向量組的線性相關(guān)性ppt課件

1、矩陣矩陣 凡物皆數(shù)千古傳，數(shù)系幾度被凡物皆數(shù)千古傳，數(shù)系幾度被 拓展拓展. 矩陣代數(shù)為哪般？莫過集成數(shù)矩陣代數(shù)為哪般？莫過集成數(shù) 與算與算. 加減數(shù)乘尚簡單，矩陣乘法非加減數(shù)乘尚簡單，矩陣乘法非 等閑等閑. 深究子式可得秩，初等變換不深究子式可得秩，初等變換不 變量變量. 線性方程組線性方程組 欲解線性方程組，需知初等行欲解線性方程組，需知初等行 變換變換. 矩陣化至最簡形，字里行間有矩陣化至最簡形，字里行間有 答案答案. 4-1 4-1 向量組及其線性組合向量組及其線性組合 定義定義1 1 . , 21 個個分分量量稱稱為為第第個個數(shù)數(shù)第第 個個分分量量，個個數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的維維

2、向向量量，這這組組稱稱為為 所所組組成成的的數(shù)數(shù)個個有有次次序序的的數(shù)數(shù) iai nnn aaan i n 分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. . 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量， 一、 維向量的概念n 例如例如 ), 3 , 2 , 1(n )1(,32 ,21(innii n維實(shí)向量維實(shí)向量 n維復(fù)向量維復(fù)向量 第第1個分量個分量 第第n個分量個分量 第第2個分量個分量 ),( 21n T aaaa n a a a a 2 1 二、 維向量的表示方法 維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行 矩陣，通常用等

3、表示，如：矩陣，通常用等表示，如： T TTT ba , n 維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列 矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,ba n n 留意留意 行向量和列向量總被看作是兩個不同的行向量和列向量總被看作是兩個不同的 向量；向量； 行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法那么行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法那么 進(jìn)展運(yùn)算；進(jìn)展運(yùn)算； 當(dāng)沒有明確闡明是行向量還是列向量時，當(dāng)沒有明確闡明是行向量還是列向量時， 都當(dāng)作列向量都當(dāng)作列向量. 假設(shè)我們還需求調(diào)查其它目的，假設(shè)我們還需求調(diào)查其它目的， 比如平均成果、總學(xué)分等，維數(shù)還將添加比如平均成果

4、、總學(xué)分等，維數(shù)還將添加 思索題解答 答答36維的維的 向量的相等向量的相等 ),2 , 1( ),(),( 2121 ni baba bbbbaaaa ii TT n T n T 則則 設(shè)設(shè) 零向量零向量 分量全為分量全為0 0的向量稱為零向量的向量稱為零向量 ), 2 , 1(0ni a O a i T ),2 , 1( ,0ni a O a i T 中中至至少少有有一一個個不不為為 假設(shè)干個同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向 量所組成的集合叫做向量組 例如例如() m n Anm ij a 矩陣有 個 維列向量 aaaa aaaa aaaa A mnmjmm nj nj 21 222221 1

5、11211 a1 . , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組A a1a2an 三、向量、向量組與矩陣三、向量、向量組與矩陣 a2ajana1a2ajan ,() m n Amn ij a 類似地 矩陣又有 個 維行向量 aaa aaa aaa aaa A mnmm inii n n 21 21 22221 11211 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T 1 T 2 T m 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu) 成一個矩陣成一個矩陣. 12

6、, n 個維列向量所組成的向量組 構(gòu)成一個矩陣 nm mn 矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個 的向量組的向量組 維行向量所組成維行向量所組成個個 nm nm T m TT , 21 T m T T B 2 1 12 (,) n A 個組組陣對應(yīng)注注：由由有有限限向向量量所所成成的的向向量量與與矩矩一一一一. . b 1122 nna xa xa x 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 . , , 2211 22222121 11212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng) ，組

7、組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，對對于于任任何何一一給給定定向向量量組組 m m kkk A , ,: 21 21 定義定義 . , 21 個個線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù) 稱稱為為這這， m kkk，稱稱為為向向量量組組的的一一個個 向向量量 2211mm kkk 線性組合線性組合 mm b 2211 ，使，使，一組數(shù)一組數(shù) 如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組 m m bA , ,: 21 21 . 2211 有有解解 即即線線性性方方程程組組 bxxx mm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能 由向量組由向量組 線性表示線性表示 b A .),

8、( ),( 21 21 的秩的秩， 的秩等于矩陣的秩等于矩陣，條件是矩陣條件是矩陣 線性表示的充分必要線性表示的充分必要能由向量組能由向量組向量向量 bB A Ab m m 定理定理1 1 23 1 ,;. 1111 1210 2143 2301 1 例 設(shè) aaab 123 ,ba a a證證明明：向向量量 可可由由向向量量組組線線性性表表示示， 并并求求出出表表達(dá)達(dá)式式. . 123 (,).Aa a aAXb () =( , ). 11111032 01210121 ( , ) 00000000 00000000 證明 令則只證方程組有解. 故只需驗(yàn)證由 r R AR A b A b 1

