(課件2)09-03嵌入式實時操作系統(tǒng)

1、一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo) 1）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、 初始條件、邊界條件等基本概念。初始條件、邊界條件等基本概念。 2）弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界）弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界 條件的要求。條件的要求。 3）基本方程的建立（推導(dǎo)過程）基本方程的建立（推導(dǎo)過程）不要求不要求。 但是根據(jù)問題的描述，要會但是根據(jù)問題的描述，要會寫出定解問題寫出定解問題。 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo) （I） 1）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、）正確理解偏微分方程定解條件、定解

2、問題、 初始條件、邊界條件等基本概念。初始條件、邊界條件等基本概念。 基本概念基本概念 微分方程: 含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 的方程叫微分方程. . 常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程. 偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程 , , ,0(1) xyxxxy fx yu uuuu , ,0 n n dud u Fx u dxdx 偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程 , , ,0(1) xyxxxy fx yu uuuu 例如例如 xyx uuuy 2 2 1 xy uu 0 xxyy uu 都是偏微分方程都是偏微分方程, , 方程中，未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高

3、階數(shù)稱為方程中，未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)稱為偏微分偏微分 方程的階方程的階。 是二階偏微分方程，是二階偏微分方程， 是一個三階偏微分方程是一個三階偏微分方程. . 0 xxyy uu 例如，方程例如，方程 37 xxyyy uxuuy 而方程而方程 如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)如果一個偏微分方程對于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo) 數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于 自變量（或者為常數(shù)），則稱為自變量（或者為常數(shù)），則稱為線性偏微分方程線性偏微分方程。 一個偏微分方程若不是線性的，則稱為一個偏微分方程若不是線性的，則稱為非線性偏非線性偏 微分

4、方程。微分方程。 例如，方程例如，方程21 xxyy yuxyuu 是一個二階線性偏微分方程，是一個二階線性偏微分方程， 都是非線性偏微分方程。都是非線性偏微分方程。 2 2 1,0 xyx uuuuxu 而方程而方程 n個自變量的二階線性偏微分方程個自變量的二階線性偏微分方程, ,一般形式為一般形式為 ,11 (2) iji nn ijxxix i ji a u ub ufug 可假設(shè)可假設(shè) ，這里，這里 和和 都是關(guān)于自變都是關(guān)于自變 量量 的實值函數(shù)。如果的實值函數(shù)。如果 ，則稱方程為，則稱方程為齊次齊次的；的； 否則就稱為否則就稱為非齊次非齊次的。的。 ijji aa , iji a

5、bfg i x0g 本書主要研究對象：本書主要研究對象： 方程的通解方程的通解 求解求解常微分方程常微分方程時，常用方法是先求出方程的通時，常用方法是先求出方程的通 解解, ,然后根據(jù)給定的條件確定特解然后根據(jù)給定的條件確定特解. .其中其中 n 階常階常 微分方程的通解依賴于微分方程的通解依賴于n個常數(shù)個常數(shù), ,它可以表示成它可以表示成n 個線性無關(guān)函數(shù)的線性組合。個線性無關(guān)函數(shù)的線性組合。 然而對偏微分方程來說，這樣的結(jié)論一般不成立，然而對偏微分方程來說，這樣的結(jié)論一般不成立， 這是由于每一個線性齊次偏微分方程的解空間都這是由于每一個線性齊次偏微分方程的解空間都 是無限維的函數(shù)空間。是無

6、限維的函數(shù)空間。 例例：考慮二階方程：考慮二階方程： 0(3) xy u 解解：分別對：分別對 x 和和 y 積分，可以知道方程的解形如：積分，可以知道方程的解形如： ,u x yg xh y 其中其中，g(x) 和和 h(y) 都是任意可微函數(shù)。都是任意可微函數(shù)。 方程方程(3)(3)有無限多個線性無關(guān)的解。有無限多個線性無關(guān)的解。 一般來說，一般來說，偏微分方程偏微分方程的解很難用通解的形式給出。的解很難用通解的形式給出。 而在應(yīng)用問題中，而在應(yīng)用問題中，重要的重要的不是求出方程的通解，而不是求出方程的通解，而 是求出滿足給定條件的方程特解是求出滿足給定條件的方程特解。 描述某系統(tǒng)或過程描

