第9講：變倍問題.doc

1、第8講變倍問題專題簡介1、 所謂“變倍問題” ，是指兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關系，隨著一個或者兩個數(shù)量的增加或者減少而發(fā)生改變的一類應用題。解答“變倍問題”一般要用到這樣一個規(guī)律：甲數(shù)是乙數(shù)的n 倍，如果乙數(shù)增加或者減少,那么甲數(shù)就要增加或者減少mn ，才能使甲數(shù)仍是乙數(shù)的n 倍。2、 變倍問題牢固樹立抓“不變量”的思想，變倍問題中的不變量，一般有三類，如下：“甲是乙的2 倍，甲是丙的3 倍”不變量是甲“甲是乙的3 倍，甲給乙2，甲變成乙的2 倍”不變量是甲、乙之和（給來給去和不變）“甲是乙的3 倍，甲、乙都減少2，甲變成乙的4 倍”不變量是甲、乙之差（同增同減差不變）3、解題方法：圖像法、假設法例

2、題精講一、圖像法例 1 、有甲、乙二人，今年甲的年齡是乙的5 倍。 22 年后，甲的年齡比乙的年齡的2 倍少 16 歲。今年甲、乙二人各多少歲？分析：根據(jù)題意畫出如右的線段圖：如果乙今年的年齡是一倍量，那么乙在22 年后的年齡就是一倍量多22 歲，甲22 年后的年齡就是 5倍量多22 歲。甲的年齡比乙的年齡的2 倍少 16 歲，我們畫出乙的2 倍：同樣，再去掉兩個人的相同部分：這時，甲剩下3 倍量，乙剩下6 歲，由此可得，一倍量為6 3=2 歲。所以，乙今年的年齡為2 歲，甲今年的年齡就是 2 5=10 歲?！揪毩曇弧?、 7 年前 張老師的年齡是王英的21 倍， 11 年后張老師的年齡是王英

3、的3 倍，問今年張老師和王英各多少歲？分析：用畫線段的方法來解答比較直觀。先畫出7 年前的情況：7 年前到 11 年后，一共經(jīng)過了7 11 18 （年），這18 年中王英增長了18 歲，張老師的年齡也增長了歲。在上圖的基礎上添加畫出11 年后的情況：11 年后張老師的年齡是王英的 3 倍，即王英的 3 倍長應該和張老師的一樣長。因此，我們將代表王英年齡的線段再畫出 2 個一樣的，并使得它和代表張老師年齡的線段對齊。然后將兩人相同部分同時去掉，這時我們可以看到，王英還剩下2 個 18 歲長的線段，張老師還剩下21 3=18 倍線段。他們兩個的剩下部分相等，說明18 倍量就等于2 個 18 歲，即

4、36 歲。所以，一倍量為182 18 2（歲）。那么，221 42 （歲）， 2 7 9（歲）， 42 7 49 （歲）。2、 已知小白兔儲藏的胡蘿卜數(shù)量是小黑兔儲藏數(shù)量的3 倍。小白兔吃了13 個胡蘿卜，小黑兔吃了胡蘿卜后，小白兔與小黑兔所剩的胡蘿卜的個數(shù)相同。求小白兔和小黑兔原來儲藏胡蘿卜多少個？分析：用線段圖表示題目里的已知條件和所求問題。183 個從圖上可以看出，小白兔吃了13 胡蘿卜，小黑兔吃了3 個胡蘿卜后，小黑兔與小白兔所剩胡蘿卜的個數(shù)一樣多， 也就是說原來小白兔比小黑兔多13-3=10 （個）胡蘿卜，正好是小黑兔儲藏胡蘿卜的（ 3-1）倍，把 10 個胡蘿卜平均分成2 份，每份

5、就是小黑兔儲藏胡蘿卜的個數(shù)，然后可以求出小白兔儲藏胡蘿卜的個數(shù)。解：（ 13-3 ）（ 3-1 ） +3=8 （個） ? 小黑兔，83=24 （個） ? 小白兔二、假設法例 2 、師生二人，今年老師的年齡是學生的4 倍。 5 年后，老師的年齡是學生的3 倍。今年師生二人各多少歲？分析一：今年老師的年齡是學生的4 倍。 5 年后，學生的年齡增加5 歲 ,這時如果老師的年齡增加5 4 歲，那么老師的年齡仍將是學生的4 倍。而實際上，老師的年齡只增加5 歲，比假設少增加（ 54-5）歲，也就少了學生5 年后年齡的（4-3 ）倍。因此學生5 年后的年齡是（5 4-5 ）（ 4-3 ） =15 （歲），

