1.2.2組合(一)專題學(xué)習(xí)

1、 問題一問題一: :從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參名去參 加某天的一項活動加某天的一項活動, ,其中其中1 1名同學(xué)參加上午的活名同學(xué)參加上午的活 動動, ,1 1名同學(xué)參加下午的活動名同學(xué)參加下午的活動, ,有多少種不同的有多少種不同的 選法選法? ? 問題二問題二: :從甲、乙、丙從甲、乙、丙3 3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2 2名去參加名去參加 某天一項活動某天一項活動, ,有多少種不同的選法有多少種不同的選法? ? 2 3 6A 甲、乙甲、乙; ;甲、丙甲、丙; ;乙、丙乙、丙 3 3 情境創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè) 從已知的從已知的 3個不同個不同 元素中每元素中

2、每 次取出次取出2 個元素個元素 , , 并成一組并成一組 問題問題2 從已知的從已知的 3 個不同個不同 元素中每元素中每 次取出次取出2 個元素個元素 , , 按照一定按照一定 的順序排的順序排 成一列成一列. . 問題問題1 排列 組合組合 有有 順順 序序 無無 順順 序序 一般地一般地, ,從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m （mn）個元素）個元素并成一組并成一組, ,叫做從叫做從n個不個不 同元素中取出同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合 排列與組合的排列與組合的 概念有什么共概念有什么共 同點與不同點同點與不同點? 概念講解概念講解 組合定義組合定義: : 組合定

3、義組合定義: : 一般地一般地, ,從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個個 元素元素并成一組并成一組, ,叫做從叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個元素的一 個個組合組合 排列定義排列定義: : 一般地一般地, ,從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m (mn) 個元個元 素素, ,按照一定的順序排成一列按照一定的順序排成一列, ,叫做從叫做從 n 個不同元素中取個不同元素中取 出出 m 個元素的一個個元素的一個排列排列. . 共同點共同點: : 都要都要“從從n個不同元素中任取個不同元素中任取m個元素個元素” ” 不同點不同點: : 排列排列與元素的順序

4、有關(guān)與元素的順序有關(guān), , 而組合而組合則與元素的順序無關(guān)則與元素的順序無關(guān). . 概念講解概念講解 思考一思考一: :ab b與與b ba是相同的排列還是相同的組合是相同的排列還是相同的組合? ?為什么為什么? ? 思考二思考二: :兩個相同的排列有什么特點兩個相同的排列有什么特點? ?兩個相同的組合呢兩個相同的組合呢? ? ）元素相同；）元素相同； ）元素排列順序相同）元素排列順序相同. 元素相同元素相同 概念理解概念理解 構(gòu)造排列分成兩步完成構(gòu)造排列分成兩步完成,先取后先取后 排排;而構(gòu)造而構(gòu)造 組合就是其中一個步驟組合就是其中一個步驟. 思考三思考三: :組合與排列有聯(lián)系嗎組合與排列有

5、聯(lián)系嗎? ? 判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? ? (1)(1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e, ,則集合則集合A的含有的含有3 3個元素的子集有多個元素的子集有多 少個少個? ? (2)(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5 5個車站個車站, ,則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車 票票? ? 組合問題組合問題 排列問題排列問題 (3)10(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個學(xué)習(xí)小組, ,共有共有 多少種分法多少種分法? ? 組合問題組合問題 (4)10(4)10人聚會人聚會, ,見

6、面后每兩人之間要握手相互問候見面后每兩人之間要握手相互問候, ,共需握手多共需握手多 少次少次? ? 組合問題組合問題 (5)(5)從從4 4個風(fēng)景點中選出個風(fēng)景點中選出2 2個游覽個游覽, ,有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ? 組合問題組合問題 (6)(6)從從4 4個風(fēng)景點中選出個風(fēng)景點中選出2 2個個, ,并確定這并確定這2 2個風(fēng)景點的游覽順序個風(fēng)景點的游覽順序, , 有多少種不同的方法有多少種不同的方法? ? 排列問題排列問題 組合是選擇的結(jié)果組合是選擇的結(jié)果,排列排列 是選擇后再排序的結(jié)果是選擇后再排序的結(jié)果. 1.1.從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的

7、所有組三個不同的元素中取出兩個元素的所有組 合分別是合分別是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4個元素個元素a , b , c , d , ,寫出每次取出兩個元素的寫出每次取出兩個元素的 所有組合所有組合. . a b c d b c d c d ab , ac , ad , bc , bd , cd (3(3個個) ) (6(6個個) ) 概念理解概念理解 2021/3/279 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的個元素的 所有組合的個數(shù)，叫做從所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出 m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示

8、表示. . m n C 2 3 3C 2 4 6C 如如: :從從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所三個不同的元素中取出兩個元素的所 有組合個數(shù)是有組合個數(shù)是: : 如如: :已知已知4 4個元素個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個寫出每次取出兩個 元素的所有組合個數(shù)是元素的所有組合個數(shù)是: : 概念講解概念講解 組合數(shù)組合數(shù): : 是一個數(shù)，應(yīng)該把它與是一個數(shù)，應(yīng)該把它與“組合組合”區(qū)別開來區(qū)別開來 m n C 1.寫出從寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合。四個元素中任取三個元素的所有組合。 abc , abd , acd , bcd .

