階行列式PPT學習教案

1、會計學1 階行列式階行列式 2 3231 2221 1211 aa aa aa . 312213332112322311 aaaaaaaaa (1)(1) 三階行列式的計算三階行列式的計算 322113312312332211 aaaaaaaaa D 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D . .列標列標 行標行標 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 第1頁/共53頁 3 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方 程組引入的程組引入的. 對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式

2、的計算 . 21122211 2221 1211 aaaa aa aa ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 第2頁/共53頁 4 2.全排列及其奇偶性全排列及其奇偶性 引 例引 例 把把3個不同的數(shù)字個不同的數(shù)字1、2、3排成一列，共有多少種排排成一列，共有多少種排 法？法？ 顯然，左邊位置上可以從顯然，左邊位置上可以從1、2、3三個數(shù)字中任選三個數(shù)字中任選 一個，所以有三種放法；中間位置上只能從剩下的一個，所以有三種放法；中間位置上只能從剩下的

3、兩個數(shù)字中選一個，所以有兩個數(shù)字中選一個，所以有2種放法；右邊位置上種放法；右邊位置上 只能放最后剩下的一個數(shù)字，所以只有只能放最后剩下的一個數(shù)字，所以只有1種放法種放法 因此共有因此共有321=6種放法種放法.這這6種不同的排法是種不同的排法是123 ，231，312，132，213，321. 第3頁/共53頁 5 對于對于n n個不同的元素，也可以提出類似的問題，把個不同的元素，也可以提出類似的問題，把n n 個不同的元素排列成一列，共有幾種不同的排法？個不同的元素排列成一列，共有幾種不同的排法？ 把把n n個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這n n個元素的全個元素的全

4、 排列（簡稱排列）排列（簡稱排列）. .一般一般,n,n個自然數(shù)個自然數(shù)1,2,1,2,n,n的一個的一個 排列可以記作排列可以記作 其中其中 是某種次序下的自然數(shù)是某種次序下的自然數(shù)1,2, ,n.n個個 不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用 Pn表示表示.由引例由引例 結果可知結果可知 n ii i 21 n iii 21 3 3 2 1P 仿照引例的推導方式我們?nèi)菀椎玫椒抡找耐茖Х绞轿覀內(nèi)菀椎玫?(1)3 2 1! n Pn nn 第4頁/共53頁 6 在任意在任意n階排列階排列 中，當某兩個數(shù)大數(shù)排在中，當某兩個數(shù)大數(shù)排在 小數(shù)的前面，就稱這兩個數(shù)構成一

5、個逆序。小數(shù)的前面，就稱這兩個數(shù)構成一個逆序。 一個一個n階排列階排列 所有逆序的總數(shù)稱為這個所有逆序的總數(shù)稱為這個 排列的逆序數(shù)，記作排列的逆序數(shù)，記作 n ii i 21 )( 21n ii it n ii i 21 第5頁/共53頁 7 計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列; 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. 排列的奇偶性排列的奇偶性 分別計算出排在分別計算出排在 1,2, ,n-1 前面比它們大的前面比它們大的 數(shù)的個數(shù)分別為數(shù)的個數(shù)分別為m1,m2,mn-1,則則m1+m2+mn-1即為這即為這

6、個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù). 即即 t(i1i2in)=m1+m2+mn-1 第6頁/共53頁 8 例例1 1 (1) 求排列求排列32514的逆序數(shù)的逆序數(shù). 解解在排列在排列32514中中, 1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個；個； 2的前面比的前面比2大的數(shù)有大的數(shù)有1個個; 3的前面比的前面比3大的數(shù)有大的數(shù)有0個個; 4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個; 故故t(32514)=3+1+0+1=5,該排列是奇排列。該排列是奇排列。 第7頁/共53頁 9 321212 nnn 解解 12 , 2 1 nn 當當 時為偶排列；時為偶排列； 14 ,4 kkn 當當 時為奇排

7、列時為奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn 第8頁/共53頁 10 kkkkkk132322212123 解解 0 t k kk 2 1112 , 2 k 當當 為偶數(shù)時，排列為偶排列，為偶數(shù)時，排列為偶排列， k 當當 為奇數(shù)時，排列為奇排列為奇數(shù)時，排列為奇排列.k 1 1 2 kkk 112 kkkkk0 1 1 2 2 k 第9頁/共53頁 11 定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余 元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做 對換對換 將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做將

8、相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換相鄰對換 ml bbbaaa 11 例如例如 ba ml bbabaa 11 ab nml ccbbbaaa 111 nml ccabbbaa 111 b a a b 對換的定義對換的定義 第10頁/共53頁 12 定理定理1 1一個排列中的任意兩個元素對換，排列一個排列中的任意兩個元素對換，排列 改變奇偶性改變奇偶性 證明證明設排列為設排列為 ml bbabaa 11 對換對換 與與 ab ml bbbaaa 11 除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.b,a abba 對換與排列的奇偶性的關系對換與排列的奇偶性的關系 第11頁/共53頁

