第2章 隨機(jī)變量及其分布

1、2021-8-81 第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 2.1 隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及分布函數(shù) 2021-8-82 2.1.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 觀察以下隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果觀察以下隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果: 例例2.1 擲一枚色子考察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一枚色子考察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則則 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)之間試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)之間 的恒等映射為的恒等映射為: 6,.,2 , 1,)( iiX i 例例2.2 某廠出廠燈泡中抽取一只做壽命某廠出廠燈泡中抽取一只做壽命 試驗(yàn)試驗(yàn),記錄燈泡的壽命記錄燈泡的壽命,則則 0| 樣本點(diǎn)與數(shù)之間也有恒等映射樣本點(diǎn)與數(shù)之間也有恒等映射

2、)(X 2021-8-83 例例2.4 隨機(jī)從某人群中抽樣隨機(jī)從某人群中抽樣,觀察抽得的人觀察抽得的人 的性別的性別,此時(shí)此時(shí), 21 男，女男，女 我們可以建立樣本點(diǎn)與數(shù)之間的映射為我們可以建立樣本點(diǎn)與數(shù)之間的映射為: 0)()( 1)()( 2 1 女女 男男 XX XX 定義定義2.1 設(shè)設(shè) 是一試驗(yàn)的樣本空間是一試驗(yàn)的樣本空間,如果對(duì)如果對(duì) 于每一個(gè)樣本點(diǎn)于每一個(gè)樣本點(diǎn) ,規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù))( X 這樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)檫@樣就定義了一個(gè)定義域?yàn)?的實(shí)值函數(shù)的實(shí)值函數(shù) )( XX ,稱稱X為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量 注意注意:還有許多試驗(yàn)的結(jié)果本身不是實(shí)數(shù)還有許多試驗(yàn)的結(jié)果本身不是實(shí)

3、數(shù) 2021-8-84 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 常用常用X、 Y、Z 或或 、 、 等表示等表示 2021-8-85 隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別 (1)定義域是樣本空間定義域是樣本空間,樣本空間不一定樣本空間不一定 是實(shí)空間是實(shí)空間; (2)隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性;即試驗(yàn)即試驗(yàn) 之前之前,不知道樣本空間不知道樣本空間 中哪一個(gè)樣本點(diǎn)中哪一個(gè)樣本點(diǎn) 出現(xiàn)出現(xiàn),從而從而 )( X取何值不能確定取何值不能確定,而而 試驗(yàn)之后試驗(yàn)之后,)( X才確定取何值才確定取何值; (3)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率隨機(jī)變量的取值具有一定的概

4、率;例如例如 6 1 )2)( XP在例在例2.1中中, 2021-8-86 利用隨機(jī)變量表示事件利用隨機(jī)變量表示事件 有了隨機(jī)變量的定義之后有了隨機(jī)變量的定義之后,我們可以用我們可以用隨機(jī)隨機(jī) 變量落入某個(gè)區(qū)域變量落入某個(gè)區(qū)域來(lái)表示隨機(jī)事件來(lái)表示隨機(jī)事件. 例如例如:用用“ 5 , 3 , 1 X ”表示打色子的時(shí)候表示打色子的時(shí)候 “出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”這一隨機(jī)事件；用這一隨機(jī)事件；用“ ”1 X 表示表示“打出的色子數(shù)等于打出的色子數(shù)等于1”這一隨機(jī)事件這一隨機(jī)事件. 一般情況下，我們可以用一般情況下，我們可以用)(|GX 表示隨機(jī)變量取值在表示隨機(jī)變量取值在G中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的中的樣本

5、點(diǎn)構(gòu)成的 事件，簡(jiǎn)記為事件，簡(jiǎn)記為)(GX 2021-8-87 2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義定義2.2 設(shè)設(shè)X是是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) xR，定義，定義 F(x)P(X x) 稱稱F(x) 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù). 注注 (1) 分布函數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)概率，即分布函數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)概率，即 事件事件|X() x的概率的概率P(X x) (2) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P(aX b) F( b)F(a) 2021-8-88 X012 P0.10.60.3 例例2.5 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的的 取值情況如右表，求