9、bc d dc b a c d 3 4A 求可分兩步考慮： 3 4 4 C 第一步，（）個； 3 3 6 A 第二步，（）個； 333 . 434 CAA 根據(jù)分步計數(shù)原理， 3 3 4 3 4 3 A C A 從而 如何計算如何計算: : m n C 組合數(shù)公式組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的排列與組合是有區(qū)別的, ,但它們又有聯(lián)系但它們又有聯(lián)系 根據(jù)分步計數(shù)原理根據(jù)分步計數(shù)原理, ,得到得到: : 因此因此: : 一般地，求從一般地，求從 個不同元素中取出個不同元素中取出 個元素的排個元素的排 列數(shù)，可以分為以下列數(shù)，可以分為以下2步：步： n m 第第1步，先求出從這步，先求出從這 個不

10、同元素中取出個不同元素中取出 個元素個元素 的組合數(shù)的組合數(shù) m n C nm 第第2步，求每一個組合中步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)個元素的全排列數(shù) m n Am m m m n m n ACA ! 121 m mnnnn A A C m m m n m n 這里 ，且 ，這個公式叫做 * Nnm、 nm 概念講解概念講解 組合數(shù)公式組合數(shù)公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am 從從 n 個不同元中取出個不同元中取出m個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù) mmm nmnCAA ! !()! m n n C m nm 0 1. n C我們規(guī)定： 概念講解

11、概念講解 例例1 1計算：計算： 4 7 C 7 10 C 32 (3) , n n n CA 已知求 例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球隊舉行單循環(huán)賽，支足球隊舉行單循環(huán)賽， (1)(1)列出所有各場比賽的雙方；列出所有各場比賽的雙方； （2)2)列出所有冠亞軍的可能情況列出所有冠亞軍的可能情況. . （2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙 (1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解解: : 例題分析例題分析 例3. 1 1 C

12、mn m C m n m n :求證 , ! : ）（ ！ 證明 mnm n C m n )!1()!1( ! 111 mnm n mn m mn m C m n )!1)( ! )!1( 1 mnmn n m m . ! )( ! ! C mnm n m n 例例4.(1)4.(1)平面內(nèi)有平面內(nèi)有1010個點個點, ,以其中每以其中每2 2個點為端個點為端 點的線段共有多少條點的線段共有多少條? ? (2) (2)平面內(nèi)有平面內(nèi)有1010個點個點, ,以其中每以其中每2 2個點為端點的個點為端點的 有向線段共有多少條有向線段共有多少條? ? 例題分析例題分析 排列排列 組合組合 組合的概念

13、組合的概念 組合數(shù)的概念組合數(shù)的概念 組合是選擇的組合是選擇的 結(jié)果，排列是結(jié)果，排列是 選擇后再排序選擇后再排序 的結(jié)果的結(jié)果 聯(lián)系聯(lián)系 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 2021/3/2718 1 1、組合定義、組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成并成 一組一組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個個元素的所有組合的個 數(shù)，叫做從數(shù)，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示表示.

14、 . m n C 2 2、組合數(shù)、組合數(shù): : 3、組合數(shù)公式、組合數(shù)公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am ! !()! m n n C m nm 0 1. n C我們規(guī)定： 1: mn m nnCC 定理 2021/3/2719 例例1:一位教練的足球隊共有一位教練的足球隊共有17名初級學(xué)員名初級學(xué)員,他們中以前他們中以前 沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則,比賽時一個比賽時一個 足球隊的上場隊員是足球隊的上場隊員是11人。問人。問: （1）這位教練從這）這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上名學(xué)員中可以

15、形成多少種學(xué)員上 場方案場方案? （2）如果在選出）如果在選出11名上場隊員時名上場隊員時,還要確定其中的守還要確定其中的守 門員門員,那么教練員有多少種方式做這件事情那么教練員有多少種方式做這件事情? 2021/3/2720 例例4:在在100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有98件合格品件合格品,2件次品。產(chǎn)品檢驗件次品。產(chǎn)品檢驗 時時,從從100件產(chǎn)品中任意抽出件產(chǎn)品中任意抽出3件。件。 (1)一共有多少種不同的抽法一共有多少種不同的抽法? (2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少種件是次品的抽法有多少種? (3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少種件是次品

