全套更高更妙的物理競賽ppt課件競賽課件9：動量與動量守恒

1、中 國 航 天 CZ 1F Ip 0t Ftmvmv 動量定理動量定理 動量定理的應用動量定理的應用 (1)遵從矢量性與獨立性原理遵從矢量性與獨立性原理 (3)盡量取大系統(tǒng)與整過程盡量取大系統(tǒng)與整過程 i i Ip 如圖所示，頂角為如圖所示，頂角為2、內壁光滑的圓錐體倒立豎直固定在、內壁光滑的圓錐體倒立豎直固定在P點，點， 中心軸中心軸PO位于豎直方向，一質量為位于豎直方向，一質量為m的質點以角速度的質點以角速度繞豎直軸沿圓錐內壁做勻繞豎直軸沿圓錐內壁做勻 速圓周運動，已知速圓周運動，已知a、b兩點為質點兩點為質點m運動所通過的圓周一直徑上的兩點，求質點運動所通過的圓周一直徑上的兩點，求質點

2、m從從a點經半周運動到點經半周運動到b點，圓錐體內壁對質點施加的彈力的沖量點，圓錐體內壁對質點施加的彈力的沖量 分析受力：分析受力： mg FN F向 向 運動半周動量變化量為運動半周動量變化量為22 pmvm r 2 cotmgmr 2 cot g r 其中軌道半徑其中軌道半徑r由由 合外力沖量為合外力沖量為2cot I g m 重力沖量為重力沖量為 G Img I IGIN 彈力沖量為彈力沖量為 2 2 2cot N I mg m a b 2 O P 如圖所示，如圖所示，質量為質量為M的小車在光滑水平面上以的小車在光滑水平面上以v0向左勻速運動，一質量為向左勻速運動，一質量為m 的小球從高

3、的小球從高h處自由下落，與小車碰撞后，反彈上升的高度仍為處自由下落，與小車碰撞后，反彈上升的高度仍為h設設Mm，碰，碰 撞時彈力撞時彈力FNmg，球與車之間的動摩擦因數為，球與車之間的動摩擦因數為，則小球彈起后的水平速度為，則小球彈起后的水平速度為 A. B. 0 C. D. v0 2gh 22gh M h 小球與車板相互作用，小球動量發(fā)生變化：水平方向動量小球與車板相互作用，小球動量發(fā)生變化：水平方向動量 從從0mvx，豎直方向動量大小不變，方向反向，對小球分別豎直方向動量大小不變，方向反向，對小球分別 在豎直、水平方向運用動量定理。在豎直、水平方向運用動量定理。 設小球與車板相互作用時設小

4、球與車板相互作用時 間間t，小球碰板前速度，小球碰板前速度vy，由，由 2 1 2 2 yy mvmghvgh得得 由動量定理 Ff FN Nx Ftmv 水水平平方方向向 22 x vgh 22 N Ftmghmgh 直直方方向向豎豎 m v0 如圖所示，如圖所示，滑塊滑塊A和和B用輕線連接在一起后放在水平桌面上，水平恒力用輕線連接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F 作用在作用在B上，使上，使A、B一起由靜止開始沿水平桌面滑動已知滑塊一起由靜止開始沿水平桌面滑動已知滑塊A、B與水平桌與水平桌 面之間的動摩擦因數均為面之間的動摩擦因數均為力力F作用時間作用時間t后后A、B連線斷開，此后力連線斷

5、開，此后力F仍作用于仍作用于 B試求滑塊試求滑塊A剛剛停住時，滑塊剛剛停住時，滑塊B的速度大?。績苫瑝K質量分別為的速度大??？兩滑塊質量分別為mA、mB A BF 設繩斷時設繩斷時A、B速度為速度為V，繩斷后，繩斷后A運運 動時間為動時間為T;則在則在t+T時間內對系統(tǒng)有時間內對系統(tǒng)有 ABBB FmmgtTm v 而在而在t時間內對系統(tǒng)有時間內對系統(tǒng)有 ABAB FmmgtmmV 其中其中 Vg T AB AB Fmmg Tt g mm AB A B BB FmmgFt mm v mg AB AB Fmmg t mm 如圖所示，橢圓規(guī)的尺如圖所示，橢圓規(guī)的尺AB質量為質量為2m，曲柄，曲柄OC

6、質量為質量為m， 而套管而套管A、B質量均為質量均為M已知已知OC=AC=CB=l；曲柄和尺的重心分別在其中點上；曲柄和尺的重心分別在其中點上； 曲柄繞曲柄繞O軸轉動的角速度軸轉動的角速度為常量；開始時曲柄水平向右，求：曲柄轉成豎直向上為常量；開始時曲柄水平向右，求：曲柄轉成豎直向上 過程中，外力對系統(tǒng)施加的平均沖量過程中，外力對系統(tǒng)施加的平均沖量 C B A O 確定曲柄確定曲柄m、尺、尺2m、套管、套管A、B 質心的速度，確定質點系的動質心的速度，確定質點系的動 量變化，對系統(tǒng)運用動量定理量變化，對系統(tǒng)運用動量定理 曲柄、尺的質心及套管A、B的速度相關關系如示 C B A O t v 曲柄