6、取值情況如右表，求X的的 分布函數(shù)分布函數(shù) 分布函數(shù)的求法分布函數(shù)的求法 ( )()F xP Xx 0,0 0.1,01 0.7,12 1,2 x x x x 因?yàn)榉植己瘮?shù)是定義在整個(gè)數(shù)軸上，所以因?yàn)榉植己瘮?shù)是定義在整個(gè)數(shù)軸上，所以 012 2021-8-89 可見(jiàn)可見(jiàn),此題中此題中,F(x)是一個(gè)階梯型函數(shù)是一個(gè)階梯型函數(shù) )(xF x0 1 12 2021-8-810 例例2.6 某射手向半徑為某射手向半徑為R的圓形靶射擊一次，假定的圓形靶射擊一次，假定 不會(huì)脫靶。彈著點(diǎn)落在以靶心為圓心，不會(huì)脫靶。彈著點(diǎn)落在以靶心為圓心，r 為為 半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正半徑的圓形區(qū)域的概率

7、與該區(qū)域的面積成正 比比,設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離表示彈著點(diǎn)與靶心的距離,求求 X的分布函數(shù)的分布函數(shù),并求概率并求概率 ) 4 3 4 ( R X R P R X 解解: 對(duì)任意的對(duì)任意的 2 )0( , 0 xkxXP Rx 2021-8-811 例例2.6 2 1 R k 2 )0(1RkRXP 由題意由題意, (1)0,( )()()0 xF xP XxP 當(dāng)當(dāng) 2 2 2 2 )0()0( )()(,0)2( R x R x xXPXP xXPxFRx 當(dāng)當(dāng) 1)()(,)3( xXPxFRx當(dāng)當(dāng) 2021-8-812 例例2.6 2 1 ) 4 () 4 3 (

8、 1 ) 4 () 4 3 () 4 3 4 ( 22 2 RR R R XP R XP R X R P F(x) x F(x)是一個(gè)是一個(gè) 單調(diào)不減的單調(diào)不減的 函數(shù)函數(shù) 2021-8-813 定理定理2.1 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) 1)單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若：若x12)與分布與分布 函數(shù)函數(shù). 解解: X p 1 10 7 2 9 7 10 3 3 120 7 4 120 1 P(X2)=P(X=3)+P(X=4)=1/15 2021-8-820 例例2.7 120 1 4 120 7 3 30 7 2 10 7 1 X 由題意由題意: , 1 ,120/730/710/7 ,30

9、/710/7 ,10/7 , 0 )(xF 1 x 21 x 32 x 43 x x 4 2021-8-821 解解: :設(shè)設(shè)Ai表示第表示第i個(gè)零件不合格個(gè)零件不合格, ,它們之間它們之間 互相獨(dú)立互相獨(dú)立. . 用一臺(tái)機(jī)器獨(dú)立地制造用一臺(tái)機(jī)器獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件個(gè)同種零件, ,第第i個(gè)個(gè) 零件不合格的概率為零件不合格的概率為1/(i+1), i=1,2,3. .以以X表表 示三個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)，求示三個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)，求X的分的分 布律與分布函數(shù)布律與分布函數(shù). . )()0( 321 AAAPXP 3 1 4 1 ) 4 1 1)( 3 1 1)( 2 1 1()( i i

10、 AP 例例 2021-8-822 )()()()1( 321321321 AAAPAAAPAAAPXP 24 11 4 1 3 2 2 1 4 3 3 1 2 1 4 3 3 2 2 1 )()()()2( 321321321 AAAPAAAPAAAPXP 4 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 2 2 1 4 3 3 1 2 1 24 1 4 1 3 1 2 1 )()3( 321 AAAPXP 2021-8-823 X 24 1 4 1 24 11 4 1 3210 , 1 ,24/23 ,24/17 , 4/1 , 0 )(xF 0 x 10 x 21 x x 3 32 x 202

