線性二次型最優(yōu)控制PPT學習教案

1、會計學1 線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制 n而且?guī)黹]環(huán)控制系統(tǒng)工程實現(xiàn)時 困難性,難以得到統(tǒng)一、簡潔的最優(yōu) 控制規(guī)律的表達式。 第1頁/共54頁 人員都具有很大吸引力。 n近40年來,人們對各種最優(yōu)狀態(tài)反饋 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計方 法進行了多方面的研究,并且有許多 成功的應用。 第2頁/共54頁 第3頁/共54頁 n假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足0m r n,且u(t) 不受約束。 n用z(t)表示預期的輸出,它為m維向量, 則定義輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)-y(t) 00 ( )( ) ( )( ) ( ),( ) ( )( ) ( ) tA ttB ttt tC tt xxu

2、xx yx 第4頁/共54頁 ; 0 nR(t)為rr維時變的分段連續(xù)的正定矩 陣,且其逆矩陣存在并有界; 0 n末態(tài)時刻tf是固定的。 固定 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第5頁/共54頁 n若矩陣F的第i行第i列元素值較大,代表 二次項的重要性較大,對其精度要求較 高。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第6頁/共54頁 0 11 ()()()( ) ( ) ( )

3、( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第7頁/共54頁 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第8頁/共54頁 與在t0,tf區(qū)間內(nèi)u(t)所做的功或所消耗的能 量成正比。 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第9頁/共54頁 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff

4、t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第10頁/共54頁 該問題轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使 輸出值y(t)保持在零值附近,稱為輸 出調(diào)節(jié)器問題。 f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxxu f t t ff tttRtttQttFtJ 0 d)()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuyyyyu 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第11頁/共54頁 n 0 11 (

5、)()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第12頁/共54頁 第13頁/共54頁 nR(t)為正定矩陣; n末態(tài)時刻tf是固定的。 000 ( )( ) ( )( ) ( ),( ), , f tA ttB ttttt txxuxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx C(t)=I,z(t)=0,則則y(t)=x(t)=-e(t) 0 11 ()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 22 f t

6、 ff t JtFtt Q ttt R ttt ueeeeuu 第14頁/共54頁 nt n最優(yōu)控制的存在性與唯一性最優(yōu)控制的存在性與唯一性 dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 第15頁/共54頁 ,P(t) 正定或半正定解。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux ,)(),()()()()( 000 * f ttttttBttAtxxux x * 000 1 ( )(0),0 2 JJtP uxxx dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0

7、 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第16頁/共54頁 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 0 11 ()() d 22 f t ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 第17頁/共54頁 1 ( , , ) 2 HQRAB x u xxuuxu 0 11 ()() d(7167) 22 f t

8、ff t JtFtQRABt xxxxuuxu x 0 0 0 1 ()()( , , )d 2 1 ()()( ) ( )|( , , )d 2 f f f t ff t t t fft t JtFtHt tFtttHt xxx u x xxxx u x 0 0 ( )( ) 1 ( )( )( ) 2( ) ( )( )( ) f f t ff fff t f t fff t tFt HH Jx tttdt t HH tFttxdt xx xxu xxu xxu xu 第18頁/共54頁 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 ( )( )

9、 2( ) ff ff f H tA ttB tt H tQ ttA tt tFt tFt t xxu x x xx x x 0 ()()() f t fff t HH JtFttxdt xxu xu ( ) ( )( ) ( )0 H R ttB tt u u 第19頁/共54頁 *1 ( )( )( ) ( )tRt B tt u ( ) ( )( ) ( )0(7173) H R ttB tt u u * ( )( )( )tP ttx 第20頁/共54頁 1 * * * ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (

10、 )( )( ) ( )( ) tP ttP tt P ttP t A ttP t B tt P tP t A tP t B t Rt B t P tt xx xxu x * ( )( ) ( )( ) ( )(7171) ( )( )( )(7175) tQ ttA tt tP tt x x * ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )tQ ttA t P ttQ tA t P tt xxx 第21頁/共54頁 *1* ( )( )( ) ( )( )tRt B t P tt ux 0 0 000 111d ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d 222d 1

11、 d 2 f f t fff t t t tP ttt P ttPt t PPPt xxxxxx xxxxxx 第22頁/共54頁 0 0 000 1 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 1 d 2 f f fff t t t t tP ttt P tt A PPPAB PPBt QPB R BPB PPBt xxxx xxuxxu xxuxxu 0 000 11 11 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 d 2 f fff t t tP ttt P tt QRR B PRR B Pt xxxx xxuuxxxx 0 1 000 ( )(

12、) ( )( ) ( )(7160) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )(7166) 111 () () ()( ) ( ) ( )d 222 f t fff t tA ttB tt P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t tP ttt P ttPPPt xxu xxxxxxxxxx 第23頁/共54頁 0 0 11 000 11 ( )( )( ) 22 11 ( ) ( ) ( )d 22 f f t ff t t t JttFtQR dt t P ttR B PRR B Pt uxxxxuu xxuxux *

