高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章三重積分

1、1 是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的上的 如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值 在每個(gè)在每個(gè) i v ),( iii ),2 , 1(),(nivf iiii .),( 1 i n i iii vf 1. 三重積分的定義三重積分的定義 n vvv , 21 將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域 其中其中 i v 并作和并作和 作乘積作乘積 ),(zyxf設(shè)設(shè)有界函數(shù)有界函數(shù). . 也表示它的體積也表示它的體積.表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域, 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 三重積分三重積分 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 (define) 2 記為記

2、為 函數(shù)函數(shù)),(zyxf 趨于零時(shí)這和的極限總存在趨于零時(shí)這和的極限總存在, iii n i i vf ),(lim 1 0 則稱(chēng)此極限為則稱(chēng)此極限為 在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的三重積分上的三重積分. vzyxfd),( 即即 vzyxfd),( 體積元素體積元素 三重積分三重積分 3 3. 三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義 設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù), 1),( zyxf V vVd1 連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)一定可積 2. 三重積分存在性三重積分存在性 則區(qū)域則區(qū)域V 的體積為的體積為 在在上是可積的上是可積的. ),(zyxf當(dāng)當(dāng)?shù)娜胤e分存在性時(shí)的三重積分存在性時(shí),),(zyxf稱(chēng)稱(chēng) 三重積

3、分三重積分 (existence) 4 4. 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類(lèi)似與二重積分的性質(zhì)類(lèi)似. 補(bǔ)充三重積分補(bǔ)充三重積分 vzyxfd),( 0為為f 的的偶偶函函數(shù)數(shù)z 對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì) ),(),(zyxfzyxf 則稱(chēng)則稱(chēng)f關(guān)于變量關(guān)于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù). vzyxfd),(則則 (1),坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)xOy關(guān)于關(guān)于 的的奇奇函函數(shù)數(shù)z 為為f 2 1 若域若域 xOy在在為為其其中中 1坐標(biāo)面的上半部區(qū)域坐標(biāo)面的上半部區(qū)域. ),(),(zyxfzyxf (偶偶) 三重積分三重積分 (property) 5 或或 ,坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于xOz

4、的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf 而得結(jié)果為零而得結(jié)果為零. 例例, 2222 azyx vzyxd 22 vzy d 2 0 vzy d2 2 1 0 則則 為為設(shè)域設(shè)域 部部分分的的為為0 1 z , 1 坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于xOz 的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是yf ,坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于xOy 的偶函數(shù)的偶函數(shù)是是zf 三重積分三重積分 6 例例, 2222 azyx vyzxd 2 0 vzyd 22 vzyd4 22 2 0 的偶函數(shù)的偶函數(shù)yx, 4 vzyxfd),( vzyxfd),(則則 (2),都都對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)xOzyOz關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面 若域若域 同同為為f 是是

5、其其中中 2 在第一在第一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域. 為為設(shè)域設(shè)域 是是 2 在一在一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域,則則 2 三重積分三重積分 的的奇奇函函數(shù)數(shù)yx,同同為為f 7 關(guān)于關(guān)于三個(gè)三個(gè)坐標(biāo)面坐標(biāo)面都都對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), 在第在第一卦限部分的區(qū)域一卦限部分的區(qū)域. 例例, 2222 azyx vyzxd 0 vzyd 22 vzyd8 22 3 0 同同為為f 同同為為f vzyxfd),(則則 若域若域(3) 的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx, 3 vzyxfd),( 8 是是其其中中 3 為為設(shè)域設(shè)域 是是 3 在第一在第一 三重積分三重積分 卦限的部分卦限的部分, 則則 的奇函

6、數(shù)的奇函數(shù)zyx, 8 vzyxfd),(則則 為為f0 為為f vzyxfd),(2 (4) 4 若若 關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), 的奇函數(shù)的奇函數(shù)zyx, 的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx, 三重積分三重積分 其中其中 是是 的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一半?yún)^(qū)域的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一半?yún)^(qū)域. 4 9 . lkji zyxv 則則 zyxvdddd 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算 1. 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分 故故直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下的體積元素為的體積元素為 在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為三重積分可表為 vzyxfd),( ).(是是小小長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體 i v 在直角