11、1-8-824 2.2.2 常見(jiàn)的離散型分布常見(jiàn)的離散型分布 (1) 幾何分布幾何分布 定義定義2.4 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X取值為取值為1,2,且且 ,.2 , 1,)( 1 kpqkXpp k k 其中其中,1, 10pqp 則稱則稱X服從參數(shù)服從參數(shù) 為為p的的幾何分布幾何分布,記為記為 )(pGX 可見(jiàn)可見(jiàn),若一個(gè)隨機(jī)變量若一個(gè)隨機(jī)變量X表示重復(fù)的貝努利表示重復(fù)的貝努利 試驗(yàn)中試驗(yàn)中,首次成功出現(xiàn)所需的試驗(yàn)次數(shù)首次成功出現(xiàn)所需的試驗(yàn)次數(shù),則則 )(pGX 2021-8-825 (2) 超幾何分布超幾何分布 定義定義2.5 設(shè)設(shè)N,n,m為正整數(shù)為正整數(shù),若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的分布

12、律為的分布律為 nk C CC kXPp n N kn mN k m k ,.,1 , 0,)( 則稱則稱X服從服從超幾何分布超幾何分布,記為記為),(NmnHX 古典概型中古典概型中,不放回摸球試驗(yàn)不放回摸球試驗(yàn),N個(gè)球個(gè)球,其中有其中有 m 個(gè)紅球個(gè)紅球,隨機(jī)從隨機(jī)從N個(gè)球中取個(gè)球中取n個(gè)個(gè),取到紅球取到紅球 的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為X,則則 ),(NmnHX 2021-8-826 (3) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布，記，記 為為XB(n,p) 定義定義2.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為0,1， 2,n ，且且 nkqpCkXP

13、knkk n , 1 , 0,)( 特別地特別地,當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布時(shí)，二項(xiàng)分布XB(1,p)， 即為即為(0-1)分布分布. pp X 1 10 2021-8-827 某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率 為為0.02，射擊，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次，求至少擊中目標(biāo)兩 次的概率次的概率. . 解解 每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次 數(shù)為數(shù)為X，則則 XB(400, ,0.02) X的分布律為的分布律為 400, 2 , 1 , 0,98. 002. 0)( 400 400 kCkXP kkk 例例 2021-8-828

14、所求概率為所求概率為 )400() 3() 2() 2( XPXPXPXP )1()0(1 XPXP 997. 0 98. 002. 040098. 01 399400 2021-8-829 二項(xiàng)分布的最有可能次數(shù)二項(xiàng)分布的最有可能次數(shù) pq kq kpn kXP kXP 1 1 1 ) 1( )( 若若XB(n,p)，則，則 可見(jiàn)可見(jiàn),pk是先是隨著是先是隨著 k 的增大而增大，達(dá)的增大而增大，達(dá) 到其最大值后再隨著到其最大值后再隨著k 的增大而減少的增大而減少. 記二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)為記二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)為k 0 otherspn Npnpnpn k ,) 1( ) 1(1) 1()

15、1( 0 ，和和 2021-8-830 (4) 泊松泊松(Poisson)分布分布 )0(, 2 , 1 , 0, ! )( ke k kXP k 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布， X P( ). 定義定義2.7 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X可能的取值為可能的取值為0,1, 2,且且 可證：二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布可證：二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布 定理定理2.2(泊松定理泊松定理) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 , ! )1(lim e k ppC k kn n k n k n n ),( nn pnBX 且滿足且滿足 n np則則 2021-8-831 證：二項(xiàng)分布以泊松分