9、23 =,( )=( , ) 2，R AR A bba a a知知故故向向量量 可可由由向向量量組組 線線性性表表示示. . AXb方程組的通解為 31 32 32 , 21 xx xx 1 2 3 3232 2121, 10 . xc Xxcc xc c 即 其中 為任意常數(shù) 因此表達(dá)式 1 1232123 3 123 32 ,21 ( 32)(21), xc ba a axa a ac xc cacaca .c其中 為任意常數(shù) . .,:,: 2121 這兩個這兩個能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組 與向與向若向量組若向量組稱稱 線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個

10、向量都能由組中的每個向量都能由若若 及及 設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組 B A AB BA sm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示 向量組等價(jià)向量組等價(jià) BA 定義定義 使使在數(shù)在數(shù) 存存量量線性表示，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由 （和和（若記若記 , ), 2 , 1( ).,), 21 2121 mjjj j sm kkk sjbA BbbbBA mmjjjj kkkb 2211 ,), 2 1 21 mj j j m k k k （ ), 21s bbb（ 從而從而 msmm s s m kkk kkk kkk 21 22221 11211 21 ), （

11、. )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣 ijsm kK 12 12 :, :, m ， s m s B b bb A K 由由此此可可知知，向向量量組組可可由由向向量量 組組線線性性表表示示，即即存存在在矩矩陣陣 使使得得 12 (,), mm s K 12 (,) s b bb 1212 (,)(,) 有解 sm b bbX . 也也就就是是矩矩陣陣方方程程 1212 12 1212 :,:, (,) ( ,)(,;,) ( )( ,). sm m ms B b bbA A A Bb bb R AR A B 定定理理2 2 向向量量組組可可由由向向量量組組 線線

12、性性表表示示的的充充要要條條件件是是矩矩陣陣 的的秩秩等等于于矩矩陣陣 的的秩秩, , 即即 1212 :,:, ( )( )( ,). ms AB b bb R AR BR A B 推推論論 向向量量組組與與向向量量組組 等等價(jià)價(jià)的的充充要要條條件件是是 2例 12123 13213 11011 ,;,. 11102 13120 aabbb 設(shè) 2123 ,.ab b b 1 證明：向量組與向量組等價(jià)a 2 =), =(,). (), 1 (, 13213 02111 00000 00000 證明 記則 123 r Aa aBb b b A,B ( )( )( ,)R 2，AR BR A B

13、知知所所以以等等價(jià)價(jià). . 12 = ( ,)的列向量 ，即 n nEe ee n 例例3 3 階階單單位位矩矩陣陣 叫叫做做 維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量 ( , , ), ( , , ), ( , , ). 1 2 1 00 0 10 0 01 T T T n e e e .nn任任意意 維維向向量量都都可可以以由由 維維單單位位向向量量線線性性表表示示 4-2 4-2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 0 , ,: 2211 21 21 mm m m kkk kkk A 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù) 如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組 定義定義 那么稱向量組那么稱向量組 是線性相關(guān)

14、的，否那么稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否那么稱它線性無關(guān) A 例例 向向量量組組 1 2 3 = (2,-1,3,1), = (4,-2,5,4), = (2,-1,4,-1) T T T . 123 3-= 0，線線性性相相關(guān)關(guān)因因?yàn)闉?, 0 12 12 1122 : 1., , 0. 注注意意 若若線線性性無無關(guān)關(guān) 則則只只有有當(dāng)當(dāng) 時時 才才有有 成成立立 n n nn kkk k + k + k = , 2. . 對對于于任任一一向向量量組組 不不是是線線性性無無關(guān)關(guān)就就是是 線線性性相相關(guān)關(guān) 12 ,. n ne ee例維單位向量線性無關(guān) ,0 ,0,. 3.時向向量量組組只只包包含

15、含一一個個向向量量若若則則說說 線線性性相相關(guān)關(guān) 若若則則說說線線性性無無關(guān)關(guān) .4.包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的 5.對對于于含含有有兩兩個個向向量量的的向向量量組組, , 它它線線性性相相關(guān)關(guān) 的的充充要要條條件件是是兩兩向向量量的的分分量量對對應(yīng)應(yīng)成成比比例例. . .,(), 12 62:若若向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) m Am , 12 則則存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使 m k kk 1122 0. mm k + k + k = 無妨設(shè)那么有無妨設(shè)那么有, 0 1 k . 1 3 1 3 2 1 2 1m m k k k k k k

16、即即 能由其他向量線性表示能由其他向量線性表示. 1 1 23 12233 23 12233 23 12 , , , , ( 1)0, 1, , m m m 12 反反之之，若若向向量量組組中中有有一一個個向向量量 可可由由其其余余向向量量線線性性表表示示，不不妨妨設(shè)設(shè)可可由由 線線性性表表示示，即即 其其中中是是數(shù)數(shù). .則則 因因?yàn)闉椴徊蝗珵闉榱懔悖砸?線線性性相相關(guān)關(guān). . m mm m m m kkk k kk kkk k kk 12 12 :,(2) () , . A 由此，我們有 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 的的充充 定定理理 線線性性相相關(guān)關(guān)性性 要要條條件件是是中中有