7、坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的如果用平行于坐標(biāo)面的 平面的來(lái)劃分平面的來(lái)劃分 , zyxzyxfddd),( 三重積分三重積分 10 直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分 ),(: 11 yxzzS Dyx ),( , 1 穿穿入入從從 z 投影法投影法 思想是思想是 ),(: 22 yxzzS ( (先一后二法先一后二法) ) 如圖如圖, 閉區(qū)域閉區(qū)域 xOy在在 面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D, , 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)作直線(xiàn), 穿出穿出從從 2 z 三重積分三重積分 x y z O D a b )( 1 xyy )( 2 xyy 1 S )

8、,( 1 yxzz 2 S ),( 2 yxzz ),(yx 1 z 2 z 11 ,看作定值看作定值先將先將yx ),( ),( 2 1 d),(),( yxz yxz zzyxfyxF ,),()(: 21 bxaxyyxyD X型型 ),(yxF 再計(jì)算再計(jì)算 zzyxf只只看看作作將將),( 的函數(shù)的函數(shù), 上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間 D d),( ),( ),( 2 1 yxz yxz zzyxf D yxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf )( )( 2 1 d xy xy y b a xd 三重

9、積分三重積分 則則 12 vzyxfd),( 軸軸且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域這這是是平平行行于于 z 如何寫(xiě)出當(dāng)如何寫(xiě)出當(dāng)D為為Y型閉域型閉域時(shí)時(shí), ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf b a xd 注注 化為三次積分的公式化為三次積分的公式 三重積分三重積分 S的邊界曲面的邊界曲面內(nèi)部的直線(xiàn)與閉區(qū)域內(nèi)部的直線(xiàn)與閉區(qū)域 相交不多兩點(diǎn)情形相交不多兩點(diǎn)情形. 三重積分三重積分 )( )( 2 1 d xy xy y 13 所以所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積 分分(累次積分累次積分). 和積分域和積分域選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算

10、選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算. 解題時(shí)解題時(shí),要依據(jù)具體的被積函數(shù)要依據(jù)具體的被積函數(shù) ),(zyxf 同樣同樣,也可以把積分域也可以把積分域向向yOz、zOx面投影面投影 . 三重積分三重積分 14 ,dddcos 43 zyxzyxI V . 2 0, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由于由于V是長(zhǎng)方體是長(zhǎng)方體, 故故 20 1 1 5 1 4 1 I yy d 1 0 4 xx d 1 0 3 例例 三次積分的上、下限三次積分的上、下限 都是常數(shù)都是常數(shù), 三重積分三重積分 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 其中其中V是長(zhǎng)方體是長(zhǎng)方體 x y z O 2 zzdcos 0 15 解解 1

11、: 22 yxD 化三重積分化三重積分 zyxzyxfIddd),(為三次積分為三次積分,例例 22 2yxz 2 2xz 及及 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 2 22 2 2 xz yxz 由由 三重積分三重積分 其中積分區(qū)域?yàn)橛汕嫫渲蟹e分區(qū)域?yàn)橛汕?得交線(xiàn)投影區(qū)域得交線(xiàn)投影區(qū)域 ：故故 22 11xyx 11 x z 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 d),(dd x yx x x zzyxfyxI 22 2yx 2 2x x y z O 2 2xz 22 2yxz 16 例例 求求 zx zy x yeyzxI 1 0 )1( 1 0 1 0 d)1(dd 2 1 1 1

12、解解 2 y e 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù), 應(yīng)先應(yīng)先x對(duì)積分對(duì)積分 zy x 1 0 d 1 0 d)1(yy 2 1 54 1 一定要一定要交換積分次序交換積分次序. I 1 0 d)1(yy 1 zyx 三重積分三重積分 x y z O 1 0 d)1(yy y zy zye 1 0 2)1( )1(d 2 y zy zzye 1 0 )1( d)1( 2 y zy ze 1 0 )1( d 2 17 ,dddzyx z xy V 計(jì)算計(jì)算 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域與與平平面面1 z 解解 畫(huà)積分區(qū)域的草圖畫(huà)積分區(qū)域的草圖.采用采用先對(duì)先對(duì)x積分積分, 再對(duì)再對(duì)y、z 積

