中國大學生數(shù)學競賽大綱

1、中國大學生數(shù)學競賽大綱為了進一步推動高等學校數(shù)學課程的改革和建設，提高大學數(shù)學課程的教學水平，激勵大學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學創(chuàng)新人才，更好地實現(xiàn)“中國大學生數(shù)學競賽”的目標，特制訂本大綱。一、競賽的性質和參賽對象“中國大學生數(shù)學競賽”的目的是：激勵大學生學習數(shù)學的興趣，進一步推動高等學校數(shù)學課程的改革和建設，提高大學數(shù)學課程的教學水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學創(chuàng)新人才?！爸袊髮W生數(shù)學競賽”的參賽對象為大學本科二年級及二年級以上的在校大學生。二、競賽的內容“中國大學生數(shù)學競賽”分為數(shù)學專業(yè)類競賽題和非數(shù)學專業(yè)類競賽題。（一）中國大學生數(shù)學競賽（數(shù)學專業(yè)類）競賽內容為大學本科數(shù)學專業(yè)基礎課的教學

2、內容，即，數(shù)學分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內容如下：、數(shù)學分析部分一、集合與函數(shù)1. 實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理.2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣.3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關的性質. 二、極限與連續(xù)1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）.2. 數(shù)列收斂的條件（Ca

3、uchy準則、迫斂性、單調有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用.3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關系.4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.三、一元函數(shù)微分學1.導數(shù)及其幾何意義、可導與連續(xù)的關系、導數(shù)的各種

4、計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性.2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項).3.一元微分學的應用：函數(shù)單調性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達（LHospital）法則、近似計算.四、多元函數(shù)微分學1. 偏導數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向導數(shù)與梯度，高階偏導數(shù)，混合偏導數(shù)與順序無關性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式

5、.2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導方法、反函數(shù)組與坐標變換.3.幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）.4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法.五、一元函數(shù)積分學1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型.2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類.3. 定積分的性質（關于區(qū)間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理.4.無限區(qū)間上

6、的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法.5. 微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），其他應用.六、多元函數(shù)積分學1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）.2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）.3.重積分的應用（體積、曲面面積、重心、轉動慣量等）.4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其

7、判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算.6.第二型曲線積分概念、性質、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件.7.曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關系.七、無窮級數(shù)1. 數(shù)項級數(shù)級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質；正項級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz判別法；一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法

8、.2. 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質及其應用.3.冪級數(shù)冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關系、函數(shù)的冪級數(shù)展開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù).4.Fourier級數(shù)三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理.、高等代數(shù)部分一、

9、 多項式1. 數(shù)域與一元多項式的概念2. 多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉相除法3. 互素、不可約多項式、重因式與重根.4. 多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質.5. 代數(shù)基本定理、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解.6. 本原多項式、Gauss引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根.7. 多元多項式及對稱多項式、韋達(Vieta)定理.二、 行列式1. n級行列式的定義.2. n級行列式的性質.3. 行列式的計算.4. 行列式按一行（列）展開.5. 拉普拉斯(Laplace)展開定理.6. 克拉默(Cramer)法則.三、 線性方程組1.

10、高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解.2. n維向量的運算與向量組.3. 向量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價.4. 向量組的極大無關組、向量組的秩.5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系.6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構.7. 齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數(shù)四、矩陣1. 矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數(shù)乘、乘法、轉置等運算)及其運算律.2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系.3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.4. 分塊矩陣及其運算與性質.5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形.6.

11、 分塊初等矩陣、分塊初等變換.五、 雙線性函數(shù)與二次型1. 雙線性函數(shù)、對偶空間2. 二次型及其矩陣表示.3. 二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法.4. 復數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理.5. 正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣六、 線性空間1. 線性空間的定義與簡單性質.2. 維數(shù)，基與坐標.3. 基變換與坐標變換.4. 線性子空間.5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和.七、 線性變換1. 線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣.2. 特征值與特征向量、可對角化的線性變換.3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理.4

12、. 線性變換的值域與核、不變子空間.八、若當標準形1.矩陣.2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.3. 若當標準形.九、 歐氏空間1. 內積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.2. 標準正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 歐氏空間的同構.4. 正交變換、子空間的正交補.5. 對稱變換、實對稱矩陣的標準形.6. 主軸定理、用正交變換化實二次型或實對稱矩陣為標準形.7. 酉空間.、解析幾何部分一、向量與坐標1. 向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算.2. 坐標系的概念、向量與點的坐標及向量的代數(shù)運算.3. 向量在軸上的射影及其性質

13、、方向余弦、向量的夾角.4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質、計算方法及應用.5. 應用向量求解一些幾何、三角問題.二、軌跡與方程1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標式之間的互化)及其關系.2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關系.3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應用向量建立簡單曲面、曲線的方程.4.球面的標準方程和一般方程、母線平行于坐標軸的柱面方程.三、平面與空間直線1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關字母的意義.2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當方法建立平面、直線方程.3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線

14、與直線、平面與直線間的位置關系.4. 根據(jù)平面和直線的方程及點的坐標判定有關點、平面、直線之間的位置關系、計算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程. 四、二次曲面 1.柱面、錐面、旋轉曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉曲面的方程.2.橢球面、雙曲面與拋物面的標準方程和主要性質，根據(jù)不同條件建立二次曲面的標準方程.3.單葉雙曲面、雙曲拋物面的直紋性及求單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線的方法.4.根據(jù)給定直線族求出它表示的直紋面方程，求動直線和動曲線的軌跡問題.五、二次曲線的一般理論1.二次曲線的漸進方向、中心、漸近線.2.二次曲線的切線、二次曲線的正常點與奇異點.3.二次曲線的直徑、共軛方

15、向與共軛直徑.4.二次曲線的主軸、主方向，特征方程、特征根.5.化簡二次曲線方程并畫出曲線在坐標系的位置草圖.（二）中國大學生數(shù)學競賽（非數(shù)學專業(yè)類）競賽內容為大學本科理工科專業(yè)高等數(shù)學課程的教學內容，具體內容如下：一、函數(shù)、極限、連續(xù)1 函數(shù)的概念及表示法、簡單應用問題的函數(shù)關系的建立.2 函數(shù)的性質：有界性、單調性、周期性和奇偶性.3 復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質及其圖形、初等函數(shù).4 數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質、函數(shù)的左極限與右極限.5 無窮小和無窮大的概念及其關系、無窮小的性質及無窮小的比較.6 極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要

16、極限.7 函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的類型.8 連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函數(shù)微分學1. 導數(shù)和微分的概念、導數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系、平面曲線的切線和法線.2. 基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.3. 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4. 高階導數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導數(shù).5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必達(LHospital)

17、法則與求未定式極限.7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應用.9. 弧微分、曲率、曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學1. 原函數(shù)和不定積分的概念.2. 不定積分的基本性質、基本積分公式.3. 定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.5. 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.6. 廣義積分.7. 定積分的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、

18、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2. 變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .4. 線性微分方程解的性質及解的結構定理.5. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.6. 簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積7. 歐拉(Euler)方程.8. 微分方程的簡單應用五、向量

19、代數(shù)和空間解析幾何1. 向量的概念、向量的線性運算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.2. 兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3. 向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.4. 曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5. 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.6. 球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.7. 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.六、多元函數(shù)微分學1. 多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.2. 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質.3. 多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.4. 多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法.5. 二階偏導數(shù)、方向導數(shù)和梯度.6. 空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線