7、述某系統(tǒng)或過程邊界狀況邊界狀況的約束條件稱為的約束條件稱為邊邊 界條件界條件. .只附加邊界條件的定解問題稱為只附加邊界條件的定解問題稱為邊值問邊值問 題題. . 只附加初值條件的定解問題稱為只附加初值條件的定解問題稱為初值問題初值問題 （Cauchy Cauchy 問題）問題） 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混混 合問題合問題( (初邊值問題初邊值問題) ) 初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件定解條件 初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為定定 解問題解問題. . 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典

8、型方程和定解條件的推導(dǎo) （II） 2）弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界 條件的要求條件的要求。 1）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、 初始條件、邊界條件等基本概念。初始條件、邊界條件等基本概念。 22 2 22 ( , ) uu af x t tx 弦的弦的強迫橫振動強迫橫振動方程：方程： 22 2 22 , uu a tx 弦的弦的自由橫振動自由橫振動方程：方程： 以以 u(x,t) 表示桿上各點表示桿上各點 的縱向位移，則的縱向位移，則 u(x,t) 。 2 2 2 ( , ) - ( , )( , ),

9、 ,0 u x t au x tf x txt t 二維波動方程（例如薄膜振動）和三維波動方程二維波動方程（例如薄膜振動）和三維波動方程 （例如電磁波和聲波的傳播）：（例如電磁波和聲波的傳播）： 2 , , ttxxyy uauufx y t 2 , , , ttxxyyzz ua uuuf x y z t 2 ( , ) - ( , )( , ), ,0 u x t au x tf x txt t 222 2 222 uuuu a txyz 三維齊次熱傳導(dǎo)方程三維齊次熱傳導(dǎo)方程 三維非齊次熱傳導(dǎo)方程三維非齊次熱傳導(dǎo)方程 222 2 222 ( , , , ) uuuu af x y z t

10、txyz u(x,y,z,t) ：物體在空間位置物體在空間位置 x 以及時刻以及時刻 t 的溫度。的溫度。 ( )( ), u xf xx ( )0, u xx 穩(wěn)定的熱場穩(wěn)定的熱場 有源的穩(wěn)定熱場有源的穩(wěn)定熱場 第一類邊界條件第一類邊界條件直接給出直接給出 u 在邊界在邊界 S 上的值，即上的值，即 1 . S uf 第二類邊界條件第二類邊界條件是給出是給出 u 沿沿 S 的外法線方向的的外法線方向的 方向?qū)?shù)，即方向?qū)?shù)，即 2 S u f n 第三類邊界條件第三類邊界條件是給出是給出 u 以及以及 的線性組合在的線性組合在 邊界的值，即邊界的值，即 u n 3 0,. S u uf n

11、弦振動問題弦振動問題：若弦的兩端是固定的，邊界條件為：若弦的兩端是固定的，邊界條件為 0 0;0 xx l uu 若弦的兩端按照規(guī)律若弦的兩端按照規(guī)律 運動運動, , 邊界條件為邊界條件為 12 ( ),( )u tu t 12 0 ( );( ) xx l uu tuu t 熱傳導(dǎo)問題：熱傳導(dǎo)問題：若物體邊界上的溫度為若物體邊界上的溫度為 f(M,t)，邊，邊 界條件為界條件為 (, ) S uf M t 第一類邊界條件 第二類邊界條件 0( , )0 x lxxl u ul nx t u 或或 弦振動問題弦振動問題：弦的一端（如：弦的一端（如 x = l）可以在垂直）可以在垂直 x 軸軸

12、的直線上自由上下滑動，的直線上自由上下滑動，稱這種端點為稱這種端點為“自由端自由端”。 熱傳導(dǎo)問題：熱傳導(dǎo)問題：物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即 在表面上熱量的流速始終為在表面上熱量的流速始終為0， 0 S u n 熱傳導(dǎo)問題：若熱傳導(dǎo)問題：若 f(M) 表示表示 t = 0 時物體內(nèi)一點時物體內(nèi)一點M 的溫度，則的溫度，則熱傳導(dǎo)問題的初始條件熱傳導(dǎo)問題的初始條件為為 泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與時泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與時 間無關(guān)，所以間無關(guān)，所以不提初始條件不提初始條件。 0 ,|. t u M tf M )(),( 00 xux