13、分積分的方法簡(jiǎn)單的方法簡(jiǎn)單. ,10 ,0),( zzyzyDyz,),( yz Dzy .0 22 yzx 22 00 1 0 ddd 1 yzz xxyyz z I z yyz y z z 0 22 1 0 d 2 d 1 zz d 8 1 1 0 2 7 222 yxzV 為為錐錐面面其其中中 例例 .在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分 三重積分三重積分 將將V向向yOz平面投影平面投影 對(duì)任一對(duì)任一 x取值為取值為 . 36 1 先對(duì)先對(duì)z積分積分? 得平面區(qū)域得平面區(qū)域 x y z O 1 18 截面法截面法 (紅色部分紅色部分) ( (先二后一法先二后一法) ) 截面法的一般步驟

14、截面法的一般步驟 (1)向某軸向某軸把積分區(qū)域把積分區(qū)域 )(軸軸如如z投影投影, , 得投影區(qū)間得投影區(qū)間;, 21 cc (2), 21 ccz 對(duì)對(duì) , 的的平平面面去去截截軸軸且且平平行行用用過(guò)過(guò)xOyz ; z D得得截截面面 (3)計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 z D yxzyxfdd),( );(zFz的的函函數(shù)數(shù)其其結(jié)結(jié)果果為為 (4).d)( 2 1 c c zzF最后計(jì)算單積分最后計(jì)算單積分 x z oy 1 c 2 c z z D 三重積分三重積分 19 即即 z D yxzyxf c c zvzyxfdd),(dd),( 2 1 c c zzF 2 1 d)( 當(dāng)被積函數(shù)僅

15、與變量當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān)有關(guān), 截面法的公式還有兩個(gè)截面法的公式還有兩個(gè). 用上公式簡(jiǎn)便用上公式簡(jiǎn)便. 希自己推希自己推 注注 且截面且截面Dz易知時(shí)易知時(shí), 三重積分三重積分 20 zyxzddd z D yxdd 1| ),(zyxyxDz z D yxdd 截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解 )1)(1( 2 1 zz 1 0 dzz 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 ,dddzyxz 為為其中其中 例例 .1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域三個(gè)坐標(biāo)面及平面三個(gè)坐標(biāo)面及平面 zyx 原式原式= zzzd)1( 2 1 2 1 0 . 24 1 三重積分三重積分 1 1 1 x y z

16、 O 1 zyx z D 21 zzy xyzz 1 0 1 0 1 0 ddd z yzyzz 1 0 1 0 d)1(d 投影法投影法( (先一后二法先一后二法) xzd d yz D zy 1 0 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 ,dddzyxz 為為其中其中 .1所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面 zyx 三重積分三重積分 zyxzddd 1 0 2 d)(1 2 1 zzz. 24 1 1 1 1 x y z O 1 zyx zyxzddd yx D zz xy 1 0 dd 22 已知橢球已知橢球V: 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)(x,y,z)處質(zhì)處質(zhì) 量的體密度為量的體密度為:

17、求橢球的質(zhì)量求橢球的質(zhì)量. 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 提示提示 v c z b y a x M V d 2 2 2 2 2 2 v a x V d 2 2 v b y V d 2 2 v c z V d 2 2 , 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 三重積分三重積分 23 解解因?yàn)橐驗(yàn)関 c z b y a x M V d 2 2 2 2 2 2 v a x V d 2 2 v b y V d 2 2 v c z V d 2 2 而而 v a x V d 2 2 等于等于 x D zydd 2 2 2 2 11 a x c a x b x a x a a

18、 d 2 2 zydd x D :1 2 2 2 2 2 2 的面積的面積橢圓橢圓 a x c z b y 2 2 1 a x bc 其中其中 三重積分三重積分 24 由對(duì)等性知由對(duì)等性知 abc 15 4 VV v c z v b y dd 2 2 2 2 因此因此. 5 4 abcM 所以所以 v a x V d 2 2 x a x a a d 2 2 x D zydd )1(dd 2 2 a x bczy x D abc 15 4 三重積分三重積分 x a x x a bc a a d )1( 2 2 2 2 2 25 x y z O 22222 4yxzyxaz 及及求求曲曲面面 .V