16、布為極限分布證：二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布 左左= knk nn knnn k )1()(1).(1( ! 1 k n k k n n n knnn k )1( )1( )1).(1( ! e n n n )1(lim 1 1 得證得證 2021-8-832 P(X 2)=1 P(X0)P(X1) =1(18)e 8 0.996981 上例上例 可用泊松定理計(jì)算可用泊松定理計(jì)算 取取 =np=4000.028, 故近似地有故近似地有 2021-8-833 例例2.12 某網(wǎng)吧有某網(wǎng)吧有300臺(tái)電腦臺(tái)電腦,每臺(tái)電腦的上網(wǎng)人因每臺(tái)電腦的上網(wǎng)人因 各種原因需要網(wǎng)管幫助的概率為各種原因需要網(wǎng)管幫助的

17、概率為0.01,現(xiàn)在現(xiàn)在 有兩種方式配備網(wǎng)管有兩種方式配備網(wǎng)管: A:配備配備10名網(wǎng)管名網(wǎng)管,每人負(fù)責(zé)每人負(fù)責(zé)30臺(tái)電腦臺(tái)電腦; B:配備配備8名網(wǎng)管名網(wǎng)管,共同負(fù)責(zé)共同負(fù)責(zé)300臺(tái)電腦臺(tái)電腦; (1) 證明證明:方式方式B比方式比方式A效果好效果好; (2) 若只需要方式若只需要方式B下有上網(wǎng)人得不到及時(shí)下有上網(wǎng)人得不到及時(shí) 幫助的概率小于幫助的概率小于0.02,則則8名網(wǎng)管可減少至名網(wǎng)管可減少至 幾名幾名? ? 2021-8-834 例例2.12 證明證明:設(shè)設(shè) 分別為兩種方式下有人得分別為兩種方式下有人得 不到幫助的概率不到幫助的概率,則只需證則只需證 21 , pp 21 pp X為

18、方式為方式A下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的30臺(tái)電腦中臺(tái)電腦中 任意時(shí)刻需要幫助的人數(shù)任意時(shí)刻需要幫助的人數(shù), )01. 0 ,30( BX 設(shè)設(shè)Ai為方式為方式A下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的下一名網(wǎng)管負(fù)責(zé)的30臺(tái)電腦臺(tái)電腦 中有人得不到及時(shí)幫助中有人得不到及時(shí)幫助,i=1,2,10 0361. 0)1()0(1 )2()( XPXP XPAP i 2021-8-835 例例2.12 注意注意 1021 ,.,AAA相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是于是 11210 1210 1210 (.) 1(.) 1P() P()P() 0.3077 pP AAA P AAA AAA 2021-8-836 例例2.12 Y為

19、方式為方式B下下300臺(tái)電腦中任一時(shí)刻需要幫臺(tái)電腦中任一時(shí)刻需要幫 助的人數(shù)助的人數(shù), )01. 0 ,300( BY 由于由于np=3,近似地有近似地有)3( PY于是于是,查泊松查泊松 分布表分布表,有有 0038. 0)9()8( 2 YPYPp (2)設(shè)設(shè)N為使得為使得 02. 0)1()( NYPNYP 的最小的的最小的N,查泊松分布表查泊松分布表,得得N+1=8 2021-8-837 某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，某商店出售某種商品，具歷史記錄分析， 每月銷售量服從參數(shù)每月銷售量服從參數(shù) =5的泊松分布。問(wèn)的泊松分布。問(wèn) 在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫(kù)存多少件此種商品，在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫(kù)

20、存多少件此種商品， 才能以才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？的概率充分滿足顧客的需要？ 解解 用用X表示每月銷量，則表示每月銷量，則XP( )= P(5)。 由題意，要求由題意，要求k，使得使得P(Xk)0.999，即即 999. 0)1(1 )(1)( kXP kXPkXP 思考題思考題 2021-8-838 001.0999.01)1( kXP 這里的計(jì)算通過(guò)查這里的計(jì)算通過(guò)查Poisson分布表得到分布表得到, , =5 001.0000698.0)14( XP 001. 0002019. 0)13( XP k+1=14時(shí)時(shí), , k+1=13時(shí)時(shí), 所以所以，k=13，即月初進(jìn)