7、質心速度曲柄質心速度 2 l v C v 尺質心速度尺質心速度 c vl 套管套管A速度速度 C v An v A v 套管套管B速度速度 C v An v 2 m l p 動量動量 動量動量2 c pm l 2 AB pMl 系統(tǒng)動量大小不變?yōu)?5 2 2 pmMl 0 p t p 由動量定理，在從水平變成豎直過程中由動量定理，在從水平變成豎直過程中 0t Ipp p 5 22 2 mMl 如圖所示，光滑的水平面上停著一只木球和載人小車，木如圖所示，光滑的水平面上停著一只木球和載人小車，木 球質量為球質量為m，人和車總質量為，人和車總質量為M，已知，已知M m=16 1，人以速率，人以速率v

8、沿水平面將木球沿水平面將木球 推向正前方的固定擋板，木球被擋板彈回之后，人接住球后再以同樣的對地速率推向正前方的固定擋板，木球被擋板彈回之后，人接住球后再以同樣的對地速率 將球推向擋板設木球與擋板相碰時無動能損失求人經過幾次推木球后，再也將球推向擋板設木球與擋板相碰時無動能損失求人經過幾次推木球后，再也 不能接住木球？不能接住木球？ 對木球與載人小車這個系統(tǒng)，對木球與載人小車這個系統(tǒng)， 動量從初時的動量從初時的0，到最終末動，到最終末動 量至少為量至少為（M+m）v，是墻對是墻對 木球沖量作用的結果木球沖量作用的結果： 2nmvmM v 17 2 n 經經9次推木球后，再也接不住木球次推木球后

9、，再也接不住木球 一根均勻的不可伸縮的軟纜繩全長為一根均勻的不可伸縮的軟纜繩全長為l、質量為、質量為M開始時，開始時， 繩的兩端都固定在鄰近的掛鉤上，自由地懸著，如圖（甲）某時刻繩的一端松繩的兩端都固定在鄰近的掛鉤上，自由地懸著，如圖（甲）某時刻繩的一端松 開了，纜繩開始下落，如圖（乙），每個掛鉤可承受的最大負荷為開了，纜繩開始下落，如圖（乙），每個掛鉤可承受的最大負荷為FN（大于纜繩（大于纜繩 的重力的重力Mg），為使纜繩在下落時，其上端不會把掛鉤拉斷，），為使纜繩在下落時，其上端不會把掛鉤拉斷，Mg與與FN必須滿足什必須滿足什 么條件？假定下落時，纜繩每個部分在達到相應的最終位置之后就都停

10、止不動么條件？假定下落時，纜繩每個部分在達到相應的最終位置之后就都停止不動 甲甲 乙乙 x x A B C 松開左纜繩松開左纜繩, ,自由下落自由下落h時，左側繩速度為時，左側繩速度為 掛鉤所受的力由兩部分組成：一是承靜止懸掛在 鉤下的那部分纜繩的重；一是受緊接著落向靜止 部分最下端的繩元段的沖力F，掛鉤不被拉斷，這 兩部分力的總和不得超過鉤的最大負荷 2gh 研究左邊繩處于最下端的極小段繩元研究左邊繩處于最下端的極小段繩元 x:受右受右 邊靜止繩作用邊靜止繩作用,使之速度在極短時間使之速度在極短時間 t內減為內減為0, 由動量定理由動量定理 Ftm v 2 2 gh v 因時間極短內,忽略重

11、力沖量,元段的平均速度取 2 2 2 ghM Fttgh l h F Mg l 當左邊繩全部落下并伸下時當左邊繩全部落下并伸下時, ,h=l FMg 掛鉤不斷的條件是掛鉤不斷的條件是 2 N FMg 0 L xn n 一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長度的質量為一根鐵鏈，平放在桌面上，鐵鏈每單位長度的質量為 現(xiàn)用手提起鏈的一端，使之以速度現(xiàn)用手提起鏈的一端，使之以速度v豎直地勻速上升，試求在從豎直地勻速上升，試求在從 一端離地開始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長為一端離地開始到全鏈恰離地，手的拉力的沖量，鏈條總長為L 圖示是鏈的一微元段離地的情景，該段微元長 F x 該段微元質量 mx

12、 設該元段從靜止到被提起歷時設該元段從靜止到被提起歷時t， 那么豎直上升部分長那么豎直上升部分長x的的鏈條在手的拉鏈條在手的拉 力力F、重力的沖量作用下，發(fā)生了末段、重力的沖量作用下，發(fā)生了末段 微元動量的變化，由動量定理微元動量的變化，由動量定理: : gFxtm v 2 g= x Fxvv t 2 gFvx 2 gvtv 0, L t v 力隨時間線性變化，故可用算術平均力求整個過程手拉力F的總沖量： 2 1 2 L IvgL v 2 2 gL Lv v 如圖所示，水車有一孔口，水自孔口射出已知水面如圖所示，水車有一孔口，水自孔口射出已知水面 距孔口高距孔口高h，孔口截面積為，孔口截面積為

13、a，水的密度為，水的密度為若不計水車與地面的摩若不計水車與地面的摩 擦，求水車加于墻壁的水平壓力擦，求水車加于墻壁的水平壓力 h 先求水從孔口射出的速度v 2 1 2 ghaxax v 對處于孔口的一片水由動能定理對處于孔口的一片水由動能定理: : 2vgh 對整個水車，水平方向受墻壁的壓力對整個水車，水平方向受墻壁的壓力F，在時間，在時間 t內有質量為內有質量為 2ght a 的水獲得速度的水獲得速度 2gh 由動量定理由動量定理: : 22Ftght agh 2Fahg 水車加于墻壁的壓力是該力的反作用力 ,大小為 2hFa g 逆風行船問題逆風行船問題: 如圖如圖,帆船在逆風的情況下仍能