17、有一一個個向向量量可可 的的判判 由由 其其余余向向量量線線性性 定定 表表示示 m m m 123112 223331123 , , , . b bbb b b 已知向量組線性無關(guān) 試證線性無關(guān) 例例1 1 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使設(shè)有設(shè)有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即 線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因 321 . 0 , 0 , 0 32 21 31 xx xx xx 證證 02 110 011 101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行 ., 0 321 32

18、1 線線性性無無關(guān)關(guān) 向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解 bbb xxx 線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)是是線線性性代代數(shù)數(shù)中中最最 基基本本的的概概念念之之一一，我我們們可可以以從從幾幾個個角角度度來來 考考察察線線性性相相關(guān)關(guān)的的向向量量組組與與線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量 組組的的本本質(zhì)質(zhì)區(qū)區(qū)別別. . 2 ,(1) . 1 1 零向量. 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 它它們們有有系系數(shù)數(shù)不不全全為為零零的的線線性性組組 從從 合合 線線 等等 性性組組 于于 合合看看: : m m 2 ,(1) 1 向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 它它們們只只有有系系數(shù)數(shù)全全為

19、為零零的的線線性性組組合合才才會會等等于于 零零向向量量. . m m 12 ,(2) 2. 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 其其中中至至少少有有一一個個向向量量可可 從從線線性性表表示示看看 以以由由其其余余向向量量 : : 線線性性表表示示. . m m 12 ,(2) m m 向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 其其中中每每一一個個向向量量都都不不能能由由其其余余向向量量線線性性表表示示. . 12 1122 12 ,(1) 0 , . , xxx ( 3 ) s 2 12 122 , , 0. r r rr k kk kkk 1 1 證明 為了證明線性相關(guān) 只要找到 一組不全為零的數(shù)使得 12

20、 1122 , . r rr xxx 為此 考慮的線性組合 1212 11112121 21212222 1122 , rs ss ss rrrsrs aaa aaa aaa 由已知條件可由線性表示 所以可設(shè) 1122 11112121 21212222 1122 11 112211 21 122222 1 122 () () () () () (). rr ss ss rrrsrs rr rr sssrrs xxx x aaa x aaa x aaa a xa xa x a xa xa x a xa xa x 于是 11 11221 21 12222 1 122 12 112212 12 0

21、 0 . 0 ,. ( ,), 0000. ,. rr rr sssrr r rrs r a xa xa x a xa xa x a xa xa x sr k kk kkk 考慮下列齊次線性方程組 由已知條件因此方程組必有非零解取它的 一個非零解則 因此線性相關(guān) 1)1.nn注任意個 維向量必線性相關(guān) 12 , , +1 , . n nne ee nn 每個 維向量可由 維單證位向量 線性表示 且所以線性相關(guān) 3) . 等等價(jià)價(jià)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組所所含含向向量量的的數(shù)數(shù)目目 相相等等 1212 12 2), ,. 若若向向量量組組可可由由向向量量組組 線線性性表表示示，且且線

22、線性性無無關(guān)關(guān)，則則 rs r rs 212 , sr sr,rs. s= r. 1 設(shè)向量組與向量組 等價(jià)，且它們均線性無關(guān)，則因此 證 4-3 4-3 向量組的秩向量組的秩 , r 12 ， ， 設(shè)設(shè)有有向向量量組組如如果果在在 中中能能選選出出 個個向向量量 滿滿 定定1 1 足足 義義 r AA 線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（ r A ,:1 210 2+1 +1 （ ）( ）， 向向量量組組 中中任任意意個個向向量量 如如果果 中中有有 個個向向量量的的話話都都線線性性相相關(guān)關(guān) ArA r 一、最大線性無關(guān)向量組一、最大線性無關(guān)向量組 , . 12 則則稱稱向向量量組組是是向向量

23、量組組 的的一一個個最最大大線線 性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，簡簡稱稱最最大大無無關(guān)關(guān)組組 r A 1 2 3 123 = (2, 1,3,1), (4, 2,5,4), (2, 1,4, 1), , . 30 T T T 2 ; 例例 向向量量組組 則則是是一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組也也是是一一個個 最最大大無無關(guān)關(guān)組組 注注 1).注注向向量量組組的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組一一般般不不唯唯一一 2) . 一一個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組就就 是是這這個個向向量量組組自自身身 3)任任意意一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組都都與與這這個個向向量量組組本本 身身等等價(jià)價(jià)

24、. . 1 1 11 111 , ,. , 00100, 1,2, . iiim ir 事實(shí)上 設(shè)向量組為 而是它的一個最大無關(guān)組 因?yàn)?是的一部分，所以 可以被向量 證 組線性表示 明 ，即 rm r rrm i 11 1 ,. , ,. . j j 現(xiàn)在看中向量 設(shè)是其中任一向量 由是最大無關(guān)組知 線性相關(guān)，從而可由線性表示 故向量組可由它的最大無關(guān)組線性表示 rm rrj r +1 11 11 , ,. 下證可由線性 表示.顯然可由線性表示 rmr rr 5)因因?yàn)闉榈鹊葍r(jià)價(jià)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組含含有有相相同同 個個數(shù)數(shù)向向量量，所所以以一一個個向向量量組組的的每每個個最

