為何不是“一對多”_.doc

1、摘要 20 世紀(jì)初，在貝利和克萊因等數(shù)學(xué)家的大力倡導(dǎo)和推動(dòng)下，函數(shù)進(jìn)入了中學(xué)教材。函數(shù)概念是數(shù)學(xué)最重要的概念之一。從高中教材中一道例題出發(fā)，以對應(yīng)關(guān)系中“一對多”的情況為突破口，對函數(shù)概念進(jìn)行了再理解。關(guān)鍵詞函數(shù)；一對多；確定性“用函數(shù)來思考”是克萊因領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的口號(hào)，克萊因提出了一個(gè)重要的思想以函數(shù)概念和思想來統(tǒng)一數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容。在我國高中數(shù)學(xué)課程中，就把函數(shù)作為貫穿整個(gè)課程的主線。人教版高中數(shù)學(xué)教材從描述集合的概念人手，用集合語言引入函數(shù)概念，然后又進(jìn)一步介紹了映射的概念，并明確指出映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射。在映射部分的例題中，列舉了四對數(shù)集，每對數(shù)集之間用箭

2、頭表示元素問的對應(yīng)關(guān)系，要求判斷其中哪對數(shù)集之間是映射，哪對是函數(shù)關(guān)系。通過解答該題可以發(fā)現(xiàn)，元素間的對應(yīng)關(guān)系中， “一對一”和“多對一”的對應(yīng)關(guān)系既屬于映射，也是函數(shù)關(guān)系。而“一對多”的情況不屬于映射，更不是函數(shù)關(guān)系。那么，為什么“一對多” 的對應(yīng)關(guān)系就不屬于映射和函數(shù)關(guān)系呢?教材中并未作出明確的解釋。從函數(shù)的定義出發(fā)，教材中函數(shù)定義表述如下設(shè)集合A 是一個(gè)非空的數(shù)集，對 A 中的任意數(shù) x，按照確定的法則 f ，都有唯一確定的數(shù) y，與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合 A 上的一個(gè)函數(shù)。由定義可知，與 A 中的任意數(shù) x 對應(yīng)的數(shù) y，是唯一確定的，而對應(yīng)于y 的 x 的個(gè)數(shù)并沒有進(jìn)行限制，

3、所以數(shù)集中元素間“一對一”或“多對一”的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，而“一對多”的對應(yīng)關(guān)系不滿足函數(shù)關(guān)系所要求的y 的唯一確定性，所以不屬于函數(shù)關(guān)系。那么，為什么函數(shù)關(guān)系不包括“一對多”的對應(yīng)關(guān)系呢?這可以追溯到函數(shù)概念的起源，早期，數(shù)學(xué)不研究事物的運(yùn)動(dòng)變化。運(yùn)動(dòng)變化是物理學(xué)研究的對象，函數(shù)思想是隨著數(shù)學(xué)開始研究事物的運(yùn)動(dòng)變化出現(xiàn)的。隨著社會(huì)的發(fā)展， 人們逐漸發(fā)現(xiàn)， 一個(gè)或幾個(gè)量的變化， 會(huì)引起另一個(gè)量的變化，這種量與量之間的相互依賴關(guān)系，就是函數(shù)思想的萌芽。無論因變量受到幾個(gè)自變量的影響，因變量對于相應(yīng)的自變量都是唯一確定的。所以“多對一”的對應(yīng)關(guān)系是符合函數(shù)關(guān)系的，而“一對多”是不符合客觀實(shí)際的。

4、數(shù)學(xué)用函數(shù)來表述現(xiàn)實(shí)世界里的因果關(guān)系，函數(shù)中的自變量就相當(dāng)于原因，因變量相當(dāng)于結(jié)果， 那么，相同的自變量必然對應(yīng)相同的因變量，且因變量唯一，自變量和因變量處在不同的地位，自變量處于主動(dòng)地位， 而因變量處于依從地位，是因變量隨著自變量變化，而不是自變量隨著因變量變化。正是由于自變量對因變量的決定作用以及因變量對自變量的依從，人類才能利用函數(shù)準(zhǔn)確地把握現(xiàn)實(shí)世界，并且能在某種程度上預(yù)測未來?；氐阶畛跆岢龅膯栴}，“一對一”或“多對一”的對應(yīng)關(guān)系，我們都可以通過前面的“一”或“多”來推斷后面那唯“一”的結(jié)果，而“一對多”的對應(yīng)關(guān)系，我們從“一”個(gè)原因出發(fā)，得出的是不確定的“多”種結(jié)果狀態(tài)，這既不符合客觀

5、現(xiàn)實(shí)， 又不利于因果推導(dǎo)。 所以，“一對多”的對應(yīng)關(guān)系不屬于函數(shù)關(guān)系。綜上所述，簡單地把函數(shù)理解成確定性的對應(yīng)關(guān)系是不充分的，例如，一個(gè)班級(jí)里的每個(gè)同學(xué)期中考試的數(shù)學(xué)成績和物理成績也存在一一對應(yīng)的確定關(guān)系，但是數(shù)學(xué)成績和物理成績之間并不一定存在因果關(guān)系，它們之間有可能是相關(guān)關(guān)系，其相關(guān)程度可以通過統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)的處理得出的相關(guān)系數(shù)來表示。變量之間相隨變動(dòng)的數(shù)量關(guān)系，分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系兩類，前者表示變量之間數(shù)量上的確定性關(guān)系，即一個(gè)或一組變量在數(shù)量上的變化通過函數(shù)式可完全確定另一個(gè)變量在數(shù)量上的變化； 后者表示變量之間的相隨變動(dòng)的某種數(shù)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，一個(gè)變量只是大體上按照某種趨勢隨另一個(gè)或一組變量而變化。正是這種對確定性與必然性的不懈追求，使數(shù)學(xué)能更好地描述客觀世界不變的本質(zhì)規(guī)律，更好地服務(wù)于現(xiàn)實(shí)社會(huì)。以確定性為重要特征的函數(shù)，更是一個(gè)便捷有效的數(shù)學(xué)工具。我國學(xué)生從初中開始正式接觸函數(shù)概念，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)的學(xué)習(xí)一直處于主要地位，但學(xué)生大部分的精力都用在了解題