21、貨庫(kù)存要即月初進(jìn)貨庫(kù)存要13件件. . 2021-8-839 對(duì)離散型隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí)對(duì)離散型隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí) (1) 離散型隨機(jī)變量是通過(guò)離散型隨機(jī)變量是通過(guò)“分布律分布律”來(lái)來(lái) 刻畫的；刻畫的； (2) 分布律包括兩點(diǎn)分布律包括兩點(diǎn):一是隨機(jī)變量的取值一是隨機(jī)變量的取值 二是隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)的概率二是隨機(jī)變量取值對(duì)應(yīng)的概率; (3) 若已知分布律若已知分布律: A.可求隨機(jī)變量落入任意區(qū)域的概率可求隨機(jī)變量落入任意區(qū)域的概率; B.可求隨機(jī)變量的分布函數(shù)可求隨機(jī)變量的分布函數(shù); 2021-8-840 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 定義定義2.8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布

22、函數(shù)為F(x), 若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x)，使得，使得 ( )( ), x F xf t dtxR 則稱則稱X為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量, 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，記為簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，記為 f(x) 為為X 的的 X f (x) 2021-8-841 x f(x) ( )( ) x F xf t dt 密度函數(shù)本身并不表示概率密度函數(shù)本身并不表示概率,對(duì)密度函數(shù)對(duì)密度函數(shù) 的積分才是概率的積分才是概率.也就是說(shuō)也就是說(shuō),密度函數(shù)圖密度函數(shù)圖 象下的面積才表示概率象下的面積才表示概率 密度函數(shù)的意義密度函數(shù)的意義 2021-8-842 x2 f(x) 密

23、度函數(shù)的意義密度函數(shù)的意義 x1 問(wèn)問(wèn):f(x1)f(x2)意味著什么呢意味著什么呢? 答答: f(x1)x f(x2)x,表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量 X落入落入x1附近的可能性要比落入附近的可能性要比落入x2附近附近 的可能性大的可能性大. 2021-8-843 密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì) ; 0)( xf ( )1f x dx ()() b a P aXbfx dx 定理定理2.3 X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量,F(x)和和f(x) 分別為分別為X的分布函數(shù)與密度函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù),則則 (1) 對(duì)任意對(duì)任意a,b(ab),有有 (1) 非負(fù)性非負(fù)性： (2) 歸一性歸一性：

24、這兩個(gè)性質(zhì)這兩個(gè)性質(zhì) 也是密度函也是密度函 數(shù)的特征數(shù)的特征 2021-8-844 密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì) (2) F(x)是連續(xù)函數(shù)且在是連續(xù)函數(shù)且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有的連續(xù)點(diǎn)，有 ( )( )Fxf x 連續(xù)型隨機(jī)變量取單個(gè)值的概率為零連續(xù)型隨機(jī)變量取單個(gè)值的概率為零 (3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)c，有有P(X=c)0 因此，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量因此，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，有，有 )()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP b a dxxfaFbF)()()( 2021-8-845 例例2.13 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的密度為的密度為 其它, 0 31 , )( xbax xf

25、 且且P(2X3)=2P(1X0 函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)： (3)(3)如果如果n n為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則 2021-8-860 定義定義2.12 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 分布分布 1 0 00 x xex fx x 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的分布分布., ( )e 注注意意， =1=1時(shí)時(shí)， 分分布布為為指指數(shù)數(shù)分分布布 記為記為 X(,) 2021-8-861 例例2.15 某廠生產(chǎn)的元件其壽命某廠生產(chǎn)的元件其壽命 1 (2,) 2 X 1) 隨機(jī)取一個(gè)元件隨機(jī)取一個(gè)元件,求該元件壽命大于求該元件壽命大于4 萬(wàn)小時(shí)的概率萬(wàn)小時(shí)的概率;