14、帆船在逆風的情況下仍能 只依靠風力破浪航行設風向從只依靠風力破浪航行設風向從B向向A，位于，位于A點處的帆船要想點處的帆船要想 在靜水中最后駛達目標在靜水中最后駛達目標B點，應如何操縱帆船？要說明風對船帆的點，應如何操縱帆船？要說明風對船帆的 作用力是如何使船逆風前進達到目標的作用力是如何使船逆風前進達到目標的 AB 風向風向 設計如示航線設計如示航線 風向風向 F風對帆 風對帆 F1 F2 航線航線 船帆船帆 A B 航向與風向成角 風吹到帆面，與帆面發(fā)生彈性碰撞后以同樣的反射風吹到帆面，與帆面發(fā)生彈性碰撞后以同樣的反射 角折回風與帆的碰撞，對帆面施加了一個沖量，角折回風與帆的碰撞，對帆面施

15、加了一個沖量， 使船受到了一個方向與帆面垂直的壓力使船受到了一個方向與帆面垂直的壓力F，這個力，這個力 沿船身方向及垂直于船身方向的分力沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和和F2，F(xiàn)2正正 是船沿航線前進的動力，是船沿航線前進的動力，F(xiàn)1則有使船側向漂移的作則有使船側向漂移的作 用，可以認為被水對船的橫向阻力平衡用，可以認為被水對船的橫向阻力平衡 風帆與船行方向成角 只要適時地改變只要適時地改變 船身走向，同時船身走向，同時 調整帆面的方位，調整帆面的方位， 船就可以依靠風船就可以依靠風 力沿鋸齒形航線力沿鋸齒形航線 從從A駛向駛向B 續(xù)解續(xù)解 mv 設帆面受風面積為設帆面受風面積為S，空氣

16、密度為，空氣密度為，風速為，風速為 v，在，在t時間內時間內到達帆面并被反彈的空氣質到達帆面并被反彈的空氣質 量是量是F2 F1 F風對帆 風對帆 mv p m sinmvt S 反彈空氣動量變化量反彈空氣動量變化量 2sinsinpvt S v 22 2sinS vt 由動量定理由動量定理,帆帆(船船)對風的沖力對風的沖力 22 2sinFtS vt 帆(船)受到的前進動力F2為 2 2 2 2sinsinS vF 將風即運動的空氣與帆面的碰撞簡化為彈性碰撞將風即運動的空氣與帆面的碰撞簡化為彈性碰撞! ! 船沿航線方向的動力大小與揚帆方向有關，帆面船沿航線方向的動力大小與揚帆方向有關，帆面

17、與船行方向的夾角與船行方向的夾角適當，可使船獲得盡大的動力適當，可使船獲得盡大的動力 設風箏面與設風箏面與水平成水平成角，風對角，風對 風箏的沖力為風箏的沖力為F，其中作為風，其中作為風 箏升力的分量為箏升力的分量為Fy，風箏面積，風箏面積 為為S，右圖給出各矢量間關系，右圖給出各矢量間關系 放風箏時，風沿水平方向吹來，要使風箏得到最大上放風箏時，風沿水平方向吹來，要使風箏得到最大上 升力，求風箏平面與水平面的夾角設風被風箏面反射后的方向遵升力，求風箏平面與水平面的夾角設風被風箏面反射后的方向遵 守反射定律守反射定律 mv mv F Fy sinmvt S mv 風箏截面風箏截面 2 2sin

18、cos 90F tv S 22 2sincos y Fv S 42 2 2sincos 2 2 Sv 2 222 22 1coscosSv 根據基本不等式性質 22 1 2cos1 cos, cos 3 當當時時 max 2 4 3 9 y FF Sv 由動量定理：由動量定理： 反沖模型反沖模型 M m 系統(tǒng)總動量為零系統(tǒng)總動量為零 平均動量守恒平均動量守恒 22 11 22 k EmvMV 在系統(tǒng)各部分相互作用過程的各瞬間，總有在系統(tǒng)各部分相互作用過程的各瞬間，總有 12 12 mm SS vv tt : 1122 0m vm v 2 112 0m vm v 1122 0 mm m sm s

19、 常以位移表示速度常以位移表示速度 須更多關注須更多關注“同一性同一性”與與“同時同時 性性” “同一性同一性”:取同一慣性參考系描述取同一慣性參考系描述m1、 、m2的動量 的動量 “同時性同時性”:同一時段系統(tǒng)的總動量守恒同一時段系統(tǒng)的總動量守恒 O x S人 人 一條質量為一條質量為M、長為、長為L的小船靜止在平靜的的小船靜止在平靜的 水面上，一個質量為水面上，一個質量為m的人站立在船頭如果不計水的人站立在船頭如果不計水 對船運動的阻力，那么當人從船頭向右走到船尾的時對船運動的阻力，那么當人從船頭向右走到船尾的時 候，船的位移有多大？候，船的位移有多大？ 設船設船M對地位移為對地位移為x

