2021屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題訓(xùn)練拋物線4?含解析?

1、拋物線1、 單選題1設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知，且，拋物線上一點(diǎn)滿足，若線段的垂直平分線過點(diǎn)，則直線的斜率為ABCD解：因?yàn)?，且軸，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€垂直平分，且點(diǎn)在上，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，故選：2已知圓，若拋物線與圓的交點(diǎn)為，且，則A6B4C3D2解：設(shè)，則，由圓，得圓心，半徑，所以，因?yàn)椋?，所以，即，解得，故選：3拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛如圖，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的兩條光線，分別經(jīng)拋物線上的，兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與軸所成銳角均為，則兩條反射光線和之間的距離為

2、ABCD解：由，得，又，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以或（舍去），即，同理直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以或（舍去），即，所以，即兩條反射光線的距離為，故選：4已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)在第一象限），過，兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A1BC2D解：設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的定義可知，因?yàn)檩S，所以四邊形是菱形，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以，在菱形中，所以，所以是的中點(diǎn)，又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以，在直角三角形中，所以，又，所以直線的斜率，故選：5拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為A8B

3、9C10D11解：拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，綜上，的最小值為9故選：6過拋物線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是ABCD解：設(shè)，由圓的方程可得圓心，半徑，設(shè)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，當(dāng)四邊形的面積最小，而為定值，所以最小時(shí)面積最小，而，所以最小時(shí)即可，此時(shí)，即，故選：7過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則ABCD解：設(shè)直線的傾斜角為：，可得，所以，解得，所以故選：8歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年年），大約100年后，阿

4、波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)設(shè)拋物線，一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A，B，C，D，解：設(shè)光線被拋物線反射的反射點(diǎn)為，則軸，把代入，得，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，直線的方程為，即，又，解得，或，故選：2、 多選題9設(shè)，是拋物線上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是A若，則B若，直線過定點(diǎn)C若，到直線的距離不大于1D若直線過拋物線的焦點(diǎn)，且

5、，則解：對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：若，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，或1，易知直線不過原點(diǎn)，直線的方程為：，恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，原點(diǎn)到直線的距離，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：直線過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，設(shè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸右側(cè)，故選項(xiàng)正確，故選：10在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，則AB以為直徑的圓與直線相切C的最小值D經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線與直線交點(diǎn)一定在定直線上解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，顯然過焦點(diǎn)的直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理可得：，可得，所以，；所以正確；以

6、為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，即，半徑，所以圓心到直線的距離為：等于半徑，所以圓與直線相切，所以正確；當(dāng)直線與軸平行時(shí)，所以的最小值不是，故不正確；直線的方程為：，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)椋越?jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線與直線交點(diǎn)在定直線上，故正確；故選：11已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于，兩點(diǎn)，分別為，在上的射影，且，為中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是AB直線的斜率為C的面積為D為等腰直角三角形解：令，又，正確，設(shè)，令，聯(lián)立，消可得，又因，或，即，錯(cuò)，到距離，正確，時(shí)，此時(shí)，不是等腰直角三角形，錯(cuò)，故選：12設(shè)，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則下列結(jié)論正確的有ABC直線過

7、拋物線的焦點(diǎn)D面積的最小值是2解：取，滿足，從而，故錯(cuò)誤；由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去整理可得：，則，因?yàn)?，所以，故直線過定點(diǎn)，正確；因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以直線過焦點(diǎn)，則由拋物線的性質(zhì)可得，正確；由以上可知直線的方程為，則，原點(diǎn)到直線的距離為，則三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形的面積的最小值為2，故正確，故選：3、 填空題13設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的兩條直線，分別交拋物線于點(diǎn)，且，的斜率，滿足，則的最小值為解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線，直線，聯(lián)立，整理得設(shè)，則，設(shè)，同理可得由拋物線的性質(zhì)可得：，又，的最小值為8故答案為：814如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且依次交拋物線及圓于、四點(diǎn)，則的最小值為解：拋物線的準(zhǔn)線為，所以，因?yàn)?，所以，同理，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，由得，所以，所以，綜上，的最小值為1115拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，上點(diǎn)在上的射影為，與軸相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則；解：如圖，由，得，由圖可知，為的中點(diǎn)，是線段的中線，因此，；，設(shè)，則，則或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)故答案為：；10或16已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為2的直線有且