26、2) 隨機(jī)取隨機(jī)取10個(gè)元件個(gè)元件,求至少有求至少有1個(gè)元件壽個(gè)元件壽 命大于命大于4萬(wàn)小時(shí)的概率萬(wàn)小時(shí)的概率; 解解:由題意由題意,X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為: 2 1 ,0 4 x fxx ex 2021-8-862 4 1) (4)P Xfx dx 例例2.15 10 (1)1(0)10.594P YP Y 2) 設(shè)設(shè)Y表示表示10只元件中壽命大于只元件中壽命大于4的只數(shù)的只數(shù), 則則YB(10,0.406) 2 1 ,0 4 x fxx ex 已知已知: 求求分部積分分部積分 2 2 4 1 () ()30.406 2 x x d ee | bb b a aa udvuvvdu 202

27、1-8-863 2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例例2.16 X有概率分布有概率分布 1012 0.20.30.30.2 X 3 2 1 , 2 X YXZ 求求Y,Z的概率分布的概率分布. 解解: Y的取值為的取值為0,1,4,分別求分別求Y取這些值取這些值 的概率的概率: P(Y=0)=P(X=0)=0.3 P(Y=1)=P(X=-1 或或 X= 1)=0.5 2021-8-864 P(Y=4)=P(X=2)=0.2 從而從而 014 0.30.50.2 Y 類似地類似地,可得可得 00.514.5 0.20.30.30.2 Z 2021-8-865 例例2.17 設(shè)隨機(jī)變量

28、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 2 ,01 ( ) 0, X xx fx 其其它它 Y=-2lnX,求求Y的密度函數(shù)的密度函數(shù). 解解: 當(dāng)當(dāng)X取值在取值在(0,1)內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí),Y的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?(0,) Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: ( )()( 2ln) Y FyP YyPXy 2 ( )() y Y FyP Xe 2021-8-866 2 ,01 ( ) 0, X xx fx 其其它它 2 ( )() y Y FyP Xe 2 1 (0)21 y y e yxdxe 當(dāng)當(dāng) 2 (0)00 y e ydx 當(dāng)當(dāng) 例例2.17 2021-8-867 1,0 ( ) 0,0 y Y ey

29、 Fy y ( ),0 ( ) 0,0 y Y Y Fyey fy y 例例2.17 連續(xù)型連續(xù)型情形下情形下,求密度函數(shù)的一般方法求密度函數(shù)的一般方法: 2021-8-868 ( ) ( ),(), ( ) ( ), ( )()( () ( )( ) ( )( )( ) ( )0 Y G y YY Y Xf x Yg X YR Y yR YY FyP YyP g Xy P XG yf x dx FyfyyR Y yR Yfy 已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量 有有密密度度函函數(shù)數(shù)則則 (1) (1) 確確定定 的的值值域域 (2) (2) 對(duì)對(duì)任任意意 求求出出 的的分分布布函函數(shù)數(shù) (3) (3)

30、 對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)，可可得得， (4) (4) 對(duì)對(duì)) )時(shí)時(shí)，取取 一般方法一般方法 2021-8-869 例例2.19 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 1 |,20 ( )4 ,01 X xx fx xx Y=X2,求求Y的密度函數(shù)的密度函數(shù). 解解: 易得易得 R(Y)=0,4,4 , 0 y 有有 )()()( 2 yXyPyXPyF Y 注意注意X的密度函數(shù)定義在兩個(gè)不同區(qū)間上的密度函數(shù)定義在兩個(gè)不同區(qū)間上 2021-8-870 例例2.19 1 |,20 ( )4 ,01 X xx fx xx 01,( )( ) y YX y yFyfx dx 0 0 15 () 48 y y x dxxdxy ( )() Y F yPyXy 1 14,( )( ) YX y yFyfx dx 01 0 111 () 482 y x dxxdxy 2021-8-871 例例2.19 5 ,01 8 1 ,14 ( )( ) 8 0,其它 YY y y fyFy 2021-8-872 典型題分析典型題分析 例例1 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 1 1 Yg X 試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量Y的分布律的分布律. 若若X為奇數(shù)為奇數(shù) 若若X為偶數(shù)為偶數(shù) 2021-8-873 解：解： 為奇數(shù)n nXPYP)()1( 0 )12( k kXP