9、13 當當 時，時，ba a b的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1 , 經(jīng)對換后經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.ab 因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性. 設排列為設排列為 nml cbcbabaa 111 當當 時，時，ba 現(xiàn)來對換現(xiàn)來對換 與與a.b 第12頁/共53頁 14 a依次與依次與b1,b2, ，bm .b交換共交換共m+1次，然后次，然后b 與與bm, , b2,b1交換，共交換交換，共交換m次，兩次共交換次，兩次共交換2m+1次，故次，故 奇偶性改變。奇偶性改變。

10、第13頁/共53頁 15 推論推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù). . 證明證明 由定理由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性知對換的次數(shù)就是排列奇偶性 的的 變化次數(shù)變化次數(shù), 而標準排列是偶排列而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0),因此因此 知推論成立知推論成立. 例例 ： )(),()(),()(0123434112431343241 同為偶數(shù)。同為偶數(shù)。 對換次數(shù)為對換次數(shù)為2次次 ， 43241 )( 第14頁/共53頁 16 三階行列式三階行列式 333231 23222

11、1 131211 aaa aaa aaa D 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa 說明說明 （1）三階行列式共有）三階行列式共有 項，即項，即 項項6!3 （2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的 乘積乘積 三、三、n n階行列式的定階行列式的定義義 第15頁/共53頁 17 （3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列的三個元素的下標排列 例如例如 322113 aaa列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 , 211

12、312 t 322311 aaa 列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 , 101132 t 偶排列偶排列 奇排列奇排列 正號正號 ,負號負號 .)1( 321 321 333231 232221 131211 ppp t aaa aaa aaa aaa 第16頁/共53頁 18 12 2 12 11121 21222 12 ( 1). n t jjnj n n nnnn nn n aaa aaa aaa D aaa 由個數(shù)組成的階行列式等于所有 取自不同行不同列的個元素的乘積 的代數(shù)和 記作 定義定義 ).det( ij a簡記作簡記作 ij aD數(shù)稱為行列式 的第i行第j列元素 第17頁/

13、共53頁 19 1 2 12 n j jjn t 其中為自然數(shù) ， ， ， 的一個排列， 為這個排列的逆序數(shù) 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 1 n n n n n nnnn t j jj jjnj j jj aaa aaa D aaa aaa 第18頁/共53頁 20 說明說明 1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方 程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要 而定義的而定義的; 2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和; n!n 3、 階行列式的每項都是位于不同行、不階行列式

14、的每項都是位于不同行、不 同列同列 個元素的乘積個元素的乘積; n n 4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆; aa 12 12 n jjnj a aa 5 前面的符號為（前面的符號為（1）t 第19頁/共53頁 21 例例1 1計算對角行列式計算對角行列式 0004 0030 0200 1000 分析分析 展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是 1234 1234jjjj a a a a 1 4j 若 1 1 0, j a 從而這個項為零，從而這個項為零， 所以所以 只能等于只能等于 , 1 j 4 同理可得同理可得234 3,2,1jjj 解解 第

15、20頁/共53頁 22 0004 0030 0200 1000 43211 4321 t .24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為 .aaaa 41322314 例例2 2 計算上計算上三角行列式三角行列式 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 第21頁/共53頁 23 分析分析 展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是 , n jn 1 1 , n jn 321 3,2,1, n jnjj 所以不為零的項只有所以不為零的項只有 . 2211nn aaa nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 nn nt aaa 2211 12 1

16、 . 2211nn aaa 解解 12 12 n jjnj a aa 第22頁/共53頁 24 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 nnnnn aaaa aa a 321 2221 11 00 000 . 2211nn aaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 第23頁/共53頁 25 ; 21n 1 2 00 00 00 n 特別地，特別地，對角行列式對角行列式 第24頁/共53頁 26 12 12 1 n t jjj n Da aa 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n 其中其中t t 為行標排列為行標排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . 證證 明明 按行列式定義按

17、行列式定義 有有 12 , n jjj 第25頁/共53頁 27 12 112 1 n t jjj n Da aa 記記 對于對于D中任意一項中任意一項 總有且僅有總有且僅有 中的某一項中的某一項 1 D 12 12 1, n s iii n a aa 與之對應并相等與之對應并相等;反之反之, 對于對于 中任意一項中任意一項 1 D 12 12 1, n t jjj n a aa 也總有且僅有也總有且僅有D中的某一項中的某一項 12 12 1, n s iini a aa 與之對應并相等與之對應并相等, 于是于是D與與 1 D 中的項可以一一對應并相等中的項可以一一對應并相等, 從而從而. 1

