高二數學 排列的概念及簡單排列問題

1、1.2 排列與組合 1.2.1 排列 第1課時 排列的概念及簡單排列問題 五只小羊排成一行五只小羊排成一行 有多少種排法？有多少種排法？ 分類加法計數原理分類加法計數原理( (加法原理加法原理) 完成一件事有兩類不同方案，在第完成一件事有兩類不同方案，在第1 1類方案中有類方案中有m m種種 不同的方法，在第不同的方法，在第2 2類方案中有類方案中有n n種不同的方法，那么種不同的方法，那么 完成這件事共有：完成這件事共有： 種不同的方法種不同的方法N=m+n 分步乘法計數原理（乘法原理）分步乘法計數原理（乘法原理） 完成一件事需要分成兩個步驟，做第完成一件事需要分成兩個步驟，做第1 1步有步

2、有m m種不同種不同 的方法，做第的方法，做第2 2步有步有n n種不同的方法，那么完成這件種不同的方法，那么完成這件 事共有：事共有： 種不同的方法種不同的方法N=mn 分類加法計數原理與分類加法計數原理與“分類分類”有關，各種有關，各種 方法方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完相互獨立，用其中任何一種方法都可以完 成這件事；成這件事； 分步乘法計數原理與分步乘法計數原理與“分步分步”有關，各個有關，各個 步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件 事才算完成事才算完成 1.1.了解排列、排列數的定義了解排列、排列數的定義. .（重點）重點） 2.2

3、.能用能用“樹形圖樹形圖”寫出一個排列問題的所有寫出一個排列問題的所有 的排列的排列. .（難點）（難點） 3.3.通過實例分析過程體驗數學知識的形成和通過實例分析過程體驗數學知識的形成和 發(fā)展，總結數學規(guī)律，培養(yǎng)學習興趣發(fā)展，總結數學規(guī)律，培養(yǎng)學習興趣. . 問題問題1 1：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學中選出名同學中選出2 2名參加一項活名參加一項活 動，其中動，其中1 1名同學參加上午的活動，另名同學參加上午的活動，另1 1名同學參加名同學參加 下午的活動，有多少種不同的選法？下午的活動，有多少種不同的選法？ 分析：分析：把題目轉化為從甲、乙、丙把題目轉化為從甲、乙、丙3 3名同學

4、中選名同學中選2 2名，名， 按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的 順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 探究點探究點1 1 排列排列 上午上午下午下午 相應的排法相應的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 第一步：確定參加上午活動的同學即從第一步：確定參加上午活動的同學即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. . 第二步：確定參加下午活動的同學，有第二步：確定參加下午活動的同學，有2 2種方法種方法 根據分步計數原理：根據分步計數原理：3

5、32=6 2=6 即共即共6 6種方法種方法. . 把上面問題中被取的對象叫做把上面問題中被取的對象叫做元素元素, ,于是問于是問 題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3 3個不同的元素個不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2個，然后按照一個，然后按照一 定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ 所有不同的排列是所有不同的排列是 abab, ac, , ac, baba, , bcbc, ca, , ca, cbcb 共有共有3 32=62=6種種. . 1.1.排列：排列： 一般地，從一般地，從n n個不同元素中取出個不同元素中

6、取出m (m m (m n)n)個元素，個元素， 按照按照一定的順序一定的順序排成一列，叫做從排成一列，叫做從n n個不同元素中個不同元素中 取出取出m m個元素的一個個元素的一個排列排列. . 說明：說明： 1.1.元素不能重復元素不能重復.n.n個元素不能重復，個元素不能重復，m m個元素也不個元素也不 能重復能重復. . 2.“2.“按一定順序按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一就是與位置有關，這是判斷一 個問題是否是排列問題的關鍵個問題是否是排列問題的關鍵. . 3.3.兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完 全相同，而且元素的排列順序也

7、完全相同全相同，而且元素的排列順序也完全相同. . 4.m4.mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時的排列叫全排列時的排列叫全排列. . 5.5.為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏， 最好采用最好采用“樹形圖樹形圖”. . 問題問題2 2從從1,2,3,41,2,3,4這這 4 4 個數字中，每次取出個數字中，每次取出3 3個個 排成一個三位數，共可得到多少個不同的三位數？排成一個三位數，共可得到多少個不同的三位數？ 分析：分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定解決這個問題分三個步驟：第一步先確定 左邊的數，在左邊的數，在

8、4 4個數字中任取個數字中任取1 1個，有個，有4 4種方法；第種方法；第 二步確定中間的數，從余下的二步確定中間的數，從余下的3 3個數中取，有個數中取，有3 3種種 方法；第三步確定右邊的數，從余下的方法；第三步確定右邊的數，從余下的2 2個數中取，個數中取， 有有2 2種方法種方法 由分步乘法計數原理共有：由分步乘法計數原理共有：4 43 32=242=24種不種不 同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列，同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列， 由此可寫出所有的排法由此可寫出所有的排法. . 探究點探究點2 2 排列數排列數 顯然，從顯然，從 4 4 個數字中，每次取出個數字中，每

