波利亞解題辨析論文

1、波利亞解題辨析論文 徐利治先生早就指出，我們要培養(yǎng)一大批波利亞型的數(shù)學(xué)家，要按照波利亞思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法目前，從理論研究方面來看，已出現(xiàn)“超越波利亞”的苗頭，但從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，離波利亞的想法還存在很大差距；對于很多學(xué)校，波利亞思想還沒有“進入校門”，其主要原因是，很多中學(xué)同志買不到波利亞的著作，對波利亞的數(shù)學(xué)教育思想缺乏認識為此，徐利治先生前年來寧講學(xué)期間再次強調(diào)，為了搞好中學(xué)素質(zhì)教育，我們還要加大力度傳播波利亞思想 有些中學(xué)同志講，我們沒有辦法，要提高學(xué)生應(yīng)試能力，不得不搞題海戰(zhàn)術(shù)，“題?！笔强陀^存在，無法回避，波利亞也是強調(diào)解題訓(xùn)練的的確，“題海”是客觀存在，波利亞也強調(diào)

2、解題訓(xùn)練，他說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題的訓(xùn)練”但波利亞的解題訓(xùn)練與題海戰(zhàn)術(shù)有很大區(qū)別 一、訓(xùn)練的目的不同 “題海戰(zhàn)術(shù)”的目的明顯表現(xiàn)為應(yīng)考而波利亞強調(diào)解題訓(xùn)練的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)波利亞認為，任何學(xué)問都包括知識和能力這兩個方面對于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有一些知識來重要得多因此，“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊能力，而不僅僅是傳授知識”波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學(xué)上重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾越的鴻溝他說：“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發(fā)現(xiàn)”要想有重大的發(fā)現(xiàn)，就必須重視平時的解題 數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面，已嚴格地

3、提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué)波利亞指出，通過研究解題方法，我們可以看到數(shù)學(xué)的第二個側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)”因此，波利亞把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種手段和途徑這種思想得到了國際數(shù)學(xué)教育界的廣泛贊同1976年數(shù)學(xué)管理者委員會把解題能力列為10項基本技能的首位，美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會理事會把解題提到了“80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”這一高度 波利亞的解題思想集中反映在他的怎樣解題一書中，該書的中心思想就是談解題過程中怎樣誘發(fā)靈感書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與建議波利亞推崇探

4、索法，他認為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動他說怎樣解題這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”正如波利亞在書中所寫：“我們的表實際上是一個在解題中典型有用的智力活動表”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實際上所有的問題和建議都與它有關(guān)” “怎樣解題表”包含四部分內(nèi)容：弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧波利亞說：“弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準備；制訂計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，是試圖更好地利用它”波利亞所講的好念頭，就是指靈感 怎樣解題書中有一部分內(nèi)容叫“探索法小詞典”，從篇

5、幅上看，它占全書的4/5“探索法小辭典”的主要內(nèi)容就是配合“怎樣解題表”，對解題過程中典型有用的智力活動做進一步解釋 全書的字里行間，處處給人一個強烈的感覺：波利亞強調(diào)解題訓(xùn)練的目的是引導(dǎo)學(xué)生開展智力活動，提高數(shù)學(xué)才能 二、訓(xùn)練的方式不同 “題海戰(zhàn)術(shù)”是讓學(xué)生做大量的題，熟悉題型及其解法波利亞反對讓學(xué)生做大量的題，他認為，一個數(shù)學(xué)教師，如果“把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓(xùn)練他的學(xué)生，他就扼殺了學(xué)生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展”因此，他主張與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進

6、入一個嶄新的天地比如，“證明是無理數(shù)”和“證明素數(shù)有無限多個”就是這樣的好題目，前者通向?qū)崝?shù)的精確概念，而后者是通向數(shù)論的門戶，打開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)大門的金鑰匙往往就在這類好題目之中 過去，國內(nèi)外有關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的著作和習(xí)題集基本上偏重于解決個別類型的問題，例如算術(shù)問題、幾何問題、代數(shù)問題等，但很少涉及解題的一般方法然而，“學(xué)生熟悉了解答個別類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨立解決新問題的本領(lǐng)”波利亞的怎樣解題就彌補了這一空白，這本書給出了求解數(shù)學(xué)問題的一般方法今天人們公認，在數(shù)學(xué)解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時代的貢獻 “怎樣解題表”中的指導(dǎo)性意見，具

7、有普適性不僅適用于“不太能獨立工作”的人，而且適用于那些能獨立解題的人；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科，而且可適用于其他學(xué)科例如，未知數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的)，我們提出這些問題都會取得良好效果波利亞解題訓(xùn)練的方式是引導(dǎo)學(xué)生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑試圖引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握解題過程的一般規(guī)律這與“題海戰(zhàn)術(shù)”的“題型解法”的訓(xùn)練方式是絕然不同的 波利亞高度重視解題過程中的合情推理數(shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的

