概率及概率空間PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 概率及概率空間概率及概率空間 2 定義：定義： 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 : 在一定條件下，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí)在一定條件下，對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次實(shí) 驗(yàn)的每一個可能結(jié)果；驗(yàn)的每一個可能結(jié)果； 必然事件必然事件 : 在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記在一定條件下必然要發(fā)生的事件，記 作作 ； 不可能事件不可能事件 : 在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記在一定條件下不可能發(fā)生的事件，記 作作。 基本事件基本事件 : 在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件；在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，不能分解的事件； 隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件 我們稱一個隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包 含的一個基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn) 返回主目錄 1. 概率的概念 第1

2、頁/共31頁 3 10 包含關(guān)系 事件間的關(guān)系與運(yùn)算事件間的關(guān)系與運(yùn)算 20 事件的并 30 事件的交 50 互不相容事 件 60 逆事件 S A B BA BA BA BA = = BA BA 返回主目錄 第2頁/共31頁 4 S A B 20 事件的并 30 事件的 交 BA BA S A B 返回主目錄 第3頁/共31頁 5 S B S A 40 互不相容事 件 50 逆事件 BA = = BA BA AB A 返回主目錄 第4頁/共31頁 6 隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律 AAAAAA, 交換律:ABBAABBA, 結(jié)合律: CBACBA CBACBA 分配律: CABACBA CABACBA

3、反演律（De Morgan定律）: AAAA, 返回主目錄 第5頁/共31頁 7 2.1.1 頻 率 1. 隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分隨機(jī)事件的發(fā)生可能性有大小之分 投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大投一枚均勻的骰子，考察下列事件發(fā)生的可能性大 小令小令出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，則則B比比A更更 容易出現(xiàn)。容易出現(xiàn)。 2. 頻率的定義頻率的定義 定義定義 如果在如果在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了發(fā)生了nA次，則稱次，則稱 nA/n為事件為事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)，即，即 fn(A) 頻率在某種意義反應(yīng)了

4、事件發(fā)生的可能性大小。頻率在某種意義反應(yīng)了事件發(fā)生的可能性大小。 頻率的缺陷頻率的缺陷是其取之是其取之依賴于具體的試驗(yàn)。依賴于具體的試驗(yàn)。 . A n n 第6頁/共31頁 8 大量次的觀察，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。 3. 頻率具有穩(wěn)定頻率具有穩(wěn)定 性性 例1 拋一枚硬幣,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律。 實(shí) 驗(yàn) 者 N nHfn(H) 蒲 豐404020480.5070 K.皮爾遜 1200060190.5016 K.皮爾遜 24000120120.5005 。 n無窮大 m/n穩(wěn)定值 第7頁/共31頁 9 頻 率 穩(wěn) 定 值 概率 事件發(fā)生 的頻繁程度 事件發(fā)生 的可能性的大小 頻率

5、的性質(zhì)概率的定義 返回主目錄 第8頁/共31頁 10 4.頻率的性質(zhì) (1) 0fn (A)1; (2) fn () =1； (3) 若A1，A2，An 是兩兩互不相容的事件，則 11 ()(). nn nknk kk fAf A 1.1.2 概率的定義 簡單說來，隨機(jī)事件簡單說來，隨機(jī)事件A發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)發(fā)生可能性大小的度量（數(shù) 值），稱為值），稱為A發(fā)生的概率，記作發(fā)生的概率，記作P(A) 第9頁/共31頁 11 定義定義 設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對于是它的樣本空間，對于E的的 每一事件每一事件A對應(yīng)于一個實(shí)數(shù)對應(yīng)于一個實(shí)數(shù)P(A)，稱，稱P(A)為事件為事

6、件A的概的概 率，若率，若P(A)滿足下列三個條件：滿足下列三個條件： (1) 0P(A)1; (2) P()=1； (3) 對于兩兩互不相容的事件對于兩兩互不相容的事件A1，A2，有，有 11 )()( k k k kAPAP 以上三個條件分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列以上三個條件分別稱為概率的非負(fù)性、規(guī)范性及可列 可加性?？杉有?。 利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。 第10頁/共31頁 12 性質(zhì)性質(zhì)1 ( )0.P 因?yàn)橐驗(yàn)?, 由可列可加性由可列可加性 ( )( )( )( ),PPPP 0( ) 1,P 故故 ( )0.P 性質(zhì)性

7、質(zhì)2 若若A1，A2，An為兩兩互不相容的事件，則為兩兩互不相容的事件，則 1 1 ()( ). nn ii i i PAP A 由可列可加性有由可列可加性有 1 1 ()() n in i PAP AA 1 ()()( ) n p Ap Ap 1 ()(). n p Ap A 第11頁/共31頁 13 則則 P (BA) = P (B) P (A). 證明 由于 B =A(BA) 且 A . (BA) = , P(B) = P(A)+ P(BA), 于是 P(BA) = P(B)P(A). 推論推論1 (B-A)=P(B)-P(AB). 推論2 若AB, 則P(B)P(A). 性質(zhì)性質(zhì)3 設(shè)