20、，以向右方向為正，用，以向右方向為正，用 位移表速度，由位移表速度，由 0m LxMx x m L mM “”表示船的位移方向向左表示船的位移方向向左 人對船的位移人對船的位移 向右取正向右取正 船對地的位移船對地的位移 未知待求未知待求 運算法則運算法則 如圖所示，質量為如圖所示，質量為M、半徑為、半徑為R的光滑圓環(huán)靜止的光滑圓環(huán)靜止 在光滑的水平面上，有一質量為在光滑的水平面上，有一質量為m的小滑塊從與的小滑塊從與O等高處等高處 開始無初速下滑，當到達最低點時，圓環(huán)產生的位移大開始無初速下滑，當到達最低點時，圓環(huán)產生的位移大 小為小為_ R 設圓環(huán)位移大小為設圓環(huán)位移大小為x，并以向左為正

21、并以向左為正: m M O R x R 0m RxMx有有 m xR Mm 即即 “”表示環(huán)位移方向向表示環(huán)位移方向向 右右 m R Mm 氣球質量為氣球質量為M，下面拖一條質量不計的軟梯，質量為，下面拖一條質量不計的軟梯，質量為m 的人站在軟梯上端距地面高為的人站在軟梯上端距地面高為H，氣球保持靜止狀態(tài)，求，氣球保持靜止狀態(tài)，求人能安全人能安全 到達地面，軟梯的最小長度；到達地面，軟梯的最小長度；若軟梯長為若軟梯長為H，則人從軟梯下端到上，則人從軟梯下端到上 端時距地面多高？端時距地面多高？ H L-汽球相對人汽球相對人 上升高度即繩上升高度即繩 梯至少長度梯至少長度 0mHMLH 以向下為

22、正，用位移表速度以向下為正，用位移表速度 L Mm H M H 人上升高度人上升高度h 以向上為正，用位移表速度，以向上為正，用位移表速度， 0mhMHh h M H Mm 如圖所示浮動起重機（浮吊）從岸上吊起如圖所示浮動起重機（浮吊）從岸上吊起m=2 t 的重物開始時起重桿的重物開始時起重桿OA與豎直方向成與豎直方向成60角，當轉到桿與豎直角，當轉到桿與豎直 成成30角時，求起重機的沿水平方向的位移設起重機質量為角時，求起重機的沿水平方向的位移設起重機質量為 M=20 t，起重桿長，起重桿長l=8 m，水的阻力與桿重均不計，水的阻力與桿重均不計 水平方向動量守恒，設右為正，起重機位移水平方向

23、動量守恒，設右為正，起重機位移x 60 30 0sin60sin30Mxm lx 0.266mx 重物對起重機水重物對起重機水 平位移平位移 x 設右為正，梯形木塊位移設右為正，梯形木塊位移x， 系統(tǒng)水平方向動量守恒：系統(tǒng)水平方向動量守恒： 123 0cos60mM xmhxmhx 0.15mx 如圖所示，三個重物如圖所示，三個重物m1=20 kg， m2=15 kg，m3=10 kg，直角梯形物塊，直角梯形物塊M=100 kg三重物由一繞過兩個定滑輪三重物由一繞過兩個定滑輪P和和Q的繩的繩 子相連當重物子相連當重物m1下降時，重物下降時，重物m2在梯形物塊的上面向右移動，而在梯形物塊的上面向

24、右移動，而 重物重物m3則沿斜面上升如忽略一切摩擦和繩子質量，求當重物則沿斜面上升如忽略一切摩擦和繩子質量，求當重物m1下下 降降1m時，梯形物塊的位移時，梯形物塊的位移 m1 m2 m3 M P Q 60 M 典型情景：典型情景： vm m vm m M vM M mvm M F m F vm 22 0 11 22 mmtm Fsmvmv 22 0 11 22 MMtM FsMvMv - 2222 00 1111 ()() 2222 MmmtMtM F ssmvMvmvMv “一對力的功一對力的功”用其中一個力的大小與兩物體相對位移的乘積來計算用其中一個力的大小與兩物體相對位移的乘積來計算

25、模型特征：模型特征：由兩個物體組成的系統(tǒng)，所受合外力為零而相互作用力為一對恒力 規(guī)律種種：規(guī)律種種： 動力學規(guī)律動力學規(guī)律 兩物體的加速度大小與質量成反比兩物體的加速度大小與質量成反比 運動學規(guī)律運動學規(guī)律 兩個做勻變速運動物體的追及問題或相對運動問題兩個做勻變速運動物體的追及問題或相對運動問題 動量規(guī)律動量規(guī)律 系統(tǒng)的總動量守恒系統(tǒng)的總動量守恒 能量規(guī)律能量規(guī)律 力對力對“子彈子彈”做的功等于做的功等于“子彈子彈”動能的增量：動能的增量： 力對力對“木塊木塊”做功等于做功等于“木塊木塊”動能增動能增 量：量： 一對力的功等于系統(tǒng)動能增量：一對力的功等于系統(tǒng)動能增量： 圖象圖象1 1 圖象圖象