13、000 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 J u tt P ttxx 第24頁/共54頁 圖圖7-6 線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 n上述結(jié)論是線性時變系統(tǒng)的結(jié)論, 當系統(tǒng)是線性定常的時候,上述 結(jié)論仍然成立,而且計算還要簡 單。 *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第25頁/共54頁 , 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , ( ), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第26頁/共54頁 論,則對任意tt

14、0,tf,有P(t)=P(t),即P(t)是 對稱的。 1 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ff P tP tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ t P tP tF 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P tP t A tA t P tP t B t Rt B t P tQ ttt t P tF 第27頁/共54頁 第28頁/共54頁 第29頁/共54頁 , 是同一最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的 最優(yōu)控制函數(shù)解。 * 1( ) t u和 *

15、2( ) t u 第30頁/共54頁 )()( * 2 * 1 ttuu和 *1*1* 1122 ( )( )( ) ( )( ),( )( )( ) ( )( )tRt B t P tttRt B t P tt uxux )()( * 2 * 1 ttxx和)()( * 2 * 1 ttuu和 00 * 2 * 2 1* 2 00 * 1 * 1 1* 1 )()()()()()()()( )()()()()()()()( xxxx xxxx tttPtBtRtBtAt tttPtBtRtBtAt )()( * 2 * 1 ttxx和 第31頁/共54頁 , 一地具有狀態(tài)線性反饋律的形式。

16、n下面通過分析一個一階系統(tǒng)的最 優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,進一步領(lǐng)會該 調(diào)節(jié)器的基本特性。 * 120 ( )( ) , f tttt t xx * 120 ( )( ) , f tttt t uu 第32頁/共54頁 式中,p(t)是如下黎卡提微分方程及邊 界條件的解 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r u*=-R-1BPx 1 0 ( )( )( )( )

17、( )( )( )( )( )( )( ), (), f f P tP t A tAt P tP t B t Rt Bt P tQ tttt P tF 第33頁/共54頁 () ( ) 2 d ( ) d 1 2( )( ) ff p tt p tt p s s ap spsq r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f t t t t fra aae fra p tr fra e fra 2 1 ( )2( )( ),() f p tap tp tqp tf r 2 a r q 第34頁/共54頁 ( ) ( )( ) p t x tax t r 0 0 ( ) (

18、 )expd t p s x txas r 第35頁/共54頁 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r p2(t)/r p(t) - x =ax+bu 1/r x(t) u(t) p(0) 2a 2ap(t) p (t) + - q - + 圖圖7-7 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖 這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在tf的一 個重要性質(zhì)。 圖7-7是例7-11的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 的結(jié)構(gòu)圖。 圖中信號p(t)是對黎卡提微 分方程進行電子電路模擬的 結(jié)果,其初始信號p(0)是對黎 卡提微分方程的解在t=0時 的值。 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( )

19、 ( )expd t p s x txas r 2() 2() / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第36頁/共54頁 要,狀態(tài)x(t)將迅速被控制 到零值; nr很大意即控制u的價值較 重要,狀態(tài)x(t)將由于控制 量投入得小,則衰減得很 慢。 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 1 ( )( ) ( )u tp t x t r 0 0 ( ) ( )expd t p s x txas r 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /-

20、 f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 0 00 222 ( )( )( ),( ) 11 ( )( )( )d 22 f t f t x tax tu tx tx Jfx tqx tru tt 2 a r q 第37頁/共54頁 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 第38頁/共54頁 圖圖7-8 不同不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 第39頁/共54頁 , 且該穩(wěn)態(tài)值與末端 條件無關(guān)。 圖圖7-9 不同末端時刻不同末端時刻p(t)曲線曲線 這一事實可用如下數(shù)學關(guān)系式來說明。

21、22 )()(raqrarartpLim f t 2 () 2 () / (- ) /- ( ) / 1 /- f f tt tt fra aae fra p tr fra e fra 2 a r q 第40頁/共54頁 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第41頁/共54頁 節(jié)器問題的條件就是得到定常最優(yōu)狀 態(tài)反饋律的條件。 n以定常最優(yōu)狀態(tài)反饋律構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng), 既大大減少了控制系統(tǒng)實施的困難性, 簡化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),又便于維護使用,無 論在理論上和工程上都具有較大價值。 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) , (), f f P

22、 tP t A tA t P tP t B t Rt Bt P tQ ttt t P tF dtttRtttQttFttuJ f t t ff 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )( uuxxxx *1 ( )( ),( )( )( ) ( )tKtK tRt B t P t ux 第42頁/共54頁 , 和證明最優(yōu)狀態(tài)反饋律為定常的條 件以及定常的最優(yōu)狀態(tài)反饋解。 n線性定常系統(tǒng)在無限時間時最優(yōu) 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的描述如下。 22 ( ) f t Lim p tarqra r 第43頁/共54頁 式中,Q為非負定常數(shù)矩陣; R為正定常 數(shù)矩陣。 00 ( )( )( ),( )tAtBttxxuxx 0 d)()()()( 2 1 )(ttRttQtJuuxxu dtttRtttQttFttuJ