13、u t t t )(),(xx 弦振動問題：弦振動問題：設(shè)初始位移、初始速度為設(shè)初始位移、初始速度為 , , 則則波動方程的初值條件波動方程的初值條件 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 注意：注意： 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)（III） 3）基本方程的建立（推導(dǎo)過程）基本方程的建立（推導(dǎo)過程）不要求不要求。 1）正確理解偏微分方程定解條件、定解問題、）正確理解偏微分方程定解條件、定解

14、問題、 初始條件、邊界條件等基本概念。初始條件、邊界條件等基本概念。 2）弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界）弄清三類典型方程對各自初始條件、邊界 條件的要求。條件的要求。 )(),(xx 1( ) u t 2 00 1 0 (0,0) ( ),( ) (0) ( ),0 (0) ttxx t tt x xx l ua uxl t ux uxxl uu tut 疊加原理疊加原理 設(shè)設(shè) L 是線性微分算子，若是線性微分算子，若 滿足線性方程（或滿足線性方程（或 線性定解條件）線性定解條件） i u , 1,2, , ii Lufin 則它們的線性組合則它們的線性組合 1 ii i uc u 必

15、滿足方程（或定解條件）必滿足方程（或定解條件） 1 ii i Luc f 分離變量法分離變量法 1.1. 掌握有界弦振動和有限長桿上熱傳導(dǎo)問題的分掌握有界弦振動和有限長桿上熱傳導(dǎo)問題的分 離變量解法；離變量解法； 2.2. 掌握矩形域和圓域內(nèi)拉普拉斯方程的分離變量掌握矩形域和圓域內(nèi)拉普拉斯方程的分離變量 法解法；法解法； 3.3. 會使用特征函數(shù)法解非齊次方程的定解問題會使用特征函數(shù)法解非齊次方程的定解問題 4. 會用輔助函數(shù)和疊加原理處理非齊次邊界條件會用輔助函數(shù)和疊加原理處理非齊次邊界條件 的定解問題。的定解問題。 分離變量法（分離變量法（I） 1.1. 掌握有界弦振動和有限長桿上熱傳導(dǎo)問

16、題的分掌握有界弦振動和有限長桿上熱傳導(dǎo)問題的分 離變量解法；離變量解法； 解：令 )()(),(tTxXtxu 2 0 (0) ( )0 ( ) ( )0 XTa X T XT t Xl T t (0)( )0XX l 引入?yún)?shù) 得 X X Ta T 2 例：兩端自由的桿的自由縱振動問題. )()(xuxu uu uau t t t lx x x x xxtt 00 0 2 00 0 分離變量： 0)()0( 0 lXX XX 10 （）， xx eCeCxX 21 )( 0)( 0)( 21 21 ll eCeC CC 由邊值條件 0 2 TaT 得C1 =C 2=0 從而 ， 無意義 0)

17、( xX0 xDCxX 00 )( 0 00CxXlXX )()()( xCxCxX sincos)( 21 0sin 0 1 2 lC C 1 0C .), 2 , 1(0sin nnll l xn CxX l n cos)( 1 2 22 由邊值條件 由邊值條件 從而 20 （） ， 30 （）， 0 ( )X xC l xn CxX l n cos)( 1 2 22 20 （） ， 30 （）， 特征值 , 2 2 210 2 n l n 特征函數(shù) ,cos)(10 1 n l xn CxX T 的方程 0 0 T 00 2 222 nT l an T nn 其解為 tBAtT 000

18、)( ,sincos)(21 n l atn B l atn AtT nnn 0 2 TaT 特征值 , 2 2 210 2 n l n 特征函數(shù) ,cos)(10 1 n l xn CxX tBAtT 000 )( ,sincos)(21 n l atn B l atn AtT nnn 特征函數(shù) ,cos)(10 1 n l xn CxX tBAtxu 000 ),( ,cos)sincos(),(21 n l xn l atn B l atn Atxu nnn 1 00 n nn l xn l atn B l atn AtBAtxu cos)sincos(),( 故 代入初始條件: 0 1