25、最大大無無關(guān)關(guān)組組 中中都都含含有有相相同同個個數(shù)數(shù)的的向向量量，這這表表明明最最大大無無關(guān)關(guān)組組 所所含含向向量量的的個個數(shù)數(shù)與與最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的選選擇擇無無關(guān)關(guān)，它它 直直接接反反映映了了向向量量組組本本身身的的性性質(zhì)質(zhì). . 4).向向量量組組的的任任意意兩兩個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組等等價(jià)價(jià) . 只只含含零零向向量量的的向向量量組組沒沒有有最最大大無無關(guān)關(guān)組組， 規(guī)規(guī)定定它它的的秩秩為為0 0 最最大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個個數(shù)數(shù)r r稱稱為為向向定定義義量量組組 的的秩秩. . 6) . 一一向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)它它的的秩秩與與它它所所含含 的的向向量量個個數(shù)數(shù)

26、相相同同 112 11 7), (,)(,). s ， 若若向向量量組組可可由由 線線性性表表示示則則 m ms RR 11 11 111 11 11 1111 (,) =(,) = . , , , , , .rs 1 1 11 設(shè) 因?yàn)榭捎删€性表示，所以 的極大無關(guān)組可以由 線性表示，而可由它自身 的最大無關(guān)組線性表示，所以 可由線性表示， 因此 證證明明 ms ms mr ss t rt Rr, Rt 8).等等價(jià)價(jià)的的向向量量組組必必有有相相同同的的秩秩 . n，全全體體 維維向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的向向量量組組記記作作 求求的的一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組 例例 及及的的秩秩 n nn R

27、 RR 1 . n 12 12 因?yàn)?維單位向量構(gòu)成的向量組 線性無關(guān)，而任意個 維向量線性相關(guān)，所 以向量組是的一個最大無關(guān)組，且 的為 解 秩 n n n n ne ,e ,e n e ,e ,eR Rn 12 12 12 12 , (1), (2), ,. ， ； ， 設(shè)設(shè)向向量量組組是是向向量量組組 的的 一一個個部部分分組組且且滿滿足足 線線性性無無關(guān)關(guān) 向向量量組組 中中任任一一向向量量都都能能由由 線線性性表表示示 則則稱稱是是向向量量組組 的的一一個個最最 定定義義 大大 組組 2 2 關(guān)關(guān) 無無 r r r r A A A 12+ 12+ 12 12+12 12+ , , ,

28、 (,)(,) ,. RRr 1 1 1 1 1 ：設(shè)是向量組 中 任意個向量，則由條件可由 線性表示，從而 于是線性相關(guān) 推推導(dǎo)導(dǎo)過過程程 r r r rr r A r + 向向量量組組的的一一個個部部分分組組稱稱為為一一個個最最大大 無無關(guān)關(guān)組組，若若這這個個部部分分組組本本身身線線性性無無關(guān)關(guān)，但但從從這這個個 向向量量組組的的其其余余向向量量( (若若存存在在) )中中任任取取一一個個添添進(jìn)進(jìn)去去， 得得到到新新的的部部分分組組都都線線 定定義義3 3 性性相相關(guān)關(guān). . 12 12 , , ，： . 設(shè)設(shè)向向量量組組的的秩秩為為證證明明 的的任任意意 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量

29、組組都都構(gòu)構(gòu) 成成它它的的一一個個最最大大無無組組 注注 關(guān)關(guān) s s r r 1112112 12 21222 2122211121 2122211121 21222 , ., ,. , (,)(,). ,. rs s rj rjr rjr rj r RRr 設(shè)是的一個最大 無關(guān)組 在中任取 個線性無關(guān)的向量組 在其余向量中任取由于 可以由線性表示， 所以 因此線性相關(guān) 證 . 矩矩陣陣的的行行秩秩等等定定1 1于于列列秩秩理理 二、矩陣與向量組秩的關(guān)系二、矩陣與向量組秩的關(guān)系 矩矩陣陣的的就就是是指指矩矩陣陣行行向向量量組組的的秩秩； 矩矩陣陣的的就就是是矩矩陣陣的的列列向向 行行 量量

30、秩秩 列列秩秩 定定義義 組組的的秩秩. . 因因?yàn)闉樾行兄戎群秃土辛兄戎认嘞嗟鹊?，所所以以矩矩陣陣的的行行秩秩和?列列秩秩統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為矩矩陣陣的的秩秩. . 1. 一一矩矩陣陣的的秩秩為為矩矩陣陣中中有有一一個個 階階 子子式式不不為為零零，同同時時所所有有的的階階子子為為零零 定定理理 式式全全 rr r 1212 ,(,)向向量量組組的的秩秩也也記記作作 mm R 21112 11214 46224 36979 A 設(shè)矩陣 例例1 1 .用用最最大大無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量 無無關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大求