16、的抽法有多少種? (4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少種件中至多有一件是次品的抽法有多少種? 說明說明:“至少至少”“”“至多至多”的問題的問題,通常用分類法通常用分類法 或間接法求解?；蜷g接法求解。 2021/3/2721 按下列條件按下列條件,從從12人中選出人中選出5人人,有多少種不同選法有多少種不同選法? （1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選; （2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選; （3）甲必須當(dāng)選）甲必須當(dāng)選,乙、丙不能當(dāng)選乙、丙不能當(dāng)選; （4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選; （5）甲、乙、丙三人至多）甲、

17、乙、丙三人至多2人當(dāng)選人當(dāng)選; （6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選人當(dāng)選; 32 39 36C C 05 39 126C C 14 19 126C C 14 39 378C C 231405 393939 (5)756C CC CC C方法一： 532 1239 756CC C方法二： 322314 393939 (6)666C CC CC C方法一： 505 1239 666CC C方法二： 2021/3/2722 例例5 5、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生1212名名, ,外科醫(yī)生外科醫(yī)生8 8名名, ,現(xiàn)要派現(xiàn)要派5 5 人參加支邊醫(yī)療隊人參加支邊醫(yī)療隊, ,至少要

18、有至少要有1 1名內(nèi)科醫(yī)生和名內(nèi)科醫(yī)生和1 1名外科名外科 醫(yī)生參加醫(yī)生參加, ,有多少種選法有多少種選法? ? 例例6:（1）平面內(nèi)有）平面內(nèi)有9個點個點,其中其中4個點在一條直線上個點在一條直線上, 此外沒有此外沒有3個點在一條直線上個點在一條直線上,過這過這9個點可確定多少個點可確定多少 條直線條直線?可以作多少個三角形可以作多少個三角形? （2）空間）空間12個點個點,其中其中5個點共面?zhèn)€點共面,此外無任何此外無任何4個點個點 共面共面,這這12個點可確定多少個不同的平面?zhèn)€點可確定多少個不同的平面? 2021/3/2723 例例7 7、有翻譯人員、有翻譯人員1111名名, ,其中其中5

19、 5名僅通英語、名僅通英語、4 4名僅通法名僅通法 語語, ,還有還有2 2名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出名英、法語皆通?，F(xiàn)欲從中選出8 8名名, ,其中其中4 4 名譯英語名譯英語, ,另外另外4 4名譯法語名譯法語, ,一共可列多少張不同的名一共可列多少張不同的名 單單? ? 例例8、8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意從中任意 取出取出4只只,試求滿足如下條件各有多少種情況試求滿足如下條件各有多少種情況: （1）4只鞋子恰有兩雙只鞋子恰有兩雙; （2） 4只鞋子沒有成雙的只鞋子沒有成雙的; （3） 4只鞋子只有一雙。只鞋子只有一雙。 2021/3/2

20、724 2、從、從6位同學(xué)中選出位同學(xué)中選出4位參加一個座談會位參加一個座談會,要求張、王兩人中要求張、王兩人中 至多有一個人參加至多有一個人參加,則有不同的選法種數(shù)為則有不同的選法種數(shù)為 。 3232 8778 .()()A CCCC 3232 8778 .()()B CCCC 3232 8778 .CC CC C 321 8711 .DC C C 3、要從、要從8名男醫(yī)生和名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果人組成一個醫(yī)療隊，如果 其中至少有其中至少有2名男醫(yī)生和至少有名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù) 為（為（ ） 4、從、從7

21、人中選出人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委 員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（ ） 23 53 . AC A 33 53 .2B C A 3 5 .C A 233 535 .2D C AA 1、把、把6個學(xué)生分到一個工廠的三個車間實習(xí)個學(xué)生分到一個工廠的三個車間實習(xí),每個車間每個車間2人人,若若 甲必須分到一車間甲必須分到一車間,乙和丙不能分到二車間乙和丙不能分到二車間,則不同的分法有則不同的分法有 種種 。 9 9 C D 2021/3/2725 5、在如圖、在如圖7x4的方格紙上（每小方格

22、均為正方形）的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個矩形）其中有多少個矩形? （2）其中有多少個正方形）其中有多少個正方形? 2021/3/2726 1 1、組合定義、組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成一并成一 組組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合 從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)個元素的所有組合的個數(shù) ，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號，用符號 表示表示. . m n C 2