19、 0 1 cos( ) cos( ) n n n n n x AAx l n an x BBx ll tBAtxu 000 ),( ,cos)sincos(),(21 n l xn l atn B l atn Atxu nnn 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)( ), ( )xx 把把 0 1 0 1 cos( ) cos( ) n n n n n x AAx l n an x BBx ll 0 1 0 ( )cos 2 2 ( )cos n n l n nx x l nx xdx ll 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 2 1 ( ) 2 l l Ad l Bd l l n l nn d l

20、 n an B d l n l A 0 0 cos)( 2 cos)( 2 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù) ( ), ( )xx 把把 1 00 n nn l xn l atn B l atn AtBAtxu cos)sincos(),( 0 1 0 1 1 ( )cossin 2 ( )cos 2 ( )sin nn n n n n n an xn x f xab ll an x f xa l n x f xb l 0 0 2 ( )cos 2 ( )sin l n l n nx af xdx ll nx bf xdx ll 2 1,cos,cos,.,cos,. n lll xxx 也可以

21、用以下函數(shù)系的正交性來計算系數(shù)：也可以用以下函數(shù)系的正交性來計算系數(shù)： 2 0 1 l dxl 0 coscos0, l mn ll xxdxmn 0 coscos 2 l nn ll l xxdx 注：注： l 是區(qū)間的長度，若是區(qū)間的長度，若l 1,cos ,cos2 ,.,cos,.xxnx 2 0 1 l dxl 0 coscos0, l mn ll xxdxmn 0 coscos 2 l nn ll l xxdx 0 1 0 1 cos( ) cos( ) n n n n n x AAx l n an x BBx ll 0 00 1 2 00 0 coscos( )cos |cos|

22、( )cos 2 ( )cos ll n n ll m l m n xm xm x AAdxxdx lll m xm x Adxxdx ll m x Axdx ll 0 0,0,0 xx l uut 一、一一、一 0 0,0,0 x xx l uut 一、二一、二 0 0,0,0 x x lx uut 二、一二、一 0 0,0,0 xx xx l uut 二、二二、二 對波動方程和熱傳導(dǎo)方程，對波動方程和熱傳導(dǎo)方程，以下四種邊界條件以下四種邊界條件 要求掌握要求掌握： 第三類邊界條件不要求第三類邊界條件不要求 注：注：對于波動方程和熱傳導(dǎo)方程而言對于波動方程和熱傳導(dǎo)方程而言, , 邊界條件邊界

23、條件 唯一確定了其特征值和特征函數(shù)。唯一確定了其特征值和特征函數(shù)。 0XX 特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù)取值范圍取值范圍 22 2 n l 一一一一sin n x l 1, 2,n 一一二二 2 21 2 n l 21 sin 2 n x l 0,1, 2,n 二二二二 22 2 n l cos n x l 0,1, 2,n 二二一一 2 21 2 n l 21 cos 2 n x l 0,1, 2,n 0 x xl 關(guān)于熱方程的定解問題關(guān)于熱方程的定解問題 2 0,0 0,0 ,0 txx xx ua uxlt utul t uxx 2 1 0 :,cos 1 2 na t l n n a

24、n u x ta ex l 解解為為 0 2 cos0,1,2,. l n n axxdxn ll ， 其中其中 分離變量法（分離變量法（II） 2.2. 掌握矩形域和圓域內(nèi)拉普拉斯方程的分離變掌握矩形域和圓域內(nèi)拉普拉斯方程的分離變 量法解法；量法解法； 例. 在帶電的云跟大地之間的勻強靜電場(設(shè)其強度 為 ,方向為豎直的)，水平架設(shè)一輸電線，討論輸 電線(導(dǎo)體圓柱體)對勻強電場的影響。 0 E + + 帶電的云帶電的云 + + + y x 解: 設(shè)輸電線圓柱半徑 為 a，取垂直于圓柱體的平 面為x y平面, (x,y) 點處電勢 用 u(x,y) 表示。 0| )(0 222 222 ayx