19、所所圍圍立立體體體體積積 解解 兩曲面的交線(xiàn)為兩曲面的交線(xiàn)為 222 2 2 ayx az 所以所以,: xy DxOyV面面的的投投影影域域在在 222 2ayx V vVd 222 22 4 dd yxa yx D z xy xy D yxyxa d)4( 22222 d)4(d 2 0 22 2 0 a a 例例 極坐標(biāo)極坐標(biāo) 三重積分三重積分 .)22( 3 8 3 a 26 ,0 ,20 z 規(guī)定規(guī)定 x y z o ),(zyxM ),( P z , , 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)的關(guān)系為的關(guān)系為 ,cos xzz 就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)M的的柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo). 三重積分三重積分

20、2. .利用柱面坐標(biāo)利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 cylindrical coordinates 設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在在xOy 面上的投影面上的投影P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為則這樣的三個(gè)數(shù)則這樣的三個(gè)數(shù) ,sin y 27 為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z 為常數(shù)為常數(shù) 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)系中系中, 以以z軸為中心軸的軸為中心軸的圓柱面圓柱面; 過(guò)過(guò)z軸的軸的半平面半平面. 與與xOy平面平行的平面平行的平面平面; 三坐標(biāo)面分別為三坐標(biāo)面分別為 z , 三重積分三重積分 稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo) ),(zyxM ),( P x y z O 28

21、 x y z o 柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為 zvdddd V 在在柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中中, , 如圖如圖, V 得小柱體得小柱體 即即 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下三重積分與下三重積分與 (紅色部分紅色部分). 若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域 柱柱(面面)坐標(biāo)系坐標(biāo)系下三重下三重 積分的關(guān)系是積分的關(guān)系是 z 三重積分三重積分 z 29 如何計(jì)算如何計(jì)算柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分下三重積分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分方法下計(jì)算三重積分方法. 將三重積分化為將三重積分化為 ,

22、cos x,sin yzz 三次積分三次積分( (累次積分累次積分) ) zvdddd 三重積分三重積分 30 zyxzyxfddd),( 柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算下三重積分的計(jì)算, 可得可得柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分化為下三重積分化為三次積分三次積分 b a xy xy yxz yxz zzyxfyx )( )( ),( ),( 2 1 2 1 d),(dd z , 與與x, y, z等同的看為三個(gè)變量等同的看為三個(gè)變量. 如如, 極坐標(biāo)極坐標(biāo)不等式表示不等式表示 , ).()( 21 只要把被積只要把被積 函數(shù)中的函數(shù)中的 的計(jì)算公式的計(jì)算公式. 類(lèi)比公式 類(lèi)比公式 先先將將在在x

23、Oy面上的投影域用面上的投影域用 三重積分三重積分 31 從而從而 , ),()( 21 zzfddd),sin,cos( 故故 ),( ),( 2 1 d),sin,cos( z z zzf )( )( 2 1 d d : 再再確定確定的下的下, 上邊界面上邊界面 ),( 1 zz ),( 2 zz 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積 三重積分三重積分 、 、z. ),(),( 21 zzz 32 如積分域如積分域?yàn)閳A柱域?yàn)閳A柱域(如圖如圖). 20 ,0R ,0Hz vzyxfd),( 則則 : HR zzf 00 2 0 d),sin,cos(dd 三重積分三重積分 xy z O

24、33 2 0 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例 ,d 22 vyxz計(jì)計(jì)算算 )0(02 22 yxyx 所圍成所圍成. 積分域用積分域用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)表示為表示為 . 9 8 2 a 2 0 d a zz 0 d cos2 0 2d z原式原式 zddd 其中其中由半圓柱面由半圓柱面 0, 0, 0 azzy及及平平面面 : 三重積分三重積分 O x y 2 x y z O 02 22 xyx x y z O az 02 22 xyx x y z O az 02 22 xyx 34 例例 22 2yxz 已知立體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量的體密度已知立體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量的體密度 解解 vyxkM