26、2 2 圖象描述圖象描述 “子彈”穿出”木塊”“子彈”迎擊”木塊”未穿出 vm vmt vMt d t v 0 t0 1 tan f m 1 tan f M t v 0 vm vM mM mvMv Mm 1 tan f m 1 tan f M d 圖象描述圖象描述 “子彈”未穿出”木塊” “子彈”與”木塊”間作用一對恒力 vm d t v 0 t0 1 tan f m 1 tan f M t v 0 vm m mv Mm 1 tan f m 1 tan f M sm m mv Mm t 0 v 如圖所示，長為如圖所示，長為L的木板的木板A右邊固定著一個擋板，包括擋板在內的總右邊固定著一個擋板，

27、包括擋板在內的總 質量為質量為1.5M，靜止在光滑水平面上，有一質量為，靜止在光滑水平面上，有一質量為M的小木塊的小木塊B，從木板，從木板A的左端開的左端開 始以初速度始以初速度v0在木板在木板A上滑動，小木塊上滑動，小木塊B與木板與木板A間的摩擦因數為間的摩擦因數為小木塊小木塊B滑到木板滑到木板 A 的右端與擋板發(fā)生碰撞已知碰撞過程時間極短，且碰后木板的右端與擋板發(fā)生碰撞已知碰撞過程時間極短，且碰后木板B恰好滑到木板恰好滑到木板A 的左端就停止滑動求：的左端就停止滑動求：若若 在小木塊在小木塊B與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦與擋板碰撞后的運動過程中，摩擦 力對木板力對木板A做正功還是做負功？

28、做多少功？做正功還是做負功？做多少功？討論木板討論木板A和小木塊和小木塊B在整個運動過程在整個運動過程 中，是否有可能在某段時間里相對地面運動方向是向左的？如果不可能，說明理由；中，是否有可能在某段時間里相對地面運動方向是向左的？如果不可能，說明理由； 如果可能，求出能向左滑動，又能保證木板如果可能，求出能向左滑動，又能保證木板A和小木塊和小木塊B剛好不脫離的條件剛好不脫離的條件 2 0 3 , 160 v L g 這是典型的這是典型的“子彈打木塊子彈打木塊”模型：模型：A、B間相互作用著一間相互作用著一 對等大、反向的摩擦力對等大、反向的摩擦力Ff=Mg而系統(tǒng)不受外力，它的變化在而系統(tǒng)不受外

29、力，它的變化在 于過程中發(fā)生一系統(tǒng)內部瞬時的相互碰撞小木塊于過程中發(fā)生一系統(tǒng)內部瞬時的相互碰撞小木塊B與擋板碰與擋板碰 撞前、后及整個過程均遵從動量守恒規(guī)律；撞前、后及整個過程均遵從動量守恒規(guī)律；A、B兩者加速度兩者加速度 大小與質量成反比；碰撞前木塊大小與質量成反比；碰撞前木塊“追追”木板，碰撞后則成木木板，碰撞后則成木 板板“追追”木塊木塊 . L B A v0 系統(tǒng)運動v-t圖 t1 t1+ t2 v0 B A V L A B L 2 3 AB ggaa 由系統(tǒng)全過程動量守恒由系統(tǒng)全過程動量守恒 0 1.5MvMM V 0 2 5 Vv 續(xù)解續(xù)解 A V 由圖象求出由圖象求出B與擋板碰后

30、時間與擋板碰后時間t2: 2 222 115 223 AB Lttaatg 2 6 5 t L g 得得 查閱查閱 碰后板碰后板A的速度的速度VA: 2 2 3 A VVg t 0 2 v v-t圖圖 由動能定理由動能定理, ,摩擦力在碰后過程中對木板摩擦力在碰后過程中對木板A做的功做的功 2 2 0 0 12 1.5 254 f v WMv 2 0 27 400 Mv B能有向左運動的階段而又剛好不落下能有向左運動的階段而又剛好不落下A板應滿足兩個條件：板應滿足兩個條件： 一是B與擋板碰后B速度為負: 02 2 0 5 B Vvg t 一是一對摩擦力在2L的相對位移上做的功不大于系統(tǒng)動能的增

31、量，即 : 2 2 00 11 52 2 22 25 mglMvMv 2 0 3 20 v g L 22 00 23 1520 L vv gg 當當時時木塊 木塊B可在與擋板碰撞后的一段時間內相對可在與擋板碰撞后的一段時間內相對 地面向左運動并剛好相對靜止在板地面向左運動并剛好相對靜止在板A的左端的左端 推證兩光滑物體發(fā)生彈性碰撞時，接近速度與分離推證兩光滑物體發(fā)生彈性碰撞時，接近速度與分離 速度大小相等，方向遵守速度大小相等，方向遵守“光反射定律光反射定律”，即入射角等于反射角，即入射角等于反射角. 如圖如圖，設小球與平板均光滑，小球與平板發(fā)生完全彈性碰撞，設小球與平板均光滑，小球與平板發(fā)生

32、完全彈性碰撞， 木板質量為木板質量為M，小球質量為，小球質量為m，沿板的法向與切向建立坐標系，沿板的法向與切向建立坐標系， 設碰撞前，板的速度為設碰撞前，板的速度為V，球的速度為，球的速度為v，碰撞后，分別變?yōu)?，碰撞后，分別變?yōu)?Vv 和和 x y 0 V v 兩者發(fā)生完全彈性碰撞，系統(tǒng)同時滿足動量與動能守恒： xxxx MVmvMVmv 22222222 1111 2222 xyxyxyxy M VVm vvM VVm vv yyyy VVvv xxx x M VVm vv 22222222 xyxyxyxy M VVVVm vvvv 兩式相除兩式相除 xxxx VVvv xxxx vVvV