9、次取出 3 3 個，按個，按“百百” “十十”“”“個個”位的順序排成一列，就得到一個三位位的順序排成一列，就得到一個三位 數因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同數因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同 的三位數可以分三個步驟來解決這個問題：的三位數可以分三個步驟來解決這個問題： 第第 1 1 步，確定百位上的數字，在步，確定百位上的數字，在 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個數字中任取個數字中任取 1 1 個，有個，有 4 4 種方法；種方法； 第第 2 2 步，確定十位上的數字，當百位上的數字確定步，確定十位上的數字，當百位上的數字確定 后，十位

10、上的數字只能從余下的后，十位上的數字只能從余下的 3 3 個數字中個數字中 去取，有去取，有 3 3 種方法；種方法； 第第 3 3 步，確定個位上的數字，當百位、十位上的數步，確定個位上的數字，當百位、十位上的數 字確定后，個位的數字只能從余下的字確定后，個位的數字只能從余下的 2 2 個數個數 字中去取，有字中去取，有 2 2 種方法種方法 根據分步乘法計數原理，從根據分步乘法計數原理，從 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 這這 4 4 個不同的數字中，每次取出個不同的數字中，每次取出 3 3 個數字，按個數字，按 “百百”“”“十十”“”“個個”位的順序排成一列，共

11、有位的順序排成一列，共有 4 43 32=242=24種不同的排法，種不同的排法， 因而共可得到因而共可得到2424個不個不 同的三位數，如圖同的三位數，如圖1.22 1.22 所示所示 1 234 443322 4 44 3 3 3 1 11 2 4 4 4 3 1 11 2 22 4 3 33 1 11 2 22 圖圖1.221.22 有此可寫出所有的三位數：有此可寫出所有的三位數： 123123，124124，132132，134134，142142，143143， 213 213，214214，231231，234234，241241，243243， 312312，314314，321

12、321，324324，341341，342342， 412412，413413，421421，423423，431431，432.432. 問題問題2 2可歸結為可歸結為 從從4 4個不同的元素個不同的元素a,b,c,d a,b,c,d 中任取中任取3 3個，然后個，然后 按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排 列方法？列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adcabc,abd,acb,acd,adb,adc， bac,bad,bca,bcd,bda,bdcbac,bad,bca,bcd,bda,bdc， cab,cad,cba,cbd

13、,cda,cdbcab,cad,cba,cbd,cda,cdb， dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 共有共有4 43 32=242=24種種. . 2.2.排列數：排列數： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素的個元素的所有所有 不同排列的個數不同排列的個數叫做從叫做從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m m個元個元 素的素的排列數排列數. .用符號用符號 表示表示. . m n A “排列排列”和和“排列數排列數”有什么區(qū)別和聯系？有什么區(qū)別和聯系？ “一個排列一個排列”是指：從是指：

14、從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m m個元個元 素按照一定的順序排成一列，不是數；素按照一定的順序排成一列，不是數； “排列數排列數”是指從是指從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m m個元素個元素 的所有排列的個數，是一個數；所以符號的所有排列的個數，是一個數；所以符號 只表只表 示排列數，而不表示具體的排列示排列數，而不表示具體的排列. . m n A 例題例題 下列問題是排列問題嗎？請說明理由下列問題是排列問題嗎？請說明理由 (1)(1)從從1,2,3,41,2,3,4四個數字中，任選兩個做減法，其結果四個數字中，任選兩個做減法，其結果 有多少種不同的可能？有多少種不

15、同的可能？ (2)(2)從從1,2,3,41,2,3,4四個數字中，任選兩個做乘法，其結果四個數字中，任選兩個做乘法，其結果 有多少種不同的可能？有多少種不同的可能？ (3)(3)有有1212個車站，共需準備多少種車票？個車站，共需準備多少種車票？ (4)(4)從學號從學號1 1到到1010的十名同學中任抽兩名同學去學校開的十名同學中任抽兩名同學去學校開 座談會，有多少種選法？座談會，有多少種選法？ (5)(5)平面上有平面上有5 5個點，其中任意三點不共線，這個點，其中任意三點不共線，這5 5點最多點最多 可確定多少條直線？可確定多少條直線？ 問題問題各問題研析各問題研析結果結果 (1)(1

16、) 由減法定義知，結果都與兩數相減由減法定義知，結果都與兩數相減 的順序有關，故的順序有關，故(1)(1)是排列是排列 (1)(1) (3)(3) (2)(2) 由乘法定義知，結果都與兩數相乘由乘法定義知，結果都與兩數相乘 的順序無關，故的順序無關，故(2)(2)不是排列不是排列 (3)(3) 車票與始點站和終點站有關，由排車票與始點站和終點站有關，由排 列定義知列定義知(3)(3)是排列是排列 (4)(4) 所選取兩名同學參加座談會，無順所選取兩名同學參加座談會，無順 序之分，故序之分，故(4)(4)不是排列不是排列 (5)(5) 兩點確定一條直線，與兩點順序無兩點確定一條直線，與兩點順序無

