數(shù)學(xué)教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想探討

1、數(shù)學(xué)教學(xué)融入數(shù)學(xué)建模思想探討 摘要：將數(shù)學(xué)建模思想潛移默化地貫穿于高等數(shù)學(xué)不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)應(yīng)用型本科學(xué)生創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力的重要途徑。文章闡述了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)融入建模思想的方法，提出了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入建模思想尚待解決的問(wèn)題。 關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模思想；應(yīng)用能力 高等數(shù)學(xué)是應(yīng)用型本科理、工、經(jīng)、管等多個(gè)學(xué)科的一門(mén)必修的基礎(chǔ)課程，是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)目標(biāo)和提高學(xué)生思維能力、應(yīng)用能力的重要載體，在應(yīng)用型本科教育中具有舉足輕重的地位和作用。然而傳統(tǒng)的教學(xué)重點(diǎn)側(cè)重于數(shù)學(xué)公式、命題、數(shù)學(xué)理論、邏輯推理等方面，不注重學(xué)生課內(nèi)和課外與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的實(shí)踐能力訓(xùn)練，這不僅不利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

2、興趣，也造成學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的匱乏和應(yīng)用意識(shí)的薄弱，最終在實(shí)踐中缺乏應(yīng)用能力。為此，全國(guó)高等院校數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會(huì)提出，“要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型并利用計(jì)算機(jī)分析處理實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練”。這就要求我們必須改革傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)純理論教學(xué)模式，將建模的思想和方法融入到教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力。 一、數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要是人們從紛繁復(fù)雜的實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，用簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法概括抽象化為數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)分析、推理、數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)算機(jī)求出此模型的解或近似解，然后再返回實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際情況修改模型，使之逐漸完善。這個(gè)全過(guò)程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模思想是指把“數(shù)學(xué)知識(shí)、方法

3、”與“實(shí)際問(wèn)題解決”緊密聯(lián)系起來(lái)的一種思想1。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)方法把實(shí)際問(wèn)題抽象概括為數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵性的步驟，是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的具體表現(xiàn)，雖然很難直接套用現(xiàn)成的模式或結(jié)論，但數(shù)學(xué)建模思想始終在起作用。將數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是滲透數(shù)學(xué)建模思想。高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程中，從概念和知識(shí)的形成，到知識(shí)的應(yīng)用處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)建模思想，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模的觀點(diǎn)和思考方式解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的能力2。 二、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的方法和途徑 （一）用建模的案例引入數(shù)學(xué)概念。高等數(shù)學(xué)中的許多概念背后都蘊(yùn)含著實(shí)際背景，數(shù)學(xué)教育要高度重視其來(lái)龍去脈，使學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知

4、識(shí)的發(fā)生過(guò)程和應(yīng)用價(jià)值。在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用提出的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生了解怎樣將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)并用數(shù)學(xué)方法定量描述實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，怎樣對(duì)模型進(jìn)行提煉最終抽象為數(shù)學(xué)概念，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。數(shù)學(xué)概念高于原型，用這些模型可以刻畫(huà)和解決同一類型的其它問(wèn)題。比如，在講授定積分概念時(shí)從求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程等實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用極限思想方法通過(guò)分割、近似代替、求和、取極限的方式解決這些問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上抽象、歸納、提煉出定積分定義。講解過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)“以直代曲”、“以不變代變”、“化整為零求近似，積零為整取極限”的數(shù)學(xué)思想方法。在此基礎(chǔ)上，可以提出一些相

5、似的問(wèn)題如“求截面面積已知的立體體積”、“旋轉(zhuǎn)體的體積”等，讓學(xué)生用類比的方法建立數(shù)學(xué)模型并解決問(wèn)題。這樣，讓學(xué)生切身感受怎樣在解決問(wèn)題的過(guò)程中“發(fā)明”這些概念和方法，又會(huì)讓他們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念是從我們的生活實(shí)際中抽象出來(lái)的，并不是表面上看起來(lái)那樣枯燥難懂，既了解了數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用價(jià)值，又鍛煉了解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)了新的知識(shí)，一舉多得。（二）將數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和數(shù)學(xué)模型結(jié)合。數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，可以是解決現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題，也可以是解決數(shù)學(xué)發(fā)展中的理論問(wèn)題或應(yīng)用問(wèn)題，只要這些問(wèn)題是學(xué)生容易理解并且可以利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)解決的,在教學(xué)中教師都可以結(jié)合所學(xué)內(nèi)容,選取適當(dāng)?shù)膯?wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，通過(guò)抽象

6、、簡(jiǎn)化、假設(shè)、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒛Ｐ透倪M(jìn)、模型推廣等步驟加以示范，使學(xué)生經(jīng)歷建立模型解決問(wèn)題的過(guò)程,從而加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,訓(xùn)練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。如，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用時(shí)，對(duì)課本中“用需求彈性分析總收益”這一知識(shí)點(diǎn)，可以改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，用數(shù)學(xué)建模的方式學(xué)習(xí)能起到事半功倍的作用。教師首先提出“在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，降價(jià)能增收嗎？”這一問(wèn)題，讓學(xué)生分析影響收益的因素，建立收益與需求彈性之間的模型，用函數(shù)的單調(diào)性分析結(jié)論，學(xué)生真切地感受到怎樣通過(guò)數(shù)學(xué)建模利用微積分知識(shí)解決提出的問(wèn)題，以及抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性。再如，極值的應(yīng)用，可以和日常生活中易拉罐的設(shè)計(jì)聯(lián)系起來(lái)，先提出一個(gè)簡(jiǎn)