8、工具也是歸納與類比”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學(xué)意義和教學(xué)方法 波利亞反復(fù)呼吁：只要我們能承認數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數(shù)學(xué)教學(xué)中就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明做準備，或至少給一點發(fā)明的嘗試對于一個想以數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來說，為了在數(shù)學(xué)上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一般學(xué)生來說，他也必須學(xué)習(xí)和體驗合情推理，這是他未來生活的需要 怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩(wěn)的教學(xué)方法波利亞說，教學(xué)中最重要的就是選取一些典型教學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造過程，分析其發(fā)現(xiàn)動機和合情推理

9、，然后再讓學(xué)生模仿范例去獨立實踐，在實踐中發(fā)展合情推理能力波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應(yīng)當誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當像助產(chǎn)士那樣辦事”他指出，教師要選擇典型的問題，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生饒有興趣地、自覺地去試驗、觀察，得到猜想 “學(xué)生自己提出了猜想，也就會有追求證明的渴望，因而此時的數(shù)學(xué)教學(xué)最富有吸引力，切莫錯過時機”波利亞指出，要充分發(fā)揮班級教學(xué)的優(yōu)勢，鼓勵學(xué)生之間互相討論和啟發(fā)，教師只有在學(xué)生受阻的時候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預(yù)備好的道路，這樣學(xué)生才能體驗到猜想、發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題的能力 這種訓(xùn)練方式與“題型解法”的做法也是完全不同的

10、三、能力培養(yǎng)的效果不同 應(yīng)該承認，“題海戰(zhàn)術(shù)”對提高學(xué)生的能力也有一定的積極作用，但經(jīng)驗表明，“題海戰(zhàn)術(shù)”在能力培養(yǎng)方面主要表現(xiàn)為提高模仿力與復(fù)制力，所謂“高分低能”癥正是如此產(chǎn)生的 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智我們這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神”波利亞致力于培養(yǎng)學(xué)生的獨立探索能力從教育心理學(xué)角度看，“怎樣解題表”的確是十分可取的，利用這張表教師可行之有效地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，發(fā)展學(xué)生獨立思考和進行創(chuàng)造性活動的能力如果我們提出一個“波利亞探索法”的話，那么“波利亞探索法”的主要特點就是變更問題，誘發(fā)靈感

11、在波利亞看來，解題過程就是不斷變更問題的過程事實上，“怎樣解題表”中許多問題和建議都是“直接以變化問題為目的的”如，你知道與它有關(guān)的問題嗎?你能不能試想出一個有相同或相似未知數(shù)的熟悉問題?你是否見過形式稍微有不同樣的題目?你能改述這題目嗎?你能不能用不同的方法重新敘述它?你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題，一個更普遍的題，一個更特殊的題，一個類似的題?你能否解決這道題的一部分?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?你能改變未知數(shù)，或已知數(shù)，必要時改變兩者，使新未知數(shù)和新的已知數(shù)更加互相接近嗎? 波利亞說：“如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進展”“變更問題

12、”是怎樣解題一書的主旋律書中多次強調(diào)了“變更問題”的幾種特殊手段例如“回到定義去”，“分解與重新組合”，“引入輔助元”，“普遍化、特殊化及類比” 這里只談?wù)劇盎氐蕉x”波利亞說，“回到定義”是一項重要的智力活動回到定義是為了“掌握那些專業(yè)術(shù)語后面數(shù)學(xué)對象間的實際關(guān)系”面對一個數(shù)學(xué)題，“如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義” 怎樣解題書中，有個精彩的實例： 已知拋物線的焦點，準線和一直線l，求作此拋物線與已知直線的交點 觀察題意可見，眼下的情況就是“只知道概念的定義，別無其他”，因此，我們不得不回到定義考慮到拋物線的定義，原問題就變化為： 在直線上求一點，使它和已知點及已知直線等距離 這是第一次變化，解析幾何題變成了平面幾何題這道平面幾何題本身也是一道有意義的題 “你能不能用不同的方法重新敘述它?” 這道題可以換個說法敘述為： 在直線上求一點，以它為圓心作圓與直線相切且通過點 這是第二次變化 所作的圓要滿足兩個條件“你能否解決這問題的一部分?”可以，先放棄一個條件，第三次變化問題 （下略） “怎樣解題表”風(fēng)靡全球經(jīng)驗證明，適當使用表中的問題與建議，對培養(yǎng)學(xué)生的探索力是有益的 “題?！笔强陀^存在，我們應(yīng)研究對付