31、求矩矩陣陣A 行行階階梯梯形形矩矩陣陣施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉閷?A解解 ，知知3)( AR A ， 00000 31000 01110 41211 初等行變換初等行變換 .3 個向量個向量組含組含故列向量組的最大無關(guān)故列向量組的最大無關(guān) 三列，三列，、元在元在而三個非零行的非零首而三個非零行的非零首421 ., 421 無無關(guān)關(guān)組組為為列列向向量量組組的的一一個個最最大大故故aaa 線性無關(guān)線性無關(guān)，故，故知知 421421 ,3),(aaaaaaR . , 42153 成成行行最最簡簡形形矩矩陣陣 再再變變線線性性表表示示，必必須須將將用用要要把把Aaaaaa ), 421

32、aaa（ 現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上 763 264 111 112 000 100 110 111 初等行變換初等行變換 00000 31000 30110 40101 初等行變換初等行變換A 3124 5124 ( 1)( 1)0, 43( 3) 即得 aaaa aaaa 1 2 3 4 5 1 (2,1,4,3), ( 1,1, 6,6), ( 1, 2,2, 9), (1,1, 2,7), (2,4,4,9) T T T T T 注例 也可以描述成：求 . 的一個最大無關(guān)組，并將其余向量用最大 無關(guān)組線性表示 三、矩陣秩的相關(guān)結(jié)論三、矩陣秩的相關(guān)結(jié)論 (1)(),; (2)()( );( )();

33、(3),( )( ); (4),()( ); 0 若則 若 、 可逆則 m n T R Amin m n R AR AR ARA ABR AR B PQR PAQR A (6)( ),( )( ,)( )( );max R A R BR A BR AR B 12 12 ( , ) ( )( , ) ( )( , ). ( )( ), , r t ABA B R AR A B R BR A B R ArR BtA B 因?yàn)?和 的列向量組均可由 的列向量組線性表示，所以， 設(shè)，是 的 列向量組的最大無關(guān)組，是 的列 向量組的 證 最大無關(guān)組. 1212 1212 ( ,), ( ,)(,), (

34、 ,)( )( ). rt rt Rrt R AR B 則的列向量組可由 線性表示，所以 因此 A B R A B R A B (6)()( )( );R ABR AR B 11 2 1212 1122 121212 1212 1122 1122 (,),(,), (+,+,+). ( ), ( ), , ; ;(1,2, ). iiiirr iiiir R Ar R Br kkk lllin 設(shè) 設(shè)是 的最 證 大無關(guān)組，是的最大無 關(guān)組. 則 1 2 2 nn nn rn rn r A=B = A+ B = 112 1 1 11221122 1212 121212 +, , . ()(,)

35、, ()( )( ). iiiiirriiir r r kkklll AB R ABRrr R ABR AR B 所以 即的列向量組可由 線性表示因此 即 2 2 2 r r r (7)()( ),( ) .R ABmin R A R B 12 , m 11121 21222 12 證設(shè) m m nnnm aaa aaa A= aaa 1 2 m B 11121 21222 12 s s mmms bbb bbb = bbb 1 2 11 22 . = n s n nm c c ABC c c c c 11121 21222 12 令 則 m m nnnm aaa aaa aaa 1122 1

36、212 1,2, . ( ,)(,), ()( ). ()() )()()( ) ()( ). ()( ),( ) . iiiimm nm TTTT caaa in R c ccR R ABR B R ABR ABR B AR AR A R ABR A 于是 其中 因此即 因?yàn)?可知 綜上所述，R ABmin R A R B ( )( ,).：AXBR AR A B矩矩陣陣證證明明方方程程有有解解 , , 11121 21222 12 11121 21222 1212 12 ， m nn sm sn s n n nnns s s ns nnns AXBX aaa aaa X aaa aaa a

37、aa aaa ：若若矩矩陣陣方方程程有有解解, ,則則存存在在 不不妨妨設(shè)設(shè) 明明 為為 而而 證證 從從 , ( ,)( ).( )( , , , , ) ( )= ( ,) , . , 1212 12 121212 1212 ， ， sn n s n nn s R A BR AR AR A B R AR A B RR 可可由由 向向量量組組線線性性表表示示，所所以以 故故向向量量組組可可由由向向量量組組 線線性性表表示示，因因此此 即即又又所所以以 2 ( )= ( ,). ( ,) ,=,. . B 121 ， sn R AR A BA A B BA AA A X X AXB 反反之之，