7、單問(wèn)題：容積一定的帶蓋圓柱形容器，怎樣設(shè)計(jì)用料最??？通過(guò)建立和求解表面積最小的模型，得出結(jié)論：當(dāng)?shù)酌嬷睆脚c高相等的時(shí)候用料最省。然后讓學(xué)生思考為什么易拉罐的高比底面直徑要大。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，它的上下底比側(cè)面的用料厚一些?？梢?jiàn)，上下底與側(cè)壁用料的材質(zhì)對(duì)圓柱形容器的設(shè)計(jì)結(jié)果是有影響的。接下來(lái)，我們假設(shè)易拉罐上下底的厚度是側(cè)壁厚度的倍，再建立模型求解，得出結(jié)論：高是底面直徑的k倍時(shí)，用料最省。在完成這個(gè)問(wèn)題之后，可以繼續(xù)讓學(xué)生探討如果上下底厚薄又不一樣怎樣設(shè)計(jì)用料最?。繉W(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析和探索，不僅找出了問(wèn)題的答案，還從定量的角度解釋了易拉罐制做成這樣形狀的原因。這個(gè)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生觀察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

8、和解決問(wèn)題的能力，提高了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。（三）在課外練習(xí)中強(qiáng)化建模訓(xùn)練。數(shù)學(xué)習(xí)題中的應(yīng)用題是最簡(jiǎn)單的一類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，雖然是經(jīng)過(guò)加工處理和簡(jiǎn)化過(guò)的，但仍是有實(shí)際背景和實(shí)際意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要建立數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，為運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法提供平臺(tái)，為實(shí)際應(yīng)用提供思路。解應(yīng)用題訓(xùn)練，是直接或間接利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、模型來(lái)達(dá)到應(yīng)用的目的。在布置作業(yè)時(shí)，適當(dāng)增加應(yīng)用題數(shù)量，讓學(xué)生在做習(xí)題中培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思維。在課堂外，適當(dāng)布置一些與學(xué)生專業(yè)相聯(lián)系或從實(shí)際生活中采集到的開(kāi)放型應(yīng)用題，要求學(xué)生自己去獲得原始數(shù)據(jù)，查找相關(guān)資料，自由組合成學(xué)習(xí)小組，通過(guò)分工協(xié)作，分析討論，按照數(shù)學(xué)建模的方法步驟建立模型

9、解決問(wèn)題，并以小論文的形式提交結(jié)果。例如，在學(xué)完定積分的計(jì)算后，布置學(xué)生課后去測(cè)量和計(jì)算學(xué)校附近的一些不規(guī)則的小花園，池塘等的面積。再如，在學(xué)習(xí)了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理之后，課外讓學(xué)生完成以下數(shù)學(xué)建模小問(wèn)題：“一個(gè)不規(guī)則的蛋糕能平均分成二部分嗎？”；“在不十分平坦的地面上，椅腳一樣長(zhǎng)的正方形椅子能否放穩(wěn)當(dāng)？”。這樣的問(wèn)題將抽象的數(shù)學(xué)理論與生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生興趣盎然，能真正體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的樂(lè)趣，提高分析綜合能力、抽象概括能力、理論聯(lián)系實(shí)際能力、創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 三、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想尚待解決的問(wèn)題 （一）將數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和實(shí)

10、踐能力。基礎(chǔ)數(shù)學(xué)軟件Matlab和Mathematica等都是功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)建模中是強(qiáng)有力的工具，引入這些軟件來(lái)輔助教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)掌握現(xiàn)代化的計(jì)算工具和手段，培養(yǎng)學(xué)生用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理和運(yùn)算的能力。由于數(shù)學(xué)軟件的方便快捷，傳統(tǒng)教學(xué)中繁瑣復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題如求極限，求導(dǎo)數(shù)，求積分，求多元函數(shù)極值、解微分方程等就變得迎刃而解，我們可以更多的把時(shí)間用在概念、數(shù)學(xué)思想的理解和實(shí)踐能力的訓(xùn)練方面，高素質(zhì)的應(yīng)用人才才能以培養(yǎng)。（二）加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè)，培養(yǎng)應(yīng)用型數(shù)學(xué)教師。作為應(yīng)用型本科院校的數(shù)學(xué)教師不僅要具有適應(yīng)本科教學(xué)的學(xué)術(shù)理論水平，而且應(yīng)該同時(shí)具有較強(qiáng)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用能力。但目前大多數(shù)

11、數(shù)學(xué)教師都是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè),在課堂教學(xué)方面停留在過(guò)去所接受的專業(yè)教育認(rèn)知去教學(xué)生，很難和學(xué)生所學(xué)的專業(yè)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，因此應(yīng)用型本科院校應(yīng)從人才引進(jìn)、人才培訓(xùn)、人才激勵(lì)等方面給予必要的政策傾斜，大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)師資隊(duì)伍的建設(shè)。 四、結(jié)語(yǔ) 將數(shù)學(xué)建模思想方法融入教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師要統(tǒng)籌安排，有目的有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，選擇與教學(xué)內(nèi)容相近、與學(xué)生專業(yè)相關(guān)且適合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的模型穿插在教學(xué)中，不需要拘泥于建模的全過(guò)程，講解模型適可而止，可引導(dǎo)學(xué)生課下思考、求解、驗(yàn)證。將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的應(yīng)用型本科人才的一種有效的方法，同時(shí)也是一項(xiàng)長(zhǎng)期性的教學(xué)研究工作，我們不僅要從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程作進(jìn)一步研究，還要從課