25、 yyxx u ayxuu 柱體外空間無電荷，電勢滿足二維Laplace方程 亦即 )(, 0 xxEu 無限遠處靜電場保持勻強 ，且由于 x 軸平行 于 故在無限遠處 ，即 , 0 E 0 E T EE0 , 0 0 E x u 因此 u(x,y) 滿足的定解問題為： xEu u ayxuu x ayx yyxx 0 222 0 )(0 222 采用平面極坐標(biāo)。 sin cos y x 由于 不能分解，故不能 直接用分離變量法。 0)()( 22 xaYxX 令 則 ( , )( ) ( ),uR 11 d dR d d R cos 0 )(0 11 0 2 2 22 2 Eu u a uu

26、u a 則 取參數(shù) d dR d d R 11 0 0 2 RRR 由平面極坐標(biāo)下極角周期性，應(yīng)有 ,uu 2 即 RR2 亦即 2 自然周期條件 則 本征值問題 2 0 本征值和本征函數(shù) 210 2 , mm 0 0sincos mA mmBmA 的方程 R 0 2 2 2 2 Rm d dR d Rd 歐拉型常微分方程 其解為 00 1 0 ln0 m mmm CDm R CDm 210 2 , mm 0 0sincos mA mmBmA 00 1 0 ln0 m mmm CDm R CDm ln, 000 DCu mDmC mBmAu mm m mm m m sincos sincos,

27、 分離變量形式解 分離變量形式解 ln, 000 DCu mDmC mBmAu mm m mm m m sincos sincos, 所以 由邊界條件 0 a u 1 1 00 sincos sincosln, m mm m m mm m mDmC mBmADCu 由邊界條件 0 a u 1 1 00 0sincos sincosln m mm m m mm m mDmCa mBmAaaDC 由此 ,ln 00 aDC , m mm aAC 2 m mm aBD 2 即 1 1 00 sincos sincosln, m mm m m mm m mDmC mBmADCu 再由條件 cos 0

28、Eu 由于 大時， 和 遠遠小于 項，當(dāng) 時， ln 00 DC m m 1 1 00 sincos sincosln, m mm m m mm m mDmC mBmADCu 再由條件 cos 0 Eu 由于 大時， 和 遠遠小于 項，當(dāng) 時， ln 00 DC m m cossincos 0 1 EmBmA m mm m 因而得 )1(, 0, 0 mBA mm , 0, 101 BEA 從而 )1(0),1(0, 2 0 2 11 mDmCaEaAC mm ,ln 00 aDC , m mm aAC 2 m mm aBD 2 ,ln 00 aDC )1(0),1(0, 2 0 2 11 m

29、DmCaEaAC mm 1 1 00 sincos sincosln, m mm m m mm m mDmC mBmADCu 最后得柱外的靜電勢為： coscosln, 2 000 a EE a Du 式中三項有明顯的物理意義： 均勻帶電圓柱體周圍的靜電場和的電勢; a D ln 0 原來的勻強靜電場中的電勢分布; cos 0 E 該項 。 0 cos 2 0 a E 圓柱鄰近對勻強電場的修正, 時, 分離變量法（分離變量法（III） 3.3. 會使用特征函數(shù)法解非齊次方程的定解問題會使用特征函數(shù)法解非齊次方程的定解問題 4. 會用輔助函數(shù)和疊加原理處理非齊次邊界條件會用輔助函數(shù)和疊加原理處理

30、非齊次邊界條件 的定解問題。的定解問題。 非齊次方程的解經(jīng)疊加后一般不再是原方程的解，所非齊次方程的解經(jīng)疊加后一般不再是原方程的解，所 以分離變量法不再適應(yīng)。以分離變量法不再適應(yīng)。 分離變量法的基本要點和解題步驟分離變量法的基本要點和解題步驟 (1)(1)對于對于一維一維波動方程和熱傳導(dǎo)方程波動方程和熱傳導(dǎo)方程 (i)當(dāng)方程和邊界條件均為齊次時當(dāng)方程和邊界條件均為齊次時, 不管初始條件不管初始條件 如何如何, 可直接用可直接用分離變量法分離變量法。 (ii)當(dāng)邊界條件為齊次當(dāng)邊界條件為齊次, ,方程為非齊次時方程為非齊次時, , 將原定將原定解解 問題分解為兩個：問題分解為兩個：其一其一是具有