17、 關，故關，故(5)(5)不是排列不是排列 解解: : 判斷一個問題是否為排列問題的依據是判斷一個問題是否為排列問題的依據是 是否有順序，有順序且是從是否有順序，有順序且是從n n個不同的元素個不同的元素 中任取中任取m m( (m mn n) )個不同的元素的問題就是排個不同的元素的問題就是排 列，否則就不是排列，而檢驗它是否有順序列，否則就不是排列，而檢驗它是否有順序 的依據就是變換元素的位置，看其結果是否的依據就是變換元素的位置，看其結果是否 有變化，有變化就是有順序，無變化就是無有變化，有變化就是有順序，無變化就是無 順序順序 【總結提升總結提升】 判斷下列問題是否是排列問題：判斷下列

18、問題是否是排列問題： (1)(1)某班共有某班共有5050名同學，現要投票選舉正、副班長名同學，現要投票選舉正、副班長 各一人，共有多少種可能的選舉結果？各一人，共有多少種可能的選舉結果？ (2)(2)從從2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取兩數分別作對數的底數和中任取兩數分別作對數的底數和 真數，有多少不同對數值？真數，有多少不同對數值？ (3)(3)從從1 1到到1010十個自然數中任取兩個數組成點的坐十個自然數中任取兩個數組成點的坐 標，可得多少個不同的點的坐標？標，可得多少個不同的點的坐標？ 【變式練習變式練習】 (4)(4)從集合從集合M M1,21,2，99中，任取相異的兩個

19、中，任取相異的兩個 元素作為元素作為a a，b b，可以得到多少個焦點在，可以得到多少個焦點在x軸上的橢軸上的橢 圓方程圓方程 ? ? 22 22 1 xy ab 解：解： (1)(1)是排列問題選出的是排列問題選出的2 2人，擔任正、副班長人，擔任正、副班長 任意，與順序有關，所以該問題是排列問題任意，與順序有關，所以該問題是排列問題 (2)(2)是排列問題顯然對數值與底數和真數的取值的是排列問題顯然對數值與底數和真數的取值的 不同有關系，與順序有關不同有關系，與順序有關 (3)(3)是排列問題任取兩個數組成點的坐標，橫、縱是排列問題任取兩個數組成點的坐標，橫、縱 坐標的順序不同，即為不同的

20、坐標，與順序有關坐標的順序不同，即為不同的坐標，與順序有關 (4)(4)不是排列問題焦點在不是排列問題焦點在x x軸上的橢圓，方程中的軸上的橢圓，方程中的a a、 b b必有必有a ab b，a a、b b的大小一定的大小一定 1 1下列問題中：下列問題中： (1)10(1)10本不同的書分給本不同的書分給1010名同學，每人一本；名同學，每人一本； (2)10(2)10位同學互通一次電話；位同學互通一次電話； (3)10(3)10位同學互通一封信；位同學互通一封信； (4)10(4)10個沒有任何三點共線的點構成的線段個沒有任何三點共線的點構成的線段 屬于排列的有屬于排列的有( () ) A

21、 A1 1個個B B2 2個個 C C3 3個個 D D4 4個個 解：解：(1)(3)(1)(3)是排列問題，是排列問題，(2)(4)(2)(4)不是排列問題不是排列問題 B B 2 2A A、B B、C C三名同學照相留念，成三名同學照相留念，成“一一”字形排字形排 隊，所有排列的方法種數為隊，所有排列的方法種數為( () ) A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D1212 解：解：A AB BC C，A AC CB B，B BA AC C，B BC CA A， C CA AB B，C CB BA.A.所以排列方法有所以排列方法有6 6種種. . C C 3 3上海世博會期間，某調研機

22、構準備從上海世博會期間，某調研機構準備從5 5人中選人中選3 3 人去調查中國館、日本館、美國館的參觀人數，有人去調查中國館、日本館、美國館的參觀人數，有 _種安排方法種安排方法 解：解：由題意可知，問題為從由題意可知，問題為從5 5個元素中選個元素中選3 3個元素個元素 的排列問題，所以安排方法有的排列問題，所以安排方法有5 54 43 36060種種 答案：答案：6060 6060 4 4用用1,2,3,41,2,3,4四個數字排成三位數，并把這些三位數四個數字排成三位數，并把這些三位數 從小到大排成一個數列從小到大排成一個數列aan n (1)(1)寫出這個數列的前寫出這個數列的前1111項項. . (2)(2)這個數列共有多少項這個數列共有多少項 解