25、d)( 22 因?yàn)橐驗(yàn)?22 2yxz 平面平面 222 2 yx 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) 求曲面求曲面2 z與與所圍立體的質(zhì)量所圍立體的質(zhì)量M, 與該點(diǎn)與該點(diǎn) 到到z軸的距離的平方成正比軸的距離的平方成正比. )0( k常數(shù)常數(shù) 的的交線(xiàn)交線(xiàn)是是2 z與與 2 z上的圓上的圓 體密度函數(shù)為體密度函數(shù)為 三重積分三重積分 x y z O 2 z 22 2yxz )( 22 yxk 35 的的下邊界面下邊界面是是 ),( 2 1 22 yxz 上邊界面上邊界面是是故故 zkddd 2 2 2 2d z k 3 16 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域 xy 即即 vyxkMd)( 22 是半徑

26、為是半徑為2的圓域的圓域 d 2 0 3 2 0 dk . 2 z 三重積分三重積分 x y z O 4 22 yx xy 20,20 ; 2 1 2 z 36 解解 ze z ddd 2 如先對(duì)如先對(duì)z積分積分 其中其中是由錐面是由錐面 例例 ,ddd 22 2 zyx yx e z 計(jì)計(jì)算算 與平面與平面 22 yxz zyx yx e z ddd 22 2 21 zz、所圍成的錐臺(tái)體所圍成的錐臺(tái)體. 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) 三重積分三重積分 x y z O 22 yxz 37 x y z O 可看出如先對(duì)可看出如先對(duì)z積分積分,ze z d 2 (積不出來(lái)積不出來(lái)). ze z ddd 2 )

27、.( 4 ee zze z d2 2 1 2 2 1 2 z e 將遇到積分將遇到積分 最后對(duì)最后對(duì)z積分積分. zyx yx e z ddd 22 2 ddd 2 ze z 0 z 2 1 2 0 三重積分三重積分 這里應(yīng)先對(duì)這里應(yīng)先對(duì) 、 積分積分, 22 yxz 38 解解 2 )(zyx 222 zyx 對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì) )(2zxyzxy 是是關(guān)關(guān)于于yzxy 關(guān)關(guān)于于且且 vyzxyd)( 0 例例,d)( 2 vzyx 計(jì)計(jì)算算 是拋物面是拋物面其中其中 所圍成的空間閉區(qū)域所圍成的空間閉區(qū)域. ,的奇函數(shù)的奇函數(shù)y .面對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)zOx 三重積分三重積分 2 22222 zyxy

28、xz和和球球面面 同理同理,的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是關(guān)關(guān)于于xzx.面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于且且yOz vxzd0 x y z O 2 222 zyx 22 yxz 39 vzyxd)( 222 計(jì)算計(jì)算 20 10 22 2 z 三重積分三重積分 d)2(2 22 1 0 3 2 0 1 0 2 3 2 2 dddz vyxd)( 22 zddd 3 vzyxd)( 2 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) ).19216( 15 x y z O 2 222 zyx 22 yxz 40 ).89290( 60 vz d 2 ,13232 60 所以所以 2 2 2 2 1 0 dd zz 2 0 d 對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性質(zhì) vz

29、yxd)( 222 22 2 10 20 : z 4 三重積分三重積分 vzyxd)( 222 計(jì)算計(jì)算vzyxd)( 2 的偶函數(shù)的偶函數(shù)yx, 都都對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)xOzyOz,關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面 同同為為f vyxd)( 22 )19216( 15 vzyxd)( 2 41 當(dāng)被積函數(shù)是當(dāng)被積函數(shù)是),(),(),( 22 xyzf x y zfyxzf 積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面 用用所圍成的所圍成的.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較方便計(jì)算三重積分較方便. 三重積分三重積分 42 選擇題選擇題 曲面曲面 之內(nèi)及曲面之內(nèi)及曲面 zzy

30、x2 222 22 yxz 之外所圍成的立體的體積之外所圍成的立體的體積 .ddd)( 2 2 11 0 2 0 zA .ddd)( 2 11 10 2 0 zB .ddd)( 11 0 2 0 2 zC .ddd)( 2 2 11 1 0 2 0 zD D).( V 三重積分三重積分 x y z O x y z O x y z O 1: 22 yx xy 43 錐面錐面 被圓柱面被圓柱面 22 yxz 所截所截,求錐面下方、求錐面下方、 xOy面上方、圓柱內(nèi)的區(qū)域面上方、圓柱內(nèi)的區(qū)域 V 的體積的體積. xyx2 22 解解 V=2V1, 提示提示 1 d2 V vV . 9 32 1 2