23、 2、組合數(shù)、組合數(shù): : 3、組合數(shù)公式、組合數(shù)公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am ! !()! m n n C m nm 0 1. n C我們規(guī)定： 1: mn m nnCC 定理 2021/3/2727 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個球個球, ,共有多少種取法共有多少種取法? ? 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個球個球, ,使其中含有使其中含有1 1個黑球個黑球, ,有多有多 少種取法少種取法? ? 從口袋內(nèi)取出從口袋內(nèi)取出3個球個球, ,使其中不含黑球使其中不含黑球

24、, ,有多少種有多少種 取法取法? ? 56 3 8 C 21 2 7 C 35 3 7 C 解解:（1） 性質(zhì)性質(zhì)2 2021/3/2728 我們可以這樣解釋我們可以這樣解釋:從口袋內(nèi)的從口袋內(nèi)的8 個球中所取出的個球中所取出的3個球個球, ,可以分為兩可以分為兩 類類: :一類一類含有含有1個個黑球黑球, ,一類不含有黑一類不含有黑 球因此根據(jù)分類計數(shù)原理球因此根據(jù)分類計數(shù)原理, ,上述等上述等 式成立式成立 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn): 3 8 C 2 7 C 3 7 C 為什么呢為什么呢 2021/3/2729 CC m n m n 1 :證明 )!1()!1( ! )!( ! ! mnm n

25、mnm n )!1( ! !) 1( ! mnm mnmnn )!1( ! !)1( mnm nmmn !) 1(! )!1( mnm n . 1C m n ccc m n m n m n 1 1 性質(zhì)性質(zhì)2 2021/3/2730 注注:1 公式特征公式特征:下標(biāo)相同而上標(biāo)差下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合數(shù)之的兩個組合數(shù)之 和和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大 的相同的一個組合數(shù)的相同的一個組合數(shù) 2 此性質(zhì)的作用此性質(zhì)的作用:恒等變形恒等變形,簡化運算在今后學(xué)習(xí)簡化運算在今后學(xué)習(xí) “二項式定理二項式定理”時時,我們會看到它的主要應(yīng)用我們

26、會看到它的主要應(yīng)用 ccc m n m n m n 1 1 2021/3/2731 例計算例計算: 32 9999 ( 1 ) ; CC 332 898 ( 2) . 2CCC 161700 123 9899100 3 100 C 56 3 8 2 8 2 8 3 8 3 8 )(2 CCCCC 2021/3/2732 ; 1 11 1 1 )1( CCCC m n m n m n m n . 2 1 2 11 )2( CCCC m n m n m n m n 例例2 求證求證: . 1 1 1 11 1 )1( C CC CCC m n m n m n m n m n m n . )()(

27、2 1 2 1 1 1 11 11 )2( C CC CCCC CCC m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n 2021/3/2733 例例3、6本不同的書本不同的書,按下列條件按下列條件,各有多少種不同的分法各有多少種不同的分法; （1）分給甲、乙、丙三人）分給甲、乙、丙三人,每人兩本每人兩本; （2）分成三份）分成三份,每份兩本每份兩本; （3）分成三份）分成三份,一份一份1本本,一份一份2本本,一份一份3本本; （4）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人人,一人一人1本本,一人一人2本本,一人一人3本本; （5）分給甲、乙、丙）分給甲、乙、丙3人人,

28、每人至少一本每人至少一本; （6）分給）分給5個人個人,每人至少一本每人至少一本; （7）6本相同的書本相同的書,分給甲乙丙三人分給甲乙丙三人,每人至少一本。每人至少一本。 2021/3/2734 練習(xí)練習(xí): (1)今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1 件件,另一份另一份4件件, 有多少種分法有多少種分法? (2) 今有今有10件不同獎品件不同獎品,從中選從中選6件分給甲乙丙三人件分給甲乙丙三人,每每 人二件有多少種分法人二件有多少種分法? 解解: (1) (2) 6411 1 106212 3150CCCC 6222 10642 18900C

29、CCC 2021/3/2735 例例4、某城新建的一條道路上有、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)只路燈，為了節(jié) 省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞 燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩 盞燈，可以熄滅的方法共有（盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （A） 種（種（B） 種種 （C） 種種 （D） 種種 3 8 C 3 8 A 3 9 C 3 11 C 2021/3/2736 三、混合問題三、混合問題,先先“組組”后后“排排” 例例5 對某種產(chǎn)品的對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品, 一一進(jìn)行測試一一進(jìn)行測試,至區(qū)分出所有次品為止至區(qū)分出所有次品為止,若所有次品若所有次品 恰好在第恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn)次測試時全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試