曲面及其方程27270PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 曲面及其方程曲面及其方程27270 求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn) 的的 222 )3()2()1( zyx 07262 zyx化簡得化簡得 即即 說明說明: : 動點(diǎn)軌跡為線段動點(diǎn)軌跡為線段 AB 的的垂直平分面垂直平分面. . 引例引例: : 顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, , 滿足此方程的坐標(biāo)點(diǎn)都在此平面上滿足此方程的坐標(biāo)點(diǎn)都在此平面上. . 222 )4()1()2( zyx 解解: :設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則則 軌跡軌跡方程方程. . 第1頁

2、/共43頁 0),(zyxF S z y x o 如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)有下述關(guān) 系系: (1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程; 則則 F( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做叫做方程方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形的圖形. 兩個基本問題兩個基本問題 : : (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), (2)滿足此方程的坐標(biāo)點(diǎn)都在此平面上滿足此方程的坐標(biāo)點(diǎn)都在此平面上, 求曲面方程求曲面方程. (2) 已知方程

3、時(shí)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀 ( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). 第2頁/共43頁 故所求方程為故所求方程為 ),(zyxM ),( 0000 zyxM 方程方程. 特別特別, ,當(dāng)當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí)在原點(diǎn)時(shí), ,球面方程為球面方程為 解解: 設(shè)軌跡上動點(diǎn)為設(shè)軌跡上動點(diǎn)為RMM 0 即即 依題依題 意意 距離為距離為 R 的軌的軌 跡跡 x y z o M 0 M 222 yxRz 表示上表示上(下下)球面球面 . Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 2222 Rzyx 第3頁/共43頁 04

4、2 222 yxzyx 解解: : 配方得配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M此方程表示此方程表示: 說明說明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通過配方研究它的圖形都可通過配方研究它的圖形. .其圖形可能是其圖形可能是 的曲面的曲面. . 表示表示怎樣怎樣 半徑為半徑為的球面的球面. . 0)( 222 GFzEyDxzyxA 球心為球心為 一個一個球面球面, , 或或點(diǎn)點(diǎn) , , 或或虛軌跡虛軌跡. . 5)2()1( 222 zyx 第4頁/共43頁 x y z 引例引例. . 分析方程分析方程 表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 . 的坐標(biāo)也滿足方

5、程的坐標(biāo)也滿足方程 222 Ryx 解解: :在在 xoy 面上面上，表示圓表示圓C, 222 Ryx 222 Ryx 沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線軸的一切直線所形成的曲面所形成的曲面稱為稱為圓圓 故在空間故在空間 222 Ryx 過此點(diǎn)作過此點(diǎn)作 柱面柱面. . 對任意對任意 z , 平行平行 z 軸的直線軸的直線 l , 表示表示圓柱面圓柱面 o C 在圓在圓C上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn) , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zyxM點(diǎn)點(diǎn) 其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 , , 第5頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并

6、沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第6頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第7頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第8頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲

7、線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第9頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第10頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第11頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線

8、 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第12頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第13頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第14頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線

9、 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第15頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第16頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第17頁/共43頁 定義定義3. 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線

10、 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第18頁/共43頁 結(jié)束結(jié)束 定義定義3. 平行平行定直線定直線并沿并沿定曲線定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . 第19頁/共43頁 x y z x y z o l 平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l 形形 成成 的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. 表示表示拋物柱面拋物柱面 , 母線平行于母線平行于 z 軸軸; 準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線

11、面上的拋物線 . z 軸的軸的橢圓柱面橢圓柱面 . xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 軸的軸的平面平面. 0 yx 表示母線平行表示母線平行 于于 C (且且 z 軸在平面上軸在平面上) 表示母線平行于表示母線平行于 C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線 . x y z o o 第20頁/共43頁 x y z 3 l例例: :分析方程分析方程 表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 . 2 4xz 答答: 2 4xz 在空間直角坐標(biāo)系中表示在空間直角坐標(biāo)系中表示: y 軸的柱軸的柱 面面. 以以 xOz 上的拋物線上的拋物線 為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線 , 2 4xz 而母線平行于而母線平行

12、于 稱為稱為拋物柱面拋物柱面. 第21頁/共43頁 x z y 2 l 柱面柱面, , 柱面柱面, , 平行于平行于 x 軸軸 ; ; 平行于平行于 y 軸軸; 平行于平行于 z 軸軸 ; ; 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線面上的曲線 l3. 母線母線 柱面柱面, , 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線面上的曲線 l1. 母線母線 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線面上的曲線 l2. 母線母線 表示表示方程方程0),( yxF 表示表示方程方程0),( zyG 表示表示方程方程0),( xzH x y z 3 l x y z 1 l 第22頁/共43頁 定義定義2. . 一條一條平面曲平面曲 線線 繞其平面

13、上繞其平面上一條定直線一條定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 . . 該定直線稱為該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 軸軸 . . 例如例如 : 第23頁/共43頁 第24頁/共43頁 第25頁/共43頁 第26頁/共43頁 第27頁/共43頁 第28頁/共43頁 第29頁/共43頁 第30頁/共43頁 第31頁/共43頁 第32頁/共43頁 第33頁/共43頁 第34頁/共43頁 第35頁/共43頁 故旋轉(zhuǎn)曲面方程為故旋轉(zhuǎn)曲面方程為 , ),(zyxM 當(dāng)繞當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí) , , 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM 若點(diǎn)若點(diǎn) 給定給定

14、yoz 面上曲線面上曲線 C: ), 0( 111 zyM , 1 zz 則有則有 0),( 22 zyxf 則有則有 該點(diǎn)轉(zhuǎn)到該點(diǎn)轉(zhuǎn)到 0),( zyf o z y x C ),(zyxM 1 22 yyx 的距離相同的距離相同 軸軸點(diǎn)到點(diǎn)到軸的距離與軸的距離與點(diǎn)到點(diǎn)到zMzM1 第36頁/共43頁 0),(: zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 給定給定 yoz 面上曲線面上曲線 C: 0),( zyf繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成軸旋轉(zhuǎn)所成 曲面曲面的的方程方程: 1. 保持保持z不變不變; 2. 將方程中另一個變量將方程中另一個變量y 換成換成 22 yx 小結(jié)：小結(jié)： 第37頁

15、/共43頁 的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解: 在在yoz面上直線面上直線L 的方程的方程 為為 cotyz 繞繞z z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), ,圓錐面的方程為圓錐面的方程為 cot 22 yxz )( 2222 yxaz cot a令令 x y z 兩邊平方兩邊平方 L ), 0(zyM 第38頁/共43頁 x y 1 2 2 2 2 c z a x 分別繞分別繞 x 軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 1 2 22 2 2 c zy a x 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 1 2 2 2 22 c z a yx 這兩種曲面都

16、叫做這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. . 所成曲面方程所成曲面方程 為為 所成曲面方程為所成曲面方程為 z 又分別稱為又分別稱為雙葉雙曲面雙葉雙曲面和和單葉雙曲面和單葉雙曲面和. . 第39頁/共43頁 1 2 22 2 2 c zx a y 1 2 2 2 22 c z a yx 旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面 pzyx2 22 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 (2) (3) 第40頁/共43頁 1. 空間曲面空間曲面 三元方程三元方程0),( zyxF 球面球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 如如, 曲線曲線 0 0),( x zyf 繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 0),( 22 zyxf 柱面柱面 如如,曲面曲面0),( yxF表示母線平行表示母線平行 z 軸的柱軸的柱 面面