31、原初始條件的齊次方是具有原初始條件的齊次方 程，這個問題用分離變量法來求解。程，這個問題用分離變量法來求解。 其二其二是具有齊是具有齊 次定解條件的非齊次方程該問題用特征函數(shù)法求解，次定解條件的非齊次方程該問題用特征函數(shù)法求解， 這時要注意初始條件的變化。這時要注意初始條件的變化。 (iii)當(dāng)邊界條件為非齊次時當(dāng)邊界條件為非齊次時, , 則需要引進輔助函數(shù)則需要引進輔助函數(shù) 把邊界條件化為齊次的把邊界條件化為齊次的, , 然后再用上述方法求解然后再用上述方法求解. . (2)(2)對于二維拉普拉斯方程的邊值問題對于二維拉普拉斯方程的邊值問題 應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域

32、的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系, , 使得在使得在 此坐標(biāo)系下邊界條件的表達方式最簡單此坐標(biāo)系下邊界條件的表達方式最簡單. . 例如例如, , 對于圓域、圓環(huán)、扇形等區(qū)域可以采用極坐對于圓域、圓環(huán)、扇形等區(qū)域可以采用極坐 標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)求解區(qū)域非常規(guī)范時，才可標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)求解區(qū)域非常規(guī)范時，才可 以用分離變量法解拉普拉斯方程的定解問題。以用分離變量法解拉普拉斯方程的定解問題。 ）解解特征解（解特征解（解12 程程方方 偏微分偏微分 分分離離 變變量量 分分離離 變變量量 （特征值問題）（特征值問題） 1 2 程程方方 常微分常微分 程程方方 常微分常微分 齊次邊齊次邊 界條件界條件 件件

33、條條 2解解 1解解 （特征函數(shù)）（特征函數(shù)） 特特征征值值 特特征征解解所所求求解解 方程以及邊界條件都是齊次的方程以及邊界條件都是齊次的 ,(2.4. ),4u x tV x tWx t 利用疊加原理利用疊加原理 22 2 22 0 00 , 0,02.4.1 |0,0,(2.4.2) |,|. 0(2.4.3) , xx l tt uu axl t tx uut u ug xh x ft x x l t 22 2 22 0 00 0,0 |0;(2.4.6) , |0|0., x tt x l VV axf xl t tx VV t V V t 22 2 22 0 00 , 0,02.4

34、.1 |0,0,(2.4.2) |,|. 0(2.4.3) , xx l tt uu axl t tx uut u ug xh x ft x x l t 22 2 22 0 00 , 0,0 |0;(2. | 4 5) .,| . x t x l t WW axl t tx W Wgh W xx W t 22 2 22 0 00 0,0 |0;(2.4.6) , |0|0., x tt x l VV axf xl t tx VV t V V t 1) 設(shè)設(shè)(2.4.6)的解具有如下形式的解具有如下形式 1 ,sin(2.4.7) n n n V x tvtx l 其中其中 是待定函數(shù)，是待定函

35、數(shù)，下面要確定下面要確定 。 ( ) n t ( ) n t 22 2 22 0 00 0,0 |0;(2.4.6) , |0|0., x tt x l VV axf xl t tx VV t V V t 1) 設(shè)設(shè)(2.4.6)的解具有如下形式的解具有如下形式 1 ,sin(2.4.7) n n n V x tvtx l 其中其中 是待定函數(shù)，是待定函數(shù)，下面要確定下面要確定 。 ( ) n t ( ) n t 2) 將方程中的非齊次項將方程中的非齊次項 f(x, t) 按照上述特征函數(shù)按照上述特征函數(shù) 展開為傅立葉正弦級數(shù)展開為傅立葉正弦級數(shù): : 1 si,n(2.4.8) n n n

36、x l fx tft 其中其中 0 2 ,sin(2.4.9) l n n ftf x txdx ll 2 ,1,2,.(2.4.12) 0(0)0 nnn nn na vtvtft ln vv 代入方程得代入方程得 用用拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法求得上述問題的解為求得上述問題的解為 0 sin(2.4.13) t nn natl vtfd nal 1 ,sin,(2.4.6) n n n V x tvtx l 代代入入即即得得方方程程的的解解。 22 2 22 0 00 0,0 |0;(2.4.6) , |0|0., x tt x l VV axf xl t tx VV t V V t 練