33、 球與木板的接近速度與分離速度大小相等球與木板的接近速度與分離速度大小相等 方向方向: tantan yyyy xxxx vVvV vVvV 彈弓效應彈弓效應 如圖，質量為如圖，質量為m的小球放在質量為的小球放在質量為M的大球頂上，從高的大球頂上，從高h處釋放，緊挨著處釋放，緊挨著 落下，撞擊地面后跳起所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直軸落下，撞擊地面后跳起所有的碰撞都是完全彈性碰撞，且都發(fā)生在豎直軸 上上小球彈起可能達到的最大高度？小球彈起可能達到的最大高度？如在碰撞后，物體如在碰撞后，物體M處于平衡，則質量處于平衡，則質量 之比應為多少？在此情況下，物體之比應為多少？在此情況下，物

34、體m升起的高度為多少？升起的高度為多少？ h 大球剛觸地時兩球速度v均為2vgh ， 大球與地完全彈性碰撞,速度變?yōu)?vgh 相對大球相對大球, ,小球以小球以2v速度向下接近大球速度向下接近大球,完完 全彈性碰撞后以全彈性碰撞后以2v速度向上速度向上與大球分離與大球分離! ! 小球與大球碰撞后對地速度變?yōu)?3 2Vgh 對小球對小球, ,由機械能守恒由機械能守恒 2 1 3 2 2 m mghmgH 9 m Hh Mm當當時時 若碰后大球處于平衡, 則2Mvmvmv 3:M m 2 1 2 2 2 mghmgH 由由4Hh 如圖所示，如圖所示，AB部分是一光滑水平面，部分是一光滑水平面，BC

35、部分是傾角為部分是傾角為（ 90 ）的光滑斜面（）的光滑斜面（90時為豎直面）一條伸直的、時為豎直面）一條伸直的、 長為長為l的勻質光滑的勻質光滑 柔軟細繩絕大部分與柔軟細繩絕大部分與棱垂直地靜止在棱垂直地靜止在AB面上，只是其右端有極小部分處在面上，只是其右端有極小部分處在BC面面 上，于是繩便開始沿上，于是繩便開始沿ABC下滑下滑. 取取90，試定性分析細繩能否一直貼著，試定性分析細繩能否一直貼著ABC 下滑直至繩左端到達下滑直至繩左端到達？事實上，對所給的角度范圍（事實上，對所給的角度范圍（90 ），）， 細繩左細繩左 端到端到棱尚有一定距離時，細繩便會出現(xiàn)脫離棱尚有一定距離時，細繩便會

36、出現(xiàn)脫離ABC約束（即不全部緊貼約束（即不全部緊貼ABC）的）的 現(xiàn)象試求該距離現(xiàn)象試求該距離x A B C 9090 x 1 T lxxxx Fmgmg llll 細繩貼著細繩貼著ABC下滑，到達下滑，到達B處的繩元水平速度處的繩元水平速度 越來越大，這需要有更大的向左的力使繩元的水越來越大，這需要有更大的向左的力使繩元的水 平動量減為零，但事實上尚在水平面上的繩段對平動量減為零，但事實上尚在水平面上的繩段對 到達到達B處的繩元向左的拉力由力的加速度分配法處的繩元向左的拉力由力的加速度分配法 可知隨著下落段可知隨著下落段x增大增大,FT先增大后減小先增大后減小! 細繩做不到一直貼著細繩做不到

37、一直貼著ABC下滑直至繩左端到達下滑直至繩左端到達B C 當當時時, , 24 Tm lmg xF 續(xù)解續(xù)解 A B C 設有設有x長的一段繩滑至斜面時繩與棱長的一段繩滑至斜面時繩與棱B B間恰無作用，此時繩的間恰無作用，此時繩的 速度設為速度設為v，則由機械能守恒：，則由機械能守恒： x v v FT mg FT 2 1 sin 22 xx mgmv l sing x l v 考察處在B處的微元繩段m受力: coscos1 TT vt FFtmv l 微元段微元段 m在水平沖量作用下水平動量由在水平沖量作用下水平動量由 mv變?yōu)樽優(yōu)?mvcos sin T lxx Fmg ll 由動量定理

38、其中 2 x l 即細繩左端到即細繩左端到B棱尚有一半繩長的距離時，細棱尚有一半繩長的距離時，細 繩便會出現(xiàn)不全部緊貼繩便會出現(xiàn)不全部緊貼ABC的現(xiàn)象的現(xiàn)象 ! 質量為質量為0.1 kg的皮球，從某一高度自由下落到水平地板上，皮的皮球，從某一高度自由下落到水平地板上，皮 球與地板碰一次，上升的高度總等于前一次的球與地板碰一次，上升的高度總等于前一次的0.64倍如果某一次皮球上升最大倍如果某一次皮球上升最大 高度為高度為1.25 m時拍一下皮球，給它一個豎直向下的沖力，作用時間為時拍一下皮球，給它一個豎直向下的沖力，作用時間為0.1 s， 使皮使皮 球與地板碰后跳回前一次高度求這個沖力多大？球與