6、那么學生今年是15-5=10 （歲），老師今年是10 4=40 （歲）。注：上面的解題是依照題目中條件出現(xiàn)的先后順序按照由前向后發(fā)展的思路展開的，我們稱之為“正順序順向思維”。若用“反順序逆向思維”(按照由后向前還原的思路展開)解答變倍問題則會顯得更簡便。分析二： 5 年后，老師的年齡是學生的3 倍。在此基礎上，如果學生再減去5 歲，老師再減去5 3歲，那么學生的年齡等于原來年齡，老師的年齡比原來減少（5 3-5 ）歲，此時老師的年齡仍是學生的3倍。而實際上，老師的年齡是學生的4 倍。故知：（5 3-5 ）歲是學生今年年齡的（4-3 ）倍。因此學生今年是（ 5 3-5 ）（ 4-3 ） =10

7、 （歲），那么老師今年是104=40 （歲）。此題還可以用“抓不變量”的方法來解。分析三：因為今年與5 年后，師生二人的年齡差不變，所以可以把這個年齡差轉化為“標準量”。而今年學生的年齡是這個年齡差的1/（ 4-1 ）， 5 年后學生的年齡是這個年齡差的1/ （ 3-1 ）。故知：5 歲是這個年齡差的（1/（3-1 ） -1/ （ 4-1 ）。因此這個年齡差是5 1/（ 3-1） -1/（ 4-1 ） =30 （歲）。那么學生今年是 30 1/ （ 4-1 ） =10 （歲），而老師今年是10 4=40 （歲）?！揪毩?】1、蘋果的個數(shù)是梨子的3 倍，如果蘋果加上6 個，梨子也加上6 個，此時

8、蘋果個數(shù)是梨子的2 倍，問 :原來蘋果、梨子各多少個？2、在植樹勞動中，光明中學植樹的棵數(shù)是光明小學的3 倍，如果中學增加450 棵，小學增加400 棵，則中學是小學的 2 倍。求中、小學原來各植樹多少棵？例 3. 某工廠，甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的3 倍。根據(jù)工作需要，現(xiàn)在從乙車間調出8人到甲車間去，此時甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的5 倍。兩個車間原來各有多少人？“正順序順向思維”解一：甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的3 倍。從乙車間調出8 人，此時如果從甲車間調出 8 3 人，那么甲車間人數(shù)仍將是乙車間人數(shù)的3 倍。而事實上，甲車間不但沒有調出8 3 人，反而調入了8 人，比假設多（8 3+8 ）人，也

9、就多了乙車間調出8 人后人數(shù)的（5-3 ）倍。因此乙車間調出8 人后有（ 8 3+8 ）（ 5-3 ） =16 （人）。那么乙車間原有16+8=24（人），甲車間原有24 3=72 （人）?！胺错樞蚰嫦蛩季S”解二：調動8 人后，甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的5 倍。在此基礎上，如果乙車間調入 8 人，甲車間調入8 5 人，那么乙車間人數(shù)等于原來人數(shù)，甲車間人數(shù)比原來人數(shù)多（ 8 5+8 ）人，此時甲車間人數(shù)仍是乙車間人數(shù)的5。而事實上，甲車間人數(shù)是乙車間人數(shù)的3倍。故知：（ 8 5+8 ）人是乙車間原來人數(shù)的（5-3 ）倍。因此乙車間原來有（8 5+8 ）（ 5-3 ） =24 （人），那么甲車間原