38、如如果果則則 的的列列向向量量組組的的 最最大大無無關(guān)關(guān)組組也也是是的的列列向向量量組組的的最最大大無無關(guān)關(guān) 組組，從從而而 的的列列向向量量組組可可由由 的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組線線 性性表表示示，而而 的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組又又可可由由 的的列列向向量量 組組線線性性表表示示，所所以以 的的列列向向量量組組可可由由 的的列列向向 量量組組線線性性表表示示，故故存存在在使使得得 因因此此矩矩陣陣方方程程有有解解 4-4 4-4 線性方程組解的構(gòu)造線性方程組解的構(gòu)造 在在解解決決了了線線性性方方程程組組有有解解的的判判別別條條件件 之之后后，我我們們進(jìn)進(jìn)一一步步來來討討論論線線性性方方程程組

39、組解解的的 結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu). . 在在方方程程組組的的解解是是唯唯一一的的情情況況下下，當(dāng)當(dāng) 然然沒沒有有什什么么結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)問問題題. .在在有有多多個個解解的的情情況況下下， 所所謂謂解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)問問題題就就是是解解與與解解之之間間的的關(guān)關(guān)系系問問 題題. . 下下面面我我們們將將證證明明，雖雖然然在在這這時時有有無無窮窮多多 個個解解，但但全全部部的的解解都都可可以以用用有有限限多多個個解解表表示示 出出來來. . , 12 ，元元線線性性方方程程組組的的解解= =是是 維維向向量量 在在解解不不是是唯唯一一的的情情況況下下，作作為為方方程程組組的的解解的的 這這些些向向量量之之間間有有什什么

40、么關(guān)關(guān)系系呢呢？ n nx xxn 設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 1 一、齊次線性方程組解的性質(zhì)一、齊次線性方程組解的性質(zhì) , aaa aaa aaa A mnmm n n 21 22221 11211 n x x x x 2 1 那么上述方程組那么上述方程組1 1可寫成方程可寫成方程 .Ax0 記記 齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì) 1 1假設(shè)假設(shè) 為為 的解，那么的解，那么 21 x,x0 Ax 21 x 0 Ax 也是也是 的解的解. . 證明證明

41、0 2121 AAA 00 21 A,A .Axx的解的解也是也是故故0 21 2 2假設(shè)假設(shè) 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，那么為實(shí)數(shù)，那么 也是也是 的解的解 1 x0 Ax k 1 kx 0 Ax 證明證明 .kkAkA00 11 (1)(2)由由和和知知，齊齊次次線線性性方方程程組組的的兩兩個個解解的的和和 還還是是方方程程組組的的解解，一一個個解解的的倍倍數(shù)數(shù)還還是是方方程程組組 的的解解. . 對對于于齊齊次次線線性性方方程程組組，綜綜合合以以上上兩兩個個性性質(zhì)質(zhì)， 說說明明解解的的線線性性組組合合仍仍是是方方程程組組的的解解. . 這這表表明明， 若若方方程程組組有有幾幾個個解解，

42、那那么么這這些些解解的的所所有有可可能能的的 齊齊次次線線性性方方程程組組的的全全部部 線線性性組組合合就就給給出出了了很很多多 解解是是否否能能夠夠通通 過過它它的的有有 解解. . 基基于于這這 限限的的幾幾個個解解的的 個個事事實(shí)實(shí) 線線性性組組 ，我我 們們要要問問： 合合給給出出來來？ (1), , (1), ; (2), . 12 12 12 0 0 齊齊次次線線性性方方程程組組的的一一組組解解 稱稱為為的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系如如果果 線線性性無無關(guān)關(guān) 的的任任一一解解都都可可由由線線性性 表表出出 t t t Ax Ax 根底解系的定義根底解系的定義 二、根底解系及其求法二

43、、根底解系及其求法 , , 12 0 0 如如果果為為齊齊次次線線性性方方程程組組 的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 那那么么的的通通解解可可表表示示為為 t Ax Ax 122 tt xkkk 1 1 ,. 12 其其中中是是任任意意常常數(shù)數(shù) t k kk 線性方程組根底解系的求法線性方程組根底解系的求法 ， ， ( ). 在在齊齊次次線線性性方方程程組組有有非非零零解解的的情情況況下下， 它它有有基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系并并且且基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系所所含含解解的的個個數(shù)數(shù)等等于于 這這里里 表表示示系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩也也就就是是自自由由 未未知知量量的的 理理 個個數(shù)數(shù) 定定 rnrnr- - -

44、111,111 122,112 1,11 (1) .(2) 11 21 1 0 (1) ， ， 證證明明設(shè)設(shè)方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩為為 不不妨妨設(shè)設(shè)左左上上角角的的 級級子子式式不不等等于于于于是是方方程程 組組可可以以改改寫寫為為 rrrrnn rrrrnn rrrrr rrrnn rn r a xa xaxa x a xa xaxa x a xa xaxa x 111 212 ,1, (2) , , =(,1,0,0) =(,0,1,0) . =(,0,0,1) r r r +1+2 2 1,0,00,1,00,0,1 1 ， ， (2)，(1)： 在在中中分分別別用用組

45、組數(shù)數(shù) 來來代代自自由由未未知知量量就就得得出出方方程程 組組也也即即方方程程組組的的個個解解 rrn n rn rn r nr xxx nr cc cc cc 例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377 , 02352 , 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的根底解系與通解的根底解系與通解. 解解 , 0000 747510 737201 1377 2352 1111 A 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚?陣，有陣，有 A . 7 4 7 5 , 7 3 7 2 432 431 xxx xxx 便便得得 ,

