(已改)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（課件）

1、 橢圓橢圓雙曲線雙曲線 方程方程 圖形圖形 范圍范圍|x|a, |y|b 1 2 2 2 2 b y a x (其中其中ab0) y o F1 F2 A 1 B1 B2 x A2 1 2 2 2 2 b y a x (其中其中a0,b0) xoF1F2 y |x|a 橢圓橢圓雙曲線雙曲線 方程方程 焦點(diǎn)焦點(diǎn) (c,0) a 2 = b2 + c 2 c 2 = a 2 + b 2 頂點(diǎn)頂點(diǎn)(a,0)、 (0,b) 對(duì)稱軸對(duì)稱軸 X軸，長軸長軸，長軸長2a; y軸，短軸長軸，短軸長2b; 離心率離心率 (0e1) 請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線,有何特征？有何特征？

2、 雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸 時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近. 請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎? F2 y B1 A2A1 B2 0 x F1 a a) )( (x xa ax x a a b b y y 2 22 2 x x a a b b Y Y 2 22 2 a ax x a a b b y y 2 2 x x a a 1 1x x a a b b x x a a b b Y Y （二）、我們來證明二）、我們來證明 先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部先取雙曲線在第一象限

3、內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部 分的方程可寫為分的方程可寫為 0 x y N(x,YN(x,Y) ) Q Q M(x,y) x y A1A2 O b a B1 B2 N M Q 雙曲線方程可變?yōu)殡p曲線方程可變?yōu)?當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程時(shí)，方程 近似變?yōu)榻谱優(yōu)?即雙曲線上的點(diǎn)無即雙曲線上的點(diǎn)無 限接近直線限接近直線 2 2 1 x a x a b y x x a b y x a b y 漸近線漸近線 （三）、請(qǐng)注意：（三）、請(qǐng)注意： 1、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)；軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)； 2、我們把兩條直線、我們把兩條直線 y =bx /a 叫做雙曲線的叫做雙曲線的漸近線漸近

4、線. 3、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b . 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線 y F2 y x o A2 A1 B1B2 F1 F2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 y2/a2-x2/b2=1(a0,

5、b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b . B1 A2A1 B2 0 x F1 X=aX=-a 1 1、如何求雙曲線的漸近線？、如何求雙曲線的漸近線？ 例：例：求下列雙曲線求下列雙曲線 的漸近線的漸近線 9y2-16x2=144； . 規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)： （1）求矩形對(duì)角線所在的直線方程；）求矩形對(duì)角線所在的直線方程； 解答：解答：y=4x/3 ， 0 y b b a a （2）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將1換成換成0或直接將常數(shù)項(xiàng)換為或直接將常數(shù)項(xiàng)換為0. x y=bx/a y=-bx/a 由雙曲線方程求漸近線方程的方法：由雙曲線方程求漸近線方程的方法： _ _ (1)

6、 定焦點(diǎn)位置，求出定焦點(diǎn)位置，求出 a、b，寫出方程寫出方程 (2) 由雙曲線方程的常數(shù)項(xiàng)由雙曲線方程的常數(shù)項(xiàng)1令為令為0即可即可 例例3、求與雙曲線、求與雙曲線 x 2 2y 2 = 2 有相同漸近線有相同漸近線 且焦點(diǎn)為且焦點(diǎn)為 ( 0 , 6 ) 的雙曲線方程。的雙曲線方程。 法法一：待定系數(shù)法一：待定系數(shù)法 1 1224 22 yx 法法二：由漸近線方程設(shè)雙曲線方程二：由漸近線方程設(shè)雙曲線方程 若若漸近線方程為漸近線方程為 mx ny = 0，則雙曲線方程則雙曲線方程 為為 _ 或或 _ m 2 x 2 n 2 y 2 = k ( k 0 ) )0( 2 2 2 2 kk m y n

7、x 整式整式 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 例例2、求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn)、求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點(diǎn) P ( 1, 3 ) 且離心率為且離心率為 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程2 解：設(shè)所求雙曲線方程為解：設(shè)所求雙曲線方程為 x 2 y 2 = k ( k 0 ) 由題由題 k = 1 9 = 8 所求雙曲線方程為所求雙曲線方程為 1 88 22 yx 等軸等軸雙曲線方程為雙曲線方程為 x 2 y 2 = k ( k 0 ) 方程是方程是 _ 等軸雙曲線（等邊雙曲線）：等軸雙曲線（等邊雙曲線）： _ 離心率離心率 e = _ 漸近線方程為漸近線方程為 _ 實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線實(shí)軸與虛

8、軸等長的雙曲線 x 2 y 2 = k ( k 0 ) 2 xy B1 B2 A1A2 O x y 橢圓橢圓 雙曲線雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、 b0) 幾何幾何 圖形圖形 范圍范圍 |x |a 、|y | b x a 或或 x -a 對(duì)稱性對(duì)稱性 中心對(duì)稱，中心對(duì)稱，軸對(duì)稱軸對(duì)稱 中心對(duì)稱，中心對(duì)稱，軸對(duì)稱軸對(duì)稱 頂點(diǎn)頂點(diǎn)A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) A1(-a,0 ) 、 A2(a,0) a,b,c的含義的含義 a (長半軸長長半軸長) c（半焦距長）半焦距長） b（短半軸長

9、）短半軸長） a2=b2+c2 a （實(shí)半軸長實(shí)半軸長）c （半焦距長）半焦距長） b （虛半軸長虛半軸長） a2=c2-b2 離心率離心率e定義定義焦距與長軸長的比焦距與長軸長的比 e=c/a 0e1 B2 B1 y x A2 A1 0 F1 F2 y F2 B1 A2A 1 B2 0 x F1 X=aX=-a 22 22 1 xy ab 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何幾何 圖形圖形 范圍范圍 x a 或或 x -a y a 或或 y -a 對(duì)稱性對(duì)稱性 中心對(duì)稱，中心對(duì)稱，軸對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱，中心對(duì)稱，軸對(duì)稱軸對(duì)稱 頂頂 點(diǎn)點(diǎn) A1(-a,0 ) , A2(a,0) A1(0,-a ) , A2(0,a) a、b、c的含義的含義 a （實(shí)半軸長實(shí)半軸長） c（半焦距）半焦距） b （虛半軸長虛半軸長） a2=c2-b2 a（實(shí)半軸長實(shí)半軸長） c（半焦距長）半焦距長） b（虛