37、習(xí)練習(xí) 求解求解 . 0|, 0| ; 0| 0,0,cossin 00 0 2 2 2 2 2 tt lxxxx t u u uu tlxx l tA x u a t u 其中其中 都是常數(shù)。都是常數(shù)。 ,A 解解 齊次問題所對應(yīng)的特征函數(shù)為齊次問題所對應(yīng)的特征函數(shù)為 ,2, 1 ,0:cosnx l n 因此設(shè)方程的解為因此設(shè)方程的解為 0 ,cos n n n u x tutx l 代入所給方程代入所給方程, 有有 0 ,cos n n n u x tutx l 2 0 coscossin nn n n xx na ututAt lll 設(shè)方程的解為設(shè)方程的解為 . 0|, 0| ; 0

38、| 0,0,cossin 00 0 2 2 2 2 2 tt lxxxx t u u uu tlxx l tA x u a t u 代入所給方程代入所給方程, 有有 0 ,cos n n n u x tutx l 2 0 coscossin nn n n xx na ututAt lll 設(shè)方程的解為設(shè)方程的解為 0 2 tu l na tu nn tAtu l a tu sin 1 2 1 1n 0 00 nn uu 0,1,2,n 由初始條件由初始條件, 得得 顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時時, ; 1n 0tu n 當(dāng)當(dāng) 時時, 1n 1 0 sinsin t la u tAsts ds al t l

39、 a t l a l aa Al sinsin 1 2 2 故所求的解為故所求的解為 x l tutxu cos, 1 例：例： 求解求解 解解 齊次問題所對應(yīng)的特征函數(shù)為齊次問題所對應(yīng)的特征函數(shù)為 , , 2 , 1 , 0:cosnx l n 因此設(shè)方程的解為因此設(shè)方程的解為 0 ,cos n n n u x tutx l 代入方程代入方程 2 2 2 0 0 sin , 0,0 |0; |0. xxxx l t uu atxl t tx uu u 2 0 cossin nn n nan ututxt ll 由于由于 ，它關(guān)于，它關(guān)于 的傅立葉系數(shù)為的傅立葉系數(shù)為: sinsin cos0

40、 xtt , 2 , 1 , 0:cosnx l n 0 sin ,at0 n a , 2, 1n 0 sinutt 0 2 tu l na tu nn , 2, 1n 即有即有 由初始條件由初始條件, 得得 0cos0 0 x l n u n n 00 n u, 2, 1, 0n 0 1 cosutt 0tu n , 2, 1n ,1 cosu x tt 所以所以 解方程即得解方程即得 故所求的解為故所求的解為 處理原則處理原則: : 不論方程是否為齊次的不論方程是否為齊次的, ,都選?。ㄈ菀锥歼x取（容易 求解的）輔助函數(shù)求解的）輔助函數(shù) ，通過函數(shù)之間的代換，通過函數(shù)之間的代換: : (

41、, )w x t ,u x tv x tw x t 使得對新的未知函數(shù)使得對新的未知函數(shù) 具有齊次邊界條件。具有齊次邊界條件。( , )v x t tt v x,txt l 如果邊界條件不全是第一類的，則如果邊界條件不全是第一類的，則 1)1)若若 012 |,| xx l u uutut x 令令 21 ,.w x tut xut 2)2)若若 012 |,|, xx l u u tuu t x 令令 121 ,w x tut xutut l 3)3)若若 012 |,|, xx l uu u tut xx 令令 2 211 ,. 2 x w x tutu tu t x l 注意：注意：對于

42、給定的定解問題對于給定的定解問題, , 如果方程中的自由項如果方程中的自由項 f 和和邊界條件中的邊界條件中的 都和自變量都和自變量 t 無關(guān)，則可無關(guān)，則可 選取輔助函數(shù)選取輔助函數(shù) w(x) ，通過代換通過代換 12 ,u u ,u x tv x tw x 將方程和邊界條件同時變成齊次的將方程和邊界條件同時變成齊次的. . 22 2 22 0 00 sin, 0,0; |0,|; |0,|0 x xx x l tt t uu aAtxl t tx uuB uu 例例 求下列定解問題的解求下列定解問題的解 其中其中 為常數(shù)。為常數(shù)。, ,A B 解解 1 1）邊界條件齊次化，令）邊界條件齊次化，令 ,u x tU x tG x t 2