46、1 0 0 1 4 3 及及令令 x x , 74 73 75 72 2 1 及及對對應(yīng)應(yīng)有有 x x , 1 0 74 73 , 0 1 75 72 21 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系 ).,( , 1 0 74 73 0 1 75 72 2121 4 3 2 1 R cccc x x x x 并由此得到通解并由此得到通解 1 122. cc 例例2 2 解線性方程組解線性方程組 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 解解 76513 12311 55312 34111 A 對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施

47、 行初等行變換行初等行變換 00000 00000 13110 34111 26220 26220 13110 34111 0 1212 01131 00000 00000 22 3 1345 2345 得得通通解解為為 xxxx xxxx 所以原方程組的一個根底解系為所以原方程組的一個根底解系為 , 0 0 1 1 2 1 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx 332211 .k,k,k為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中 321 , 0 1 0 3 1 2 . 1 0 0 1 2 3 ，( )= ( ). ， - ( )= - ( ), ( )= ( ). 元元齊齊次次線線性性方方程程組

48、組= 0= 0與與= 0= 0 同同解解則則 證證明明 因因?yàn)闉? 0= 0與與= 0= 0同同解解所所以以它它 們們有有相相同同的的基基 例例3 3 礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系，因因此此 即即 nAXBX R AR B AXBX n R An R B R AR B 例例4 4).()(ARA A R T 證證明明 證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)( , 0)(, 0 xA A Ax A Axx T T 即即則則有有滿滿足足若若 . 0, 0)()( , 0)(, 0)( AxAxAx xA Ax xA A x T TTT 從而推知從而推知 即即則則滿足滿足若若 ,0)(0同

49、解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xA A Ax T ).()(ARA A R T 因因此此 0( )( ). m nn l ，設(shè)設(shè)5 5則則例例ABR AR Bn 12 12 ( ,) ( ,)(0 0,0) l l b bb b bb ，=0 ， 證證明明令令則則由由知知 即即 BAB A 0,1,2, . i Abil 1212 12 12 ,0, 0, ,( )( )( ) ( )+ ( ). ll t l b bbAXb bb AX b bbtnR AR BnR A R AR Bn ， ， ， 這這表表明明是是的的解解從從而而 可可由由的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系線線性性表表示示所所

50、以以的的秩秩即即 因因此此 三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)三、非齊次線性方程組解的性質(zhì) 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb ，(3) 設(shè)設(shè)非非齊齊次次線線性性方方程程組組 (3)0， (1)，(1)(2). 將將的的常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)換換成成得得到到了了齊齊次次線線性性方方程程 組組方方程程組組稱稱為為方方程程組組的的導(dǎo)導(dǎo)出出組組 .0 ,1)( 2 121 的解的解為對應(yīng)的齊次方程為對應(yīng)的齊次方程 則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) Ax xbAxxx 證明證明 . 0 21 bbA . 0 21 Ax

51、x滿滿足足方方程程即即 bAbA 21 , 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì) 證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢證畢 .,0 ,2)( 的的解解仍仍是是方方程程則則的的解解 是是方方程程的的解解是是方方程程設(shè)設(shè) bAxxAx xbAxx * * (3) (3) , (1). ，若若是是方方程程組組的的一一個個特特解解那那么么 方方程程組組的的任任一一個個解解 都都可可以以表表示示成成 其其中中 是是導(dǎo)導(dǎo) 理理 出出組組的的一一個個解解 定定 x x * * * (). (1)= . ， ， 證證明明顯顯然然由由性性質(zhì)質(zhì)1 1知知 是是導(dǎo)導(dǎo)出

52、出組組的的一一個個解解令令則則 xx xx x . 11 rnrn kkx 其中其中 為對應(yīng)齊次線性方程為對應(yīng)齊次線性方程 組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的恣意一個特為非齊次線性方程組的恣意一個特 解解. rnrn kk 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解 非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為 例例6 6 求解方程組求解方程組 .2132 , 13 , 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 :施施行行初初等等行行變變換換對對增增廣廣矩矩陣陣B 213211 13111 01111 B , 00000 212100 2

53、11011 124 34 ( )( )2 1 2 1 2 2 xxx xx ，得得所所以以方方程程組組有有解解，且且 通通解解為為 R AR B * 1 2 0 = 1 2 0 故故方方程程組組的的一一個個特特解解為為 2 11 10 =. 02 01 ， 1 1 對對應(yīng)應(yīng)導(dǎo)導(dǎo)出出組組的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為 * 122 2 , ,. 1 1 因因此此原原方方程程組組的的解解為為其其中中 為為任任意意常常數(shù)數(shù) kk k k 2213 =, 9528 4 20( )2.B ， 例例設(shè)設(shè) 求求一一個個的的矩矩陣陣使使得得且且 A ABR B 12 12 12 1212 ( ,).( ) ,

