專題03 集合的基本運(yùn)算（講）（解析版）

1、2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講練測（新教材人教A版必修第一冊）專題03集合的基本運(yùn)算（講）本節(jié)知識點(diǎn)與題型快速預(yù)覽知識點(diǎn)課前預(yù)習(xí)與精講精析1并集和交集的定義定義并集交集自然語言一般地,由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作AB一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為集合A與B的交集,記作AB符號語言ABx|xA,或xBABx|xA,且xB圖形語言知識點(diǎn)撥(1)簡單地說,集合A和集合B的全部(大眾)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當(dāng)集合A,B無大眾元素時,不能說A與B沒有交集,只能說它們的交集是空集；(3)在兩個集合的并集中,

2、屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點(diǎn)是：由兩個集合確定一個新的集合,不同點(diǎn)是：生成新集合的法則不同2并集和交集的性質(zhì)并集交集簡單性質(zhì)AAA；AAAAA；A常用結(jié)論ABBA；A(AB)；B(AB)；ABBABABBA；(AB)A；(AB)B；ABBBA3全集文字語言一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為全集4.補(bǔ)集文字語言對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集,簡稱為集合A的補(bǔ)集,記作UA符號語言UAx|xU,且xA圖形語言知識點(diǎn)撥(1)簡單地說,UA是從全集U中取出集合A的全部元素之

3、后,所有剩余的元素組成的集合(2)性質(zhì)：A(UA)U,A(UA),U(UA)A,UU,UU,U(AB)(UA)(UB),U(AB)(UA)(UB)(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運(yùn)算結(jié)果的Venn圖表示1已知集合,則（ ）ABCD【參考答案】A【解析】集合,則,所以由交集運(yùn)算可得.故選：A.2已知集合,則（）ABCD【參考答案】B【解析】解不等式,可得,因此集合.由集合,可得,故選：B.3已知全集,集合,則（ ）ABCD【參考答案】C【解析】因為是全集U中除去集合M中的所有元素后的集合,所以；故選：C4設(shè)集合, ,則（ ）ABCD【參考答案】A【解析】解：, ,故選：5已知全集,

4、集合,則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為（ ）ABCD【參考答案】B【解析】全集3,5,集合,3,如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為：故選B典型題型與解題方法重要考點(diǎn)一：并集的概念及運(yùn)算【典型例題】已知集合,則（ ）ABCD【參考答案】C【解析】集合,而,所以,故選C.【題型強(qiáng)化】已知集合,則_【參考答案】【解析】因為,所以故參考答案為：【收官驗收】已知集合,則中的元素個數(shù)為_.【參考答案】4【解析】由已知可得：則中的元素個數(shù)為4.故參考答案為：4【名師點(diǎn)睛】并集運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)對于描述法給出的集合,應(yīng)先看集合的代表元素是什么,弄清是數(shù)集,還是點(diǎn)集,然后將集合化簡,再按定義求解(2)求兩個集合的并

5、集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性,重復(fù)的元素只能算一個(3)對于元素個數(shù)無限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時,可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法求解,但要注意端點(diǎn)的值能否取到重要考點(diǎn)二：交集的概念及其運(yùn)算【典型例題】已知集合,則為（ ）A或B或C或D或【參考答案】A【解析】由,所以,因為,所以或,或或故選【題型強(qiáng)化】已知集合,則_.【參考答案】.【解析】, .故參考答案為：.【收官驗收】已知集合,若則實(shí)數(shù)的值為_【參考答案】1【解析】由題意,顯然,所以,此時,滿足題意,故參考答案為1【名師點(diǎn)睛】求集合AB的方法與步驟(1)步驟首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；把所求交集的集合用集合符號表示出來,寫成“A

6、B”的形式；把化簡后的集合A、B的所有大眾元素都寫出來即可(若無大眾元素則所求交集為)(2)方法若A、B的代表元素是方程的根,則應(yīng)先解方程,求出方程的根后,再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對,則AB是指兩個方程組成的方程組的解集,解集是點(diǎn)集若A、B是無限數(shù)集,可以利用數(shù)軸來求解但要注意,利用數(shù)軸表示不等式時,含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示,不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示重要考點(diǎn)三：集合交集、并集運(yùn)算的性質(zhì)及應(yīng)用【典型例題】已知集合,若,則（ ）A或B或C或D或【參考答案】B【解析】因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.【題型強(qiáng)化】設(shè)集合,若,