10、來有24 3=72 （人）。“抓不變量”解三：因為調動前后，兩個車間的人數(shù)和不變，所以可以把這個人數(shù)和轉化為“標準量”。而乙車間的人數(shù)是這個人數(shù)和的1/（ 3+1 ），調出 8 人后，乙車間的人數(shù)是這個人數(shù)和的1/（ 5+1 ）。故知：8 人就是這個人數(shù)和的（1/ （ 3+1 ）-1/（ 5+1 ）。因此兩個車間一共有8（ 1/（ 3+1 ）-1/（ 5+1） =96（人）。那么乙車間原來有96 1/（3+1 ） =24 （人），而甲車間原來有24 3=72 （人）。注：像這樣，例1 可以找出不變的年齡差，例2 可以找出不變的人數(shù)和。而更多的“變倍問題”則不能找出不變量，只能假設倍數(shù)不變，用“

11、正順序順向思維”或者“反順序逆向思維”解答?！揪毩?】.1、兩堆煤，第一堆的重量是第二堆重量的一堆是第二堆的3 倍。兩堆煤原來各有多少噸？5 倍。第一堆用去36 噸，第二堆用去4 噸，剩下的重量，第“正順序順向思維”解一：第一堆重量是第二堆的5 倍，第二堆用去4 噸，如果第一堆用去那么第一堆剩下的重量仍是第二堆剩下重量的5 倍。而事實上，第一堆比假設多用去（36-4 45噸，5）噸，也就少剩下第二堆剩下重量的（ 5-3）倍。因此第二對剩下的重量是（二堆原來有 8+4=12 （噸），第一堆原來有 12 5=60 （噸）。36-45 ）（5-3 ）=8 （噸）。那么第“反順序逆向思維”解二：第二堆

12、原來有（36-4 3）（ 5-3 ）=12 （噸），第一堆原來有12 5=60 （噸）。注：當然，對于復雜的或者變式的變倍問題，有的只能用“正順序順向思維”解答，而有的就只能用“反順序逆向思維”解答，這需要具體問題具體分析。2、丁曉原有書的本數(shù)是王陽的5 倍，若兩人同時各借出5 本給其他同學，則丁曉書的本數(shù)是王陽的10倍，兩人原來各有書多少本？3、兩堆煤，第一堆是第二堆的2 倍，第一堆用去8 噸，第二堆用去11 噸，第一堆剩下的重量是第二堆的4 倍。求第二堆煤原來是多少噸？例 4 、王明平時積蓄下來的零花錢比陳剛的3 倍多 6.40 元，若兩個人各買了一本4.40 元的故事書后，王明的錢就是陳

13、剛的8 倍，陳剛多少元？分析：假設仍然保持王明的錢比陳剛的3 倍多 6.40 元，則王明要相應地花去4.40 3 13.20 元，但王明只花去了4.40 元，比 13.20 元少 13.20 4.40 8.80 元，那么王明買書后的錢比陳剛買書后的錢的3 倍多 6.40+8.80 15.20 元，而題中已告訴：買書后王明的錢是陳剛的8 倍，所以，15.20 元就對應著陳剛花錢后剩下錢的8 3 5 倍。原來有零花錢:6.40+ （ 4.40 3 4.40 （ 83） +4.40 7.44 （元）【練習二】1、甲書架上的書比乙書架上的 3 倍多 50 本，若甲、乙兩個書架上各增加 150 本，則甲

14、書架上的書是乙書架上的 2 倍，甲、乙兩個書架原來各有多少本書？2、上學年，馬村中學的學生比牛莊小學的學生的2 倍多 54 人，本學年馬村中學增加了20 人，牛莊小學減少了8 人，則馬村中學的學生比牛莊小學的學生的4 倍少 26 人，上學年馬村中學和牛莊小學各有學生多少人？3、箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球比白球的3 倍多 2 粒，每次從箱子里取出7 粒白球和15 粒紅球，若干次后，箱子里剩下3 粒白球和53 粒紅球，那么，箱子里白球原有多少粒？【奧數(shù)天天練】【星期一】1、甲數(shù)是乙數(shù)的4 倍。如果甲數(shù)增大20 ，乙數(shù)增大 70 ，則甲數(shù)是乙數(shù)的2 倍。問：甲、乙兩數(shù)各是多少？【星期二】2、今年爸爸的年齡是小光年齡的5 倍， 6 年后，爸爸的年齡是小光年齡的3 倍，問今年爸爸、小光的年齡各多少歲【星期三】3、兩個工程隊，甲隊的人數(shù)是乙隊人數(shù)的3 倍，因工作需要，從乙隊調出9 人進入甲隊，這