18、 DD 12 12 1 n t jjnj Da aa 1 t 12 12 n jjnj a aa 第26頁/共53頁 28 定理定理3 3 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n 1 12 2 1 n n t i ji ji j Da aa 例例1 1 試判斷試判斷 和和 655642312314 aaaaaa 662551144332 aaaaaa 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項. 解解 655642312314 aaaaaa 下標的逆序數(shù)為下標的逆序數(shù)為 6102210431265 t 所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.655642312314 aaaaaa

19、 其中其中 是兩個是兩個 階排列，階排列， t為行為行 標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和 1 21 2 , nn iiij jj 第27頁/共53頁 29 662551144332 aaaaaa 下標的逆序數(shù)為下標的逆序數(shù)為 8452316 t 所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.662551144332 aaaaaa 第28頁/共53頁 30 例例2 2 在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號. ;)1( 651456423123 aaaaaa .)2( 256651144332 aaaaaa 解解 651

20、456423123 )1(aaaaaa 431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 012201 t, 6 所以所以 前邊應帶正號前邊應帶正號. 651456423123 aaaaaa , 655642312314 aaaaaa 第29頁/共53頁 31 行標排列行標排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 列標排列列標排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 400301 t 所以所以 前邊應帶正號前邊應帶正號. 256651144332 aaaaaa 256651144332 )2(aaaaaa 6400200 t 第30頁/共53頁 32 矩陣與行列式的有何區(qū)別矩陣與行列式的有何區(qū)別? ? 思考題解答思考

21、題解答 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個 算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而 矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同. 思考題思考題 第31頁/共53頁 33 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 例如例如 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 32

22、31 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 四、行列式按行（列）展開 第32頁/共53頁 34 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和行和 第第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做階行列式叫做 元素元素 的的余子式余子式，記作，記作 n ij a ij 1 n ij a .M ij ，記記 ij ji ij MA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ij a 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aa

23、aa aaaa D 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M 第33頁/共53頁 35 , 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D , 444341 343331 242321 12 aaa aaa aaa M 12 21 12 1MA . 12 M , 333231 232221 131211 44 aaa aaa aaa M .1 4444 44 44 MMA .個個代代數(shù)數(shù)余余子子式式 對對應應著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的

24、的每每個個元元素素分分別別 第34頁/共53頁 36 引理引理 一個一個 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有 元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它與它 的代數(shù)余子式的乘積，即的代數(shù)余子式的乘積，即 ijij AaD n i ij a ij a 44434241 33 24232221 14131211 000 aaaa a aaaa aaaa D .1 444241 242221 141211 33 33 aaa aaa aaa a 例如例如 第35頁/共53頁 37 證證 當當 位于第一行第一列時位于第一行第一列時, ij a nnnn

25、 n aaa aaa a D 21 22221 11 00 即有即有. 1111M aD 又又 11 11 11 1MA , 11 M 從而從而. 1111A aD 在證一般情形在證一般情形, 此時此時 第36頁/共53頁 38 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 ,1,2,1行對調(diào)行對調(diào)第第行行第第行行行依次與第行依次與第的第的第把把 iiiD 得得 nnnjn nijii ij i aaa aaa a D 1 , 1, 11 , 1 1 00 1 ij a ij a 第37頁/共53頁 39 , 1,2,1 對對調(diào)調(diào) 列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第

26、的的第第再再把把 jjjD 得得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 11 00 11 ij a 第38頁/共53頁 40 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 2 00 1 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 1 ij a ij a 第39頁/共53頁 41 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 中的余子式中的余子式. ij M 在在余余子子式式仍仍然然是是 中中的的在在行行列列式式元元素素 ij n

27、njnnj nijiji ij ij a aaa aaa a a 1, , 11, 1, 1 00 ij a ij a 第40頁/共53頁 42 故得故得 nnjnnj nijiji ij ji aaa aaa a D 1, , 11, 1, 1 00 1 ijij ijij ji Aa Ma 1 于是有于是有 nnjnnj nijiji ij aaa aaa a 1, , 11, 1, 1 00 , ijijM a ij a ij a 第41頁/共53頁 43 定理定理2 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素 與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對應的代數(shù)

28、余子式乘積之和，即 ininiiii AaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 njnjjjjj AaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 第42頁/共53頁 44 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 ininiiii AaAaAa 2211 ni, 2 , 1 第43頁/共53頁 45 例例6 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 第44頁/共53頁 46 055 1111 115 )1( 33 055 026 115 55 26 )1( 31 50 28 .40 12 rr 第45頁/共53頁 47 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行