測度論中的存在性及唯一性_第1頁
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文檔簡介

1、測度論中的存在性及唯一性 論文關(guān)鍵詞:-系;-代數(shù);概率測度;延拓論文摘要: 測度論是現(xiàn)代的一個(gè)重要分支，在概率、隨機(jī)過程、微分方程、微分幾何中有廣泛應(yīng)用。測度理論是實(shí)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。集類知識與單調(diào)類定理是測度論中的基礎(chǔ)，特別是單調(diào)類定理.這個(gè)定理是一個(gè)很要緊的定理.在后面證明測度唯一性定理，乘積測度存在定理等重要的定理中有涉及。在嚴(yán)加安老師的測度論講義上這個(gè)定理有兩個(gè)版本，目前該書是對單調(diào)類方法應(yīng)用的最多的。有一些看起來很難的問題，也許用這個(gè)定理會相當(dāng)簡單.將定義在一個(gè)族上的概率測度延拓為包含該族的一個(gè)上的概率測度,在許多重要場合,特別是在學(xué)中有著十分重要的意義.關(guān)于這種延拓的存在性、唯一性

2、等,給測度論提出了一系列新的理論課題,本文試圖對族上概率測度的延拓問題作一些初步探討. 的定義設(shè) 為 上的一族非負(fù)有界函數(shù)，稱 為 族，如果它滿足下列條件：(1) ； 且 有界 。設(shè)c為 上的一族非負(fù)有界函數(shù)，我們用 表示包含c的最小 族，并稱 為由c生成的 族。證明：測度論中 的存在性及唯一性 b（ ） 有界 c b（ ）.往證：包含c的 族最小存在，且唯一，記為 .令 c, 是 族 .由于 故 非空，記 （一） 是含c的 族驗(yàn)證： ， 有界，必有 .任意固定 故 .又 有界，而 是 族，故 ，從而 （二）設(shè) 也是含c的 族，且是最小的。顯然 ， = = 族性質(zhì)的引申：設(shè) 為 上的一族非負(fù)有

3、界函數(shù)，我們用 表示非負(fù)有界 可測函數(shù)全體，則下列二斷言等價(jià)：（1） ）= ；（2） proof： ,首先設(shè) 成立    第一步：令 1       （#）    則：（a） 1      proof：由（2）知：       1      (b) 1是 族       proof:：由（a）知 ，若 1， ，  由定義        而 1        設(shè) 不變   均      即 1     設(shè) 1  ， 有界  則           1 1是 族    &n

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