內(nèi)在的觀念時(shí)，才表明他們獲得了概念）其中，“操作”是向外看，“想象” 與“概括”是向內(nèi)看，而“逗留”、“運(yùn)用”和“結(jié)構(gòu)”是內(nèi)外一致的看這種“內(nèi)外一致的看”的知識(shí)，源于經(jīng)驗(yàn)，又高于經(jīng)驗(yàn)，最終又

49、為經(jīng)驗(yàn)服務(wù)，這才是真正活的知識(shí)3. 概念學(xué)習(xí)學(xué)案的類型與設(shè)計(jì)（1） 概念形成學(xué)習(xí)學(xué)案的設(shè)計(jì)步驟給出操作材料引導(dǎo)分析屬性-抽象歸納概括-正反例析固化-變式應(yīng)用活化-反思形成結(jié)構(gòu)（2） 概念的同化學(xué)習(xí)學(xué)案的設(shè)計(jì)過程概念的同化學(xué)習(xí)有兩種類型：一是下位概念的學(xué)習(xí)；二是沒有上下位關(guān)系的概念的學(xué)習(xí).前者學(xué)案的設(shè)計(jì)過程與環(huán)節(jié)為：復(fù)習(xí)上位概念-給出分析材料-剖析屬與種差-給出概念定義-正反例證固化-變式應(yīng)用活化-反思形成結(jié)構(gòu).后者學(xué)案設(shè)計(jì)的過程或環(huán)節(jié)為：前者學(xué)案的設(shè)計(jì)過程與環(huán)節(jié)為：復(fù)習(xí)先關(guān)知識(shí)-給出概念定義-建立相互聯(lián)系-正反例證固化-變式應(yīng)用活化-反思形成結(jié)構(gòu).如函數(shù)定義域的概念，就是在復(fù)習(xí)函數(shù)定義的三要素

50、的基礎(chǔ)上直接給出定義的. 案例9：一元二次方程與一元二次方程的解的概念學(xué)習(xí)學(xué)案設(shè)計(jì)1一元二次方程的概念觀察思考： 觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡(jiǎn)整理成右邊為零的形式后得 ；觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡(jiǎn)整理成右邊為零的形式后得 ；觀察“學(xué)習(xí)準(zhǔn)備”中 “做一做”得出的方程后回答：它是整式方程嗎？（ ）含有 個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為 ，化簡(jiǎn)整理成右邊為零的形式后得 ；思考： （1）學(xué)習(xí)準(zhǔn)備中的“做一做”得出的方程、有什么共同特點(diǎn)呢？

51、溫馨提示：觀察方程是什么形式的方程，方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)、次數(shù)和化簡(jiǎn)后的形式幾個(gè)方面進(jìn)行。 （2）你能舉出幾個(gè)具有這種特點(diǎn)的方程嗎？ 。歸納概括：我們把具有上述特征的方程叫做一元二次方程。請(qǐng)你給一元二次方程下一個(gè)定義： 。（鏈接2）注意：我們把（其中、為常數(shù)，且）稱為一元二次方程的一般形式。二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)分別為 、 、 。二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別為 、 。 想一想：一元二次方程的定義中的關(guān)鍵詞是什么？一元二次方程的特征是什么？鞏固應(yīng)用：將下列方程整理后判斷是否為關(guān)于的一元二次方程，若是，指出它的各項(xiàng)系數(shù)。（ ） ( ) （ ） （ ） （ ） ( ) 解后反思：判斷一個(gè)方程是否為一元二

52、次方的步驟是什么？例1 當(dāng)滿足什么條件時(shí),方程（這里沒有方程！）是關(guān)于的一元一次方程； 當(dāng)滿足什么條件時(shí),上述方程才是關(guān)于的一元二次方程思路啟迪：一元二次方程的條件是什么？解：解后反思：解決本題的關(guān)鍵是什么？用到了什么數(shù)學(xué)思想和方法？變式練習(xí)：當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程；當(dāng)取何值時(shí)，上述方程是一元一次方程。2一元二次方程的解（或根）請(qǐng)回憶什么是方程的解？你能否由此得出一元二次方程的解的定義？請(qǐng)寫出你得出的定義： 叫做一元二次方程的解。 的方程的解也叫做方程的根 思考：你能類比一元一次方程的解的定義給一元二次方程的解下定義嗎？鞏固應(yīng)用：一元二次方程的解是（ ） A . =-5 B. =1 C. =5或-1 D. =-5或1 解題反思：判斷一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的解的關(guān)鍵是什么？所用的方法是什么？ 例2 關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)解是0，求m的值.思路啟迪：由已知課聯(lián)想到什么？要求m的值的需要得到一個(gè)什么？解： 解后反思：解答本題的關(guān)鍵是什么？要求某個(gè)字母的值，一般都要轉(zhuǎn)換為什么問題來解決？這里體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？變式練