54、0 ( ,)(0 0) 00.,0. 2, ， ， 設(shè)設(shè)因因?yàn)闉樗砸?線線性性無無關(guān)關(guān). .又又因因?yàn)闉樗砸?故故且且即即是是方方程程的的解解 解解Bb bR B = b bAB A b b AbAbb bAX 12 314 214 ( )2,0 . 22138011 =, 95285102 8 . 52 r R ，因因?yàn)闉樗砸允鞘堑牡囊灰粋€個 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系而而 得得 Ab bAX A xxx xxx 12 12 10 52 ,. 81 01 10 52 ( ,). 81 01 故故 因因此此可可取取 bb Bb b 2 (0,1,2,3) ,(3,2,1,0) . TT 1

55、1 求求一一個個齊齊次次線線性性方方程程組組，使使它它的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系例例為為 0. 4,( )422.2. 2 4( )2. 且 ， 解解設(shè)設(shè)所所求求的的齊齊次次線線性性方方程程組組為為 則則因因此此故故 只只需需構(gòu)構(gòu)造造一一個個滿滿足足要要求求而而行行數(shù)數(shù)最最少少的的矩矩陣陣 即即可可，所所以以 取取的的矩矩陣陣且且 m n Ax nR Am AR A 1212 12 ( ,),0. 0,00. ()0, ()( )2.( )2 0 01230123 32101012 TTT TT T r A ， ， 記記是是的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 故故即即又又因因?yàn)闉?且且又又所所以以的的兩兩

56、個個 列列向向量量是是的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系. . 而而 T BAX AAAB ABB A R BR BR A B x B 4 34 3 , 2 0 =(1,2,1,0) ,=(2,3,0,1) , . 23 1 123 124 2 12 1 2 1-210 =， 2-301 -2+0 2-3+0 得得 所所以以的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為 因因此此 可可取取 對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次線線性性方方程程組組為為 T TT T T x =xx xxx B x A A xxx xxx 1234234 1231234 =( ,), =. . 2， 設(shè)設(shè)矩矩陣陣其其中中線線性性 無無關(guān)關(guān)向向量量求

57、求 方方程程的的 例例 通通解解 Aa a a aa a a aaaba + a + a + a Ax = b 123 1234 * ( )30 . +=0 0(1, 2,1,0) . =(1,1,1,1) . 1 1 . 1 1 T T Ax Axb 2 * ， ， = ， 1 -2 += 1 0 由由已已知知條條件件知知所所以以的的 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中含含有有一一個個解解向向量量因因?yàn)闉?所所以以的的一一個個解解為為又又因因?yàn)闉?故故的的一一個個特特解解為為因因此此 的的通通為為 解解 解解 R AAx aaa ba + a + a + a Ax = bkk (2) ( ) ( )1.(

58、) ( )2 * () 為 ，當(dāng) = 1， 當(dāng) 0， 當(dāng) * * 設(shè)設(shè) 為為 階階矩矩陣陣, ,的的例例伴伴隨隨矩矩陣陣 則則 記記住住結(jié)結(jié)論論 AnnAA nR An R AR An R An (1) ? ，=0 ， 設(shè)設(shè) 為為 階階方方陣陣若若有有兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān) 的的解解則則 的的伴伴隨隨矩矩陣陣 * AnnAx AA 00.，=設(shè)設(shè)且且 是是列列滿滿秩秩矩矩陣陣, ,則則例例 m n ABAB ( ) = ( )( )( )00. 0， ， 由由條條件件知知由由證證知知 故故從從而而 R An. AB = R AR Bn.R BB *1 | |,(2).A 證證明明其其中中 是

59、是例例矩矩陣陣 n AAnnn 由由得得證證 * *nn AA =| A| E, | A| A |=| AA |=| A| E |=| A| | E |=| A| . 1 | 0 . ，當(dāng)當(dāng)時時 *n- A | A |=| A| | 0，當(dāng)當(dāng)時時分分兩兩種種情情形形A * * * (1)= 00.|=| |. (2)0( )|=0 ( )(). 1 ， ， 時時則則于于是是 時時則則故故 n- AAAA R AnAAA E R AR An * ()=0|=| |. 1 ，因因此此所所以以此此時時仍仍有有 n- R AnAAA 2 20 ( )(2). ，設(shè)設(shè) 階階方方陣陣 滿滿足足證證例例明明

60、nAAA R AR AEn 2 20(2)0. ( )(2). 證證由由得得故故AAA AE R AR AEn (+2)+( ), (+2)+( )= 所所以以 因因此此 R AER An R AER An. (2 ) =(+2 )+() (+2 )+() =(+2 )+( ), - - 又又因因?yàn)闉?RER AEA R AERA R AER A 2 ( )(). ，設(shè)設(shè) 階階方方陣陣 滿滿足足證證明明類類似似問問題題nAA = A R AR AEn ( ). 設(shè)設(shè) 為為矩矩陣陣，證證明明 方方程程= =有有解解的的 例例 充充分分必必要要條條件件為為 m Amn AXER Am ( )().