39、地板碰后跳回前一次高度求這個沖力多大？ 球與地碰撞恢復系數球與地碰撞恢復系數 0.64 0.8 1 e 某一次，皮球獲得的初動能某一次，皮球獲得的初動能 2 2 k Ft E m 落地時速度由落地時速度由 22 2 112 1 2 22 FtFt mvmghvgh mm 起跳時速度起跳時速度 2 2vgh 則則 2 2 2 2 gh e Ft gh m 代入數據得代入數據得 22 2 5 0.8 0.1 25 0.1 F N N3.75F 一袋面粉沿著與水平面傾斜成角度一袋面粉沿著與水平面傾斜成角度60的光滑斜的光滑斜 板上，從高板上，從高H處無初速度地滑下來，落到水平地板上袋與地板之間處無初

40、速度地滑下來，落到水平地板上袋與地板之間 的動摩擦因數的動摩擦因數0. 7，試問袋停在何處？如果，試問袋停在何處？如果H2 m,45， =0.5，袋又將停在何處？，袋又將停在何處？ 本題要特別關注從斜板到水平地板的拐點，袋的本題要特別關注從斜板到水平地板的拐點，袋的 動量的變化及其所受的摩擦力與支持力沖量情況動量的變化及其所受的摩擦力與支持力沖量情況 在在=0.7 = 60情況下情況下 p cos60 x pp sin60 y pp 60 2pmgH 到水平板時兩個方向動量減為零所需沖量可由動量定理確定： f xx N yy F tp F tp cos60 sin60 x y tp t p 3

41、 0.7 3 1 豎直分量先減為零! 續(xù)解續(xù)解 豎直分量減為豎直分量減為0 0時時, ,水平動量設為水平動量設為px,則由動量定理則由動量定理 yxx ppp 2sin452cos45 x mgHmgHp 2 x H p mg 袋將離開斜板底端，在水平地板滑行袋將離開斜板底端，在水平地板滑行S后停止，由動能定理后停止，由動能定理 2 28 x pmgH mgS m m m0.5 4 H S 得得 袋將停在水平地板上距斜板底端袋將停在水平地板上距斜板底端0.5m處處 一球自高度為一球自高度為h的塔頂自由下落，同時，另一完全相的塔頂自由下落，同時，另一完全相 同的球以速度同的球以速度 自塔底豎直上

42、拋，并與下落的球發(fā)生正碰自塔底豎直上拋，并與下落的球發(fā)生正碰 若兩球碰撞的恢復系數為若兩球碰撞的恢復系數為e，求下落的球將回躍到距塔頂多高處？，求下落的球將回躍到距塔頂多高處？ 2vgh 兩球相對速度（亦即接近速度）兩球相對速度（亦即接近速度） 2gh 到兩球相遇歷時 2 h t gh 此時兩球速率相同此時兩球速率相同 12 2 gh vv上球下落了上球下落了 2 1 1 2 hgt 4 h 21 21 vv e vv 由牛頓碰撞定律由牛頓碰撞定律 碰后兩球分離速度碰后兩球分離速度 21 2vvegh 兩球完全相同兩球完全相同 21 2 gh vve 設回跳高度距塔頂H,由機械能守恒 2 2

43、24 ghh egH 2 1 4 H h e 如圖所示，定滑輪兩邊分別懸掛質量是如圖所示，定滑輪兩邊分別懸掛質量是2m和和m的重物的重物A和和B， 從靜止開始運動從靜止開始運動3秒后，秒后，A將觸地將觸地(無反跳無反跳)試求從試求從A第一次觸地后：第一次觸地后：經過多少時經過多少時 間，間，A將第二次觸地？將第二次觸地？經過多少時間系統(tǒng)停止運動？經過多少時間系統(tǒng)停止運動？ 整個系統(tǒng)一起運動時整個系統(tǒng)一起運動時 33 2mgmg a g m 初時質量為初時質量為2m的物塊的物塊A離地高度離地高度 m m 2 1 32 15 1 ht g A A著地后，繩松，著地后，繩松，B B以初速度以初速度

44、v1=at1=10m/s豎直上拋豎直上拋 經經 s s 1 22 v g 落回原處并將繩拉緊落回原處并將繩拉緊! ! 此瞬時此瞬時A、B相互作用，相互作用，B被拉離地面，由動量守恒被拉離地面，由動量守恒 2m 11 122 3 33 vat mvmvv 此后，兩者以此后，兩者以v2為初速度、為初速度、a=g/3做勻變速運動（先反時針勻減做勻變速運動（先反時針勻減 速、后順時針勻加速），回到初位置即速、后順時針勻加速），回到初位置即A第二次觸地須經時間第二次觸地須經時間 m s s 21 222 3/3 vv t ag 則則A的第一、二次著地總共相隔的第一、二次著地總共相隔 111 224 vv

45、v ggg s s4 續(xù)解續(xù)解 第二次著地時兩物塊的速度第二次著地時兩物塊的速度 1 22 3 v vv A A再次被拉離地面時兩物塊的速度由再次被拉離地面時兩物塊的速度由 A A著地后，繩松，著地后，繩松，B B以初速度以初速度 v1/3豎直上拋豎直上拋, ,經 經 1 2 3 v g 落回原處落回原處 并將繩拉緊并將繩拉緊! ! 11 332 3 33 vv mmvv 此后，兩者以此后，兩者以v3為初速度、為初速度、a=g/3做勻變速運動（先反時針勻減做勻變速運動（先反時針勻減 速、后順時針勻加速），速、后順時針勻加速），A第三次觸地須經時間第三次觸地須經時間 311 2 222 3/33