7、則 ( )ABCD【參考答案】C【解析】 集合,是方程的解,即,故選C【收官驗收】已知若,則實(shí)數(shù)的值為()A0或1或2B1或2C0D0或1【參考答案】A【解析】A=x|x23x+2=0=1,2,AB=B,BA當(dāng)B=時,ax2=0無解,a=0B時,x=,或,解得：a=2或a=1,所以：實(shí)數(shù)a的值為：a=0或a=1或a=2故選：A【名師點(diǎn)睛】利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時,常常遇到ABB,ABA等這類問題,解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解,如ABAAB,ABBAB(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合AB時,若集合A不確定

8、,運(yùn)算時要考慮A的情況,否則易漏解重要考點(diǎn)四：集合運(yùn)算時忽略空集致錯【典型例題】集合,（1）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍【參考答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由集合,因為,所以,則,即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因為 ,又,可得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型強(qiáng)化】設(shè)集合,集合求：（1）實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)取值時,且；（2）實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)取值時,【參考答案】（1）（2）或.【解析】（1）, 方程得兩根為,由題意,得,解不等式組,得；（2）當(dāng)時,不可能；當(dāng)時,方程兩根為,得或,或.【收官驗收】已知集合,.（1）當(dāng)時,求；（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【參考答案】（1）；（2）.【解

9、析】（1）當(dāng)時,（2）若,此時,滿足,當(dāng)時,.綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【名師點(diǎn)睛】ABB,B可能為空集,千萬不要忘記重要考點(diǎn)五：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【典型例題】已知集合,集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【參考答案】【解析】因為,則畫出數(shù)軸,并表示出集合,如下:可得,故參考答案為:【題型強(qiáng)化】設(shè)集合,則（ ）ABCD或【參考答案】D【解析】由題,或,則或.故選：D.【收官驗收】某校一（1）班共有18名學(xué)生參加了學(xué)校書法社或手工社,其中參加書法社的學(xué)生有15人,參加手工社的學(xué)生有6人,則一（1）班這兩個社團(tuán)都參加了的學(xué)生共_人.【參考答案】3【解析】設(shè)一（1）班這兩個社團(tuán)都參加了的學(xué)生共有人, 則

10、故參考答案為：3【名師點(diǎn)睛】求解此類問題一定要看是否包括端點(diǎn)(臨界)值集合問題大都比較抽象,解題時要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化,從而使問題獲解重要考點(diǎn)六：補(bǔ)集的基本運(yùn)算【典型例題】設(shè),集合,則（）ABCD【參考答案】B【解析】由 得： ,所以 ,因此 ,故參考答案為B【題型強(qiáng)化】已知集合,則_【參考答案】【解析】解不等式得,所以,所以可以求得故參考答案為：【收官驗收】設(shè)全集,集合,則=_【參考答案】【解析】由題意得【名師點(diǎn)睛】求集合補(bǔ)集的基本方法及處理技巧(1)基本方法：定義法(2)兩種處理技巧：當(dāng)集合用列舉法表示時,可借助Venn圖求解當(dāng)

11、集合是用描述表示的連續(xù)數(shù)集時,可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析求解重要考點(diǎn)七：交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算【典型例題】已知集合,則（ ）ABCD【參考答案】A【解析】因為集合,所以或,或,所以,所以或,故選A.【題型強(qiáng)化】已知全集,集合,則_.【參考答案】【解析】因為全集,所以,所以,故參考答案為：.【收官驗收】若全集,或,則_（用,或其補(bǔ)集表示）.【參考答案】【解析】由題得,所以=,故參考答案為【名師點(diǎn)睛】求集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的方法重要考點(diǎn)八：“正難則反”思想的應(yīng)用【典型例題】已知集合,若.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【參考答案】【解析】若.,集合B有以下三種情況：當(dāng)時,即,或.當(dāng)B是單元素集合時,或.若,則,此時不滿足,故舍去；若,則,此時不滿足,故舍去.當(dāng)時,6是方程的兩個根,即a的值不存在.綜上可得,當(dāng)時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.故若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【題型強(qiáng)化】已知集合,則實(shí)數(shù)的值為_.【參考答案】或【解析】由題意得,故得,即,解得或.當(dāng)時,符合題意當(dāng)時,符合題意所以或參考答案：或【收官驗收】設(shè)全集,若,求實(shí)數(shù)的值【參考答案】【解析】因為,且全集,所以,解得或,當(dāng)時,集合A中的元素不滿足互異性,不合題意;當(dāng)時,此時,滿足,符合題意.綜上可得,.故參考答案為: .【名師點(diǎn)