8、設(shè)A，B是兩事件，若是兩事件，若A B, AB 第12頁/共31頁 14 性質(zhì)性質(zhì)4 對于任一事件對于任一事件A，有，有 ( ) 1( ).P AP A ,AA 因因 ,AA 則有則有 1( )( )( ),PP AP A 于是有于是有 ( ) 1( ).P AP A A A 第13頁/共31頁 15 性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)任意兩個事件設(shè)任意兩個事件A、B，則，則 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB) 證明證明 由右圖可知由右圖可知 A B=A (B - AB)且且 由概率可加性及性質(zhì)得由概率可加性及性質(zhì)得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB） A(B

9、- AB)=，AB B 推論1. P(AB ) P(A)+P(B). 推論2. 設(shè)隨機(jī)事件A1, A2, A 3 , 則 )()()( )()()()( )( 3213231 21321 321 AAAPAAPAAP AAPAPAPAP AAAP 1 A2 A3 第14頁/共31頁 16 推論3 設(shè)A1，A2，An 是 n 個隨機(jī)事件， 則 n nji n nkji j n i i n i i kjii AAAPAApAPAP 1111 )()()()( 1 12 ( 1)(). n n P AAA 第15頁/共31頁 17 例例 1 設(shè)事件設(shè)事件A、B、AB的概率分別為的概率分別為p、q、r

10、，求求P（AB）, P（A ），）， P（ B），）， P（ ） BABA 解解 （1）因?yàn)椋┮驗(yàn)镻（AB）=P（A）+P（B）-P（AB），所），所 以以 P（AB）= p+q-r （2）因?yàn)椋┮驗(yàn)锳 =A-AB且且AB A，故，故 B P（A qrrqppABPAPB)()()() 同理可求出同理可求出P（ prBA) （3）因）因 = ，所以，所以 BABArBApBAP1)(1)( 第16頁/共31頁 18 1.適用的范圍廣； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一種檢驗(yàn)理論或假設(shè)正確與否的方法。 概率統(tǒng)計定義的優(yōu)點(diǎn)：概率統(tǒng)計定義的優(yōu)點(diǎn)： 1.要確定某事件的概率，就必須進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，

11、這 在實(shí)際中難以辦到； 2.即使有條件大量實(shí)驗(yàn)也無法確切的指出何數(shù)為瀕 率的穩(wěn)定值。 返回主目錄 古典概型 概率統(tǒng)計定義的不足： 第17頁/共31頁 19 n 當(dāng)涉及隨機(jī)變量時，我們必須首先定義概率 空間；也就是說，我們需要設(shè)定一個框架來對 偶然性和相應(yīng)概率進(jìn)行定義而不用擔(dān)心一致性 問題。 n 概率的定義具有一致性，具有兩個條件： （1） （2） 概率的一致性問題概率的一致性問題 返回主目錄 古典概型 ( )0()P AA ( ) 1 A dP A 第18頁/共31頁 20 n在實(shí)際工作中，我們會經(jīng)?？疾煊袟l件的 隨機(jī)事件，即在一些信息已知的情況下，某 一隨機(jī)現(xiàn)象的變化。 n例如，央行加息后股

12、票價格或債券價格的 漲落情況、國家的稅收政策發(fā)生變化后投資 回報將如何變動等等，都是典型的條件隨機(jī) 現(xiàn)象，這就是我們在此擬要考察的條件事件 和條件概率問題。在后面有關(guān)鞅的定義和討 論中，人們會看到條件概率和條件期望更多 的作用。 條件概率 第19頁/共31頁 21 在初等概率論中，我們已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)事件B發(fā)生時事件A的概率為 P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0 簡稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。其中，A/B表示條件事件。 然而，上述公式并不全面，因?yàn)楫?dāng)事件B已知后，B的逆 也成為已知信息，人們自然也會關(guān)心在已知 情況下事件A的概率，即P(A / )。即使求出P(A / )，也仍

13、存在美中不足的地方，因?yàn)樾畔⒌淖钔陚湫问绞谴鷶?shù)，所以只有在考察了由B與生成的代數(shù)(B )下事件A的概率后，才可能對B發(fā)生以后事件A發(fā)生的可能性有更深刻、更全面的認(rèn)識和了解。為此，需定義和計算P(A/(B )。 B BB B B 第20頁/共31頁 22 第21頁/共31頁 23 第22頁/共31頁 24 設(shè)(, F,P)為概率空間，AF , BF，且P(B)0。利用公式P(A/B)= P(AB) / P(B)可知，PB=P(/B)是由事件B和概率測度P誘導(dǎo)出來的、定義在可測空間(, F)上的概率測度，于是得到一個新的概率空間(, F,PB)。對(, F,PB)上的隨機(jī)變量關(guān)于概率測度PB求積分。若該積分存在，則稱此積分為已知事件B發(fā)生條件下的條件期望，記為E(|B)，即 E(