密碼學與bent函數(shù)性質

1、 密碼學密碼學是為了滿足是為了滿足保密通信，特別是保密通信，特別是軍事保密通信的需軍事保密通信的需 要而發(fā)要而發(fā) 展起來的新興邊緣學科。展起來的新興邊緣學科。如今，除如今，除軍政及國家安全機構軍政及國家安全機構之外，之外， 密碼學密碼學的應用的應用已經(jīng)滲透已經(jīng)滲透到到各行各業(yè)，受到各行各業(yè)，受到社會社會各界，特別是各界，特別是 商業(yè)、金融業(yè)及電子工業(yè)界的極大關注商業(yè)、金融業(yè)及電子工業(yè)界的極大關注。 在在當今高度發(fā)達的當今高度發(fā)達的 信息信息時代，密碼學時代，密碼學專業(yè)技術人才將是人類社會運轉必不可少專業(yè)技術人才將是人類社會運轉必不可少 的重要的重要保證。保證。 密碼學密碼學包括密碼編碼學和密碼

2、分析包括密碼編碼學和密碼分析學。主要學。主要應用于實現(xiàn)應用于實現(xiàn) 通信的保密。通信的保密。分組密碼分組密碼學的研究包括三學的研究包括三方面：分組密碼方面：分組密碼的設的設 計原理、分組密碼的安全性分析研究和計原理、分組密碼的安全性分析研究和分組密碼分組密碼的統(tǒng)計性能的統(tǒng)計性能 測試。密碼學是信息安全中的測試。密碼學是信息安全中的核心，具有機密性、核心，具有機密性、鑒別鑒別性、性、 完整性、完整性、抗抵賴抗抵賴性的性的功能功能。 根據(jù)根據(jù)加密解密時使用的密鑰加密解密時使用的密鑰 是否相同可將密碼編碼是否相同可將密碼編碼分為對稱分為對稱密碼和非對稱密碼和非對稱密碼，或密碼，或稱作稱作 密鑰加密和公

3、鑰加密。密鑰加密和公鑰加密。Shannon 的保密系統(tǒng)的保密系統(tǒng)包括算法包括算法、明文、明文、 密文和密鑰。若按照密鑰加密中每次原子級過程加密的明文密文和密鑰。若按照密鑰加密中每次原子級過程加密的明文 量，對稱量，對稱加密可再分為流加密和分組加密。將明文映射到密加密可再分為流加密和分組加密。將明文映射到密 文的基本操作類型有替換文的基本操作類型有替換和混亂和混亂。替換是把每個元素。替換是把每個元素( 位、字位、字 母、字母的組合母、字母的組合) 映射到另一個元素?；靵y是映射到另一個元素?；靵y是把明文把明文的元素重的元素重 新排列。許多古典加密方法中都用到了新排列。許多古典加密方法中都用到了替換

4、或混亂替換或混亂 。 布爾函數(shù)布爾函數(shù)的研究是密碼學領域的熱點之一。布的研究是密碼學領域的熱點之一。布 爾函數(shù)密碼學性質的度量爾函數(shù)密碼學性質的度量指標有指標有平衡性、相關免疫平衡性、相關免疫 性、代數(shù)次數(shù)、非線性度、擴散性和嚴格雪崩特性性、代數(shù)次數(shù)、非線性度、擴散性和嚴格雪崩特性 等等。且某些且某些指標之間還存在著一定的制約指標之間還存在著一定的制約關系。關系。 對于對于不同背景的不同背景的密碼系統(tǒng)，慎重選取合適密碼系統(tǒng)，慎重選取合適的的布布 爾函數(shù)能夠保證其具有爾函數(shù)能夠保證其具有較強的安全性能。較強的安全性能。 （一）（一）Bent函數(shù)簡介及其密碼學應用函數(shù)簡介及其密碼學應用 Rotha

5、us于1976 年引入的Bent 函數(shù)是具有最高 非線性度的一類布爾函數(shù)。Bent 函數(shù)是應用密碼學、 組合數(shù)學的研究對象與編碼理論也存在聯(lián)系。 從1994 至今引起了大量關于Bent 函數(shù)的研究。 Bent 函數(shù)應用在很多領域中如組合設計、密碼學應 用和( 糾錯) 編碼理論等。其中在密碼學領域中流密 碼LFSRs 的過濾( filtering) 函數(shù)設計和分組密碼學 的輪( rotation) 函數(shù)設計尤其重要，以及編碼理論 中的Reed-Muller 碼。 Bent 函數(shù)在密碼學中扮演著很重要的角色。在 設計流密碼或者分組密碼的S-盒的時，必須使用具 有高非線性的函數(shù)以實現(xiàn)密碼對線性攻擊的

6、抵抗。 Bent 函數(shù)通常不能直接使用，而需要以Bent 函數(shù) 為基礎構造滿足其它密碼標準的高度的非線性函數(shù)。 （二）B e n t 函數(shù)與密碼性質的分析 這些性質可以較這些性質可以較完整的完整的反映反映出出Bent 函數(shù)函數(shù)的以下基本的以下基本密碼學密碼學性質性質 當然在Bent 函數(shù)同時具有這些密碼學性質時也有 缺陷。 1.Bent 函數(shù)不具有相關免疫性只是在較少個數(shù)的 變元時，才有一定抗相關攻擊的能力。 2.Bent 函數(shù)所能達到的最高代數(shù)次數(shù)是有限的， 并且只能是偶數(shù)個變元，這使得Bent 函數(shù)的數(shù)量 有限。 在搜集有關資料時，經(jīng)過對比和參考他人研究成果， 我們得知，在關于Bent 函數(shù)在密碼學中的研究，還有很 大的空間，列如Bent 函數(shù)的正規(guī)性的證明方法有待于進 一步研究，如何應用正規(guī)Bent 函數(shù)構造具有高非線性度 的密碼函數(shù)，如何通過布爾函數(shù)的正規(guī)驗證算法得到了 非正規(guī)Bent 函數(shù)的實例，但非正規(guī)Bent 函數(shù)存在性的