用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

1、2021/3/111 專題復(fù)習(xí)專題復(fù)習(xí) 2021/3/112 復(fù)習(xí)目標(biāo)：復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并記住二次函數(shù)解析式的三理解并記住二次函數(shù)解析式的三 種形式種形式: 一般式，頂點(diǎn)式，兩根式一般式，頂點(diǎn)式，兩根式 2.靈活應(yīng)用二次函數(shù)的三種形式靈活應(yīng)用二次函數(shù)的三種形式, 以以 便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解便在用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解 析式時(shí)減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)析式時(shí)減少未知數(shù)的個(gè)數(shù), 簡化運(yùn)算簡化運(yùn)算 過程過程. 2021/3/113 待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式 一般步驟是：一般步驟是： （1）寫出函數(shù)解析式的一般式，其中）寫出函數(shù)解析式的一般式，其中 包括未知的系數(shù)；包括未

2、知的系數(shù)； （2）把自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入函）把自變量與函數(shù)的對應(yīng)值代入函 數(shù)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方數(shù)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方 程或方程組。程或方程組。 （3）解方程（組）求出待定系數(shù)的值，）解方程（組）求出待定系數(shù)的值， 從而寫出函數(shù)解析式。從而寫出函數(shù)解析式。 2021/3/114 一、方法：一、方法： 1. 一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0) 已知圖象上三點(diǎn)坐標(biāo)已知圖象上三點(diǎn)坐標(biāo), 特別是特別是 已知函數(shù)圖象與已知函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo) (0, c)時(shí)時(shí), 使用一般式很方便使用一般式很方便. 例例1.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過 A(

3、2,-4), B(0,2), C(-1,2)三點(diǎn)三點(diǎn), 求此求此 函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式. 2021/3/115 解解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c 圖象過圖象過B(0,2) c=2 y=ax 2+bx+2 圖象過圖象過A(2,-4),C(-1,2)兩點(diǎn)兩點(diǎn) -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1,b=-1 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為： y=-x2-x+2 2021/3/116 2. 頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 y=a(x-h)2+k (a0)已知對稱軸已知對稱軸 方程方程x=h、最值、最值k或頂點(diǎn)坐標(biāo)或頂點(diǎn)坐標(biāo)(h, k) 時(shí)優(yōu)先選用頂點(diǎn)式。時(shí)優(yōu)先選用

4、頂點(diǎn)式。 例例2. 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 點(diǎn)點(diǎn)(4,-3), 并且當(dāng)并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值時(shí)有最大值4, 試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式試確定這個(gè)二次函數(shù)的解析式. 2021/3/117 2021/3/118 3.交點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道拋物線與知道拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐 標(biāo)標(biāo),或一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)及對稱軸方程或頂或一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)及對稱軸方程或頂 點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)選用兩根式比較簡便點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)選用兩根式比較簡便. 若拋物線與若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為x1、x2， ，那么對稱軸方 那么對稱軸

5、方 程為：程為： x=(x1+x2)/2 2021/3/119 若拋物線與若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為x1、x2， ，那么對稱軸方 那么對稱軸方 程為：程為： x=(x1+x2)/2 2021/3/1110 例例3. 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的的 圖象過點(diǎn)圖象過點(diǎn)A(0,-5), B(5,0)兩點(diǎn)兩點(diǎn), 它的對稱軸為直線它的對稱軸為直線x=3, 求這求這 個(gè)二次函數(shù)的解析式個(gè)二次函數(shù)的解析式. 2021/3/1111 解解: 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B(5,0), 對稱軸為對稱軸為 直線直線x=3 設(shè)拋物線與設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交

6、點(diǎn)軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x1,0) 則對稱軸：則對稱軸： x=(x1+x2)/2 即：即： (5x1)/23 x1=1 c點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0) 設(shè)二次函數(shù)解析式為：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)(x-5) 圖象過圖象過A(0,-5) - 5=a(0-1)(0-5) 即即 - 5=5a, a= -1 y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5 2021/3/1112 （二）練習(xí)題（二）練習(xí)題 二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn) (1,4),(-1,0)和和(3,0)三點(diǎn)，三點(diǎn)， 求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式. 2021/3/1113 解法解法1：（：（一般

7、式一般式） 設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c 二次函數(shù)圖象過點(diǎn)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 -得：得： 2b=4 b=2 代入代入、得：得：a+c=2 9a+c=-6 - 得：得：8a=-8 , a= -1 代入代入 得：得：c=3 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為：y= -x2+2x+3 2021/3/1114 解法解法2:（頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式） 拋物線與拋物線與x軸相交兩點(diǎn)軸相交兩點(diǎn)(-1,0)和和(3,0) ， 1=(-1+3)/2 點(diǎn)點(diǎn)(1,4)為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn) 由題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：由題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2+4 拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -1 函數(shù)的解析式為：函數(shù)的解析式為： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3 2021/3/1115 解法解法3:（交點(diǎn)式交點(diǎn)式） 由題意可知兩根為由題意可知兩根為x1=-1、x2=3 設(shè)二次函數(shù)解析式為設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a