31、V zddd zddd2 0 cos2 00 2 V1為第一卦限部分的體積為第一卦限部分的體積. 三重積分三重積分 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) x y z O x y z O x y z O 44 r P z y x A ,0 記投影向量與記投影向量與x軸正方向的軸正方向的 , .20 ),( r 規(guī)定規(guī)定 , ,0 r ),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為 軸軸與與zOM, r 夾角為夾角為球面坐標(biāo)球面坐標(biāo).稱(chēng)稱(chēng)為點(diǎn)為點(diǎn)M的的 之之長(zhǎng)長(zhǎng)為為記記向向量量OM 三重積分三重積分 2. .利用球面坐標(biāo)利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 x y z O 設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一

32、點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn), 向向xOy平面投影平面投影, 45 為為常常數(shù)數(shù)r 為常數(shù)為常數(shù) 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為中的三坐標(biāo)面分別為 原點(diǎn)為心的原點(diǎn)為心的球面球面; 過(guò)過(guò)z軸的軸的半平面半平面 球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為為 ,sinsin ry ,cossin rx cosrz 為為常常數(shù)數(shù) 原點(diǎn)為頂點(diǎn)、原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸為 軸的軸的圓錐面圓錐面; 三重積分三重積分 r z y x A ),(zyxM x y z O y z x x y z O x y z O x y z O x y z O 46 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為 r x y

33、z o r dddsind 2 rrv V 若以三坐標(biāo)面分割空若以三坐標(biāo)面分割空 , V 得小六得小六面體面體 (紅色部分紅色部分). 于是于是, 在在球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中中, r sinr r 間區(qū)域間區(qū)域 三重積分三重積分 sinr r sinr 47 zyxzyxfddd),( 通常是通常是注注 、先先積積r、再再積積 . 后積后積 )cos r (f,sinsin r dddsin 2 rr ,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind 2 rrv ,cossin r 三重積分三重積分 48 如積分域如積分域?yàn)榍蛴驗(yàn)榍蛴?如圖如圖). : R fvf 00

34、2 0 (ddd 則則 ,0 ,0Rr 20 ,cossin r ,sinsin r cosr) sin 2 rrd 三重積分三重積分 x y z O 49 az cos a r 222 zyx 4 . cos 0 a r 解解 法一法一 采用采用 , 4 0 : ,20 ,ddd)( 22 zyxyxI 計(jì)計(jì)算算例例 是錐面是錐面其中其中 所圍的立體所圍的立體. .)0( 222 aazzyx與與平平面面 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) 三重積分三重積分 x y z O az 222 zyx 50 dddsind 2 rrv zyxyxIddd)( 22 r a ddd 4 0 cos 0 2 0 d)0

35、 cos ( 5 1 sin2 5 5 4 0 3 a . 10 5 a cos sinsin cossin rz ry rx cos 0 a r , 4 0 : ,20 34 sinr 三重積分三重積分 51 zyxyxIddd)( 22 aa z ddd 2 0 2 0 a a 0 3 d)(2 54 2 54 aa a . 10 5 a az zyx 222 az 法二法二 采用采用 : xy D : ,0a ,20 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) 222 ayx z 222 ayx 三重積分三重積分 x y z O az 222 zyx 52 解解 4 , 4 0 2222 2azyx 由由 ar2

36、 22 yxz 由由 : 20 ,20ar 采用采用 例例 由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成, , 所圍成的立體體積所圍成的立體體積. . 222222 2yxzazyx 與與求曲面求曲面 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) 三重積分三重積分 V zyxddd1 a r 2 00 2 0 ddd 4 .)12( 3 4 3 a 4 0 3 d 3 )2( sin2 a sin 2 r dddsind 2 rrv x y z O 53 解解積分域關(guān)于積分域關(guān)于xOy坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng), zyx zyx zyxz ddd 1 )1ln( 222 222 0 zyx zyx zyxz ddd 1 )1ln( 222 222 被積函數(shù)是被積函數(shù)是z的奇函數(shù)的奇函數(shù). 例例利用利用對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 . 1 222 zyx為為 三重積分三重積分 x y z O 54 zyx zyx zyxz ddd 1 )1ln( 222 222 球球 rddd sin 2 r 0 1