46、 vvv t agg 則則A的第二、三次著地總共相隔的第二、三次著地總共相隔 111 2 3 224 333 vvv ggg 以此類推，到第n次著地時 1 2 4lim 3n n v T g 2 1 1 3 4lim 1 1 3 n n s s6 自開始運動到最終停止共用 s s 0 9Tt 查閱查閱 如圖所示，質量為如圖所示，質量為m1、m2的物體，通過輕繩掛在雙斜面的兩的物體，通過輕繩掛在雙斜面的兩 端斜面的質量為端斜面的質量為m，與水平面的夾角為，與水平面的夾角為1和和2，整個系統(tǒng)起初靜止，求放開后斜，整個系統(tǒng)起初靜止，求放開后斜 面的加速度和物體的加速度斜面保持靜止的條件是什么？忽略所

47、有摩擦面的加速度和物體的加速度斜面保持靜止的條件是什么？忽略所有摩擦 m1 m 1 2 m2 設斜面加速度為a，而物體對斜面的加速度為a0 a a0 a2 a0 a1 X a 在所設坐標方向上在所設坐標方向上 a 101202 0coscosmaamaama 由系統(tǒng)水平方向動量守恒 對m1、m2分別列出動力學方程 m1a T m1g N1 m2a T m2g N2 11111 0 sincosT mgmama a 由上三式解得 11221122 2 11221212 coscossinsin coscos mmmmg mmmmm mm 續(xù)解續(xù)解 22222 0 sincosm gT mama

48、121122 02 11221212 sinsin coscos mmmmmg a mmmmmmm 而而 22 1122121122121122 1 2 11221 1 122 sinsincoscos2coscoscos coscos mmmmmmmmmm mm g mmmmm m a m 22 11221211221211222 2 11221 2 122 sinsincoscos2coscoscos coscos mmmmmmmmmm mm g mmmmm m a m 當a=0，即 1122 sinsin0mm 斜面靜止！斜面靜止！ 時時 12 21 sin sin m m 查閱查閱 小

49、滑塊小滑塊A A位于光滑的水平桌面上，位于光滑的水平桌面上，小滑塊小滑塊B處在位于桌面上的處在位于桌面上的 光滑小槽中，兩滑塊的質量都是光滑小槽中，兩滑塊的質量都是m，并用長，并用長L、不可伸長、無彈性的輕繩相連，如、不可伸長、無彈性的輕繩相連，如 圖開始時圖開始時A、B間的距離為間的距離為L/2，A、B間連線與小槽垂直今給滑塊間連線與小槽垂直今給滑塊A一沖擊，使一沖擊，使 其獲得平行于槽的速度其獲得平行于槽的速度v0，求滑塊，求滑塊B開始運動時的速度開始運動時的速度 v0 B A 當輕繩剛拉直時滑塊當輕繩剛拉直時滑塊A速度由速度由v0 變?yōu)樽優(yōu)関A，速度增量沿繩方向，速度增量沿繩方向， 滑塊

50、滑塊B速度設為速度設為vB，沿槽；各，沿槽；各 速度矢量間關系如圖速度矢量間關系如圖, 其中其中vn表表 示示A對對B的轉動速度的轉動速度 vn vA vB v A B vB沿槽方向系統(tǒng)動量守恒： 0 cos BA mvmvmv 又由圖示矢量幾何關系有 ： 30 30 0 sin 30sin30 A vv v0 sin60sin 60 AB vv 0 0 3 tan 3 B B vv vv 0 cos3tan A v v 0 0 13tan B v vv 0 3 7 B vv 0 0 0 3 1 3 B B B v v vv vv 00 0 3 4 B B vvv v v 如圖所示，將一邊長為

51、如圖所示，將一邊長為l、質量為、質量為M的正方形平板放在勁度系數的正方形平板放在勁度系數 為為k的輕彈簧上，另有一質量為的輕彈簧上，另有一質量為m（mM）的小球放在一光滑桌面上，桌面離平）的小球放在一光滑桌面上，桌面離平 板的高度為板的高度為h如果將小球以水平速度如果將小球以水平速度v0拋出桌面后恰與平板在中點拋出桌面后恰與平板在中點O處做完全彈處做完全彈 性碰撞，求性碰撞，求: 小球的水平初速度小球的水平初速度v0應是多大？應是多大？ 彈簧的最大壓縮量是多大？彈簧的最大壓縮量是多大？ M k v0 O m h 設球對板的入射速度設球對板的入射速度v方向與豎直成方向與豎直成， 大小即平拋運動末速度大小即平拋運動末速度 v2gh 2 cos gh v 平拋運動初速度平拋運動初速度 tan tan 24 l h 而而 0 2tanvgh 則則 0 2 4 l gh h v 根據彈性碰撞性質，設球與板碰后速度變?yōu)楦鶕椥耘鲎残再|，設球與板碰后速度變?yōu)関， 板速度為板速度為V ，球離開板時對板的速度大小為，球離開板時對板的速度大小為v， 方向遵守反射定律，矢量關系如圖示：方向遵守反射定律，矢量關系如圖示： v x v y v v V sin cos x y vv vvV 由圖示關系 由動能守恒 2222 111 222 xy mvm vvMV 22 2 111 sinc