專題10 基本初等函數(shù)（知識梳理）（文）（原卷版）附答案

1、專題10 基本初等函數(shù)（知識梳理）一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)式的化簡與求值1、化簡原則：化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；注意運算的先后順序。提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中,其底數(shù)都大于零,否則不能用性質(zhì)來運算。2、結(jié)果要求：題目以根式形式給出,則結(jié)果用根式表示；題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式給出,則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示；結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。例1-1已知,則化簡的結(jié)果是( )。A、 B、 C、 D、變式1-1化簡的結(jié)果是( )。A、 B、 C、 D、變式1-2已知,求下列各式的值：(1)；(2)；(3)。(二)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2、1、定義：一般地,函數(shù)(且)叫做指數(shù)函數(shù),其中是自變量。2、圖象和性質(zhì)：圖象共性必過第一、二象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸圖形都是下凹的,都是無界函數(shù) 定義域為,值域為異性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)(1)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì),特別是函數(shù)圖像的無限伸展性,軸是函數(shù)圖像的漸近線。當(dāng)時,； 的值越小,圖像越靠近軸,遞減的速度越快。當(dāng)時,； 的值越大,圖像越靠近軸,遞增的速度越快。(2)畫指數(shù)函數(shù)(且)的圖像,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：、。注意：與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象問題的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象。一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象利

3、用數(shù)形結(jié)合求解。(3)熟記指數(shù)函數(shù)、在同一坐標(biāo)系中圖像的相對位置,由此掌握指數(shù)函數(shù)圖像的位置與底數(shù)大小的關(guān)系。(4)在有關(guān)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的變形、求值過程中,要注意運用方程的觀點處理問題,通過解方程(組)來求值,或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來求解。(5)比較指數(shù)冪值的大小時,要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相等。是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,還是用冪函數(shù)的單調(diào)性。要注意指數(shù)函數(shù)圖象和冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)“底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)”。還應(yīng)注意中間量、等的運用。注意：(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,值域為大于的實數(shù)集合,這里的前提是大于,對于不大于的情況,則必然使得函數(shù)的定義

4、域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。(2)可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當(dāng)從趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于),函數(shù)的曲線從分別接近于軸與軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于軸的正半軸與軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線是從遞減到遞增的一個過渡位置。例1-2函數(shù)(且)的圖象可能是( )。A、 B、 C、 D、例1-3函數(shù)(且)必過 點。變式1-3函數(shù)(且)必過 點。變式1-4函數(shù)(且)必過 點。例1-4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。A、 B、 C、 D、例1-5求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)； (2)； (3)； (4)(且)。(三)指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例1-6設(shè),則、的大

5、小關(guān)系為( )。A、 B、 C、 D、例1-7已知,那么、的大小關(guān)系是( )。A、 B、 C、 D、無法確定例1-8設(shè)函數(shù)(且),則( )。A、 B、 C、 D、例1-9當(dāng)時,證明函數(shù)是奇函數(shù)。二、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)及其運算1、一般地,對于指數(shù)式,我們把“以為底的對數(shù)”記作(且)。其中叫做對數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù)。對數(shù)函數(shù)的一般形式為(且),它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。注意：(且)的關(guān)系是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中要注意靈活運用。下圖給出對于不同大小所表示的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖形：圖像指數(shù)函數(shù)：與對數(shù)函數(shù)：與可以看到對數(shù)函數(shù)的

6、圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。2、對數(shù)的運算規(guī)律： (且,)(1),；(2),；(3),；(4)；推廣。注意：在運用時,在無的條件下應(yīng)為(且為偶數(shù))。3、幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為(且)常用對數(shù)底數(shù)為自然對數(shù)底數(shù)為4、對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的,因此,經(jīng)常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時,必須保證恒等變形。利用對數(shù)運算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例2-1求值：(1)； (2)； (3)。例2-2求值：(1)若,求的值；(2)若,求的值。變式2-1關(guān)于的方程的解為 。變

7、式2-2已知函數(shù),若,則 。 (二)對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的圖像圖像共性必過第一、四象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸都是無界函數(shù) 定義域為,值域為異性在上是增函數(shù),圖形都是上凸的在上是減函數(shù),圖形都是下凹的2、對數(shù)函數(shù)比較大小對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：單調(diào)性法,在同底的情況下直接得到大小關(guān)系,若不同底,先化為同底。中間值過渡法,即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù),一般是用“”、“”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”。圖像法,根據(jù)圖像觀察得出大小關(guān)系。作差或作商法。3、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)對數(shù)函數(shù)(且),(且)若指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化成對數(shù)函數(shù),但這么寫不符合函數(shù)形式,

8、就把命名為 指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱,即互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱例2-3設(shè),則( )。A、B、C、D、變式2-3設(shè),則( )。A、B、C、D、4、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用研究對數(shù)型函數(shù)的圖像時,一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖像入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到對數(shù)型函數(shù)的圖像。例2-4作出下列函數(shù)的圖像：,； ；。例2-5已知函數(shù)(且),若當(dāng)時,則在定義域上是()。A、減函數(shù)B、增函數(shù)C、常數(shù)函數(shù)D、不單調(diào)的函數(shù)例2-6求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間：(1)； (2)； (3)； (4)。變式2-4求函數(shù)的定義域。變式2-5已知,(且),若,則與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像

9、可能是()。A、 B、 C、 D、變式2-6已知(且),求的定義域并判斷的單調(diào)性。三、冪函數(shù)(一)冪函數(shù)的定義：一般地,形如()的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù)。1、判斷冪函數(shù)需：系數(shù)為,底數(shù)為變量,指數(shù)為一常數(shù),后面不加任何項。例如：,均不是冪函數(shù),再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別,例如：是冪函數(shù),是指數(shù)函數(shù)。2、由于冪函數(shù)的解析式中只含有一個參數(shù),因此只需一個獨立的條件即可確定其解析式,當(dāng)已知冪函數(shù)經(jīng)過某一點時,可采用待定系數(shù)法求出解析式。例3-1已知點在冪函數(shù)的圖像上,求的解析式。變式3-1已知函數(shù)是冪函數(shù),求的解析式。例3-2已知冪函數(shù)在上是增函數(shù),則()。A、B、C、或D、變式3-2已知函數(shù),當(dāng)

10、為何值時,：是冪函數(shù)；是冪函數(shù),且在上的減函數(shù)；是正比例函數(shù)；是反比例函數(shù)；是二次函數(shù)。(二)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、圖像分類：直線型：或；拋物線型：或；雙曲線型：。2、冪函數(shù)的圖像特征：、都是奇數(shù)是奇數(shù)、是偶數(shù)是偶數(shù)、是奇數(shù)共性必經(jīng)過點,必經(jīng)過第一象限,必不經(jīng)過第四象限。除原點外,任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交。任何兩個冪函數(shù)最多有三個大眾點。異性和的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：必經(jīng)過點；都是遞減函數(shù)；圖像向上與軸正向無限接近,向右與軸正向無限接近。必經(jīng)過兩個點和；都是遞增函數(shù)；冪函數(shù)與直線有如下關(guān)系：在的下方在的上方在的上方在的下方3、冪函數(shù)規(guī)律總結(jié)(1)在研究冪函數(shù)的性質(zhì)

11、時,通常將分式指數(shù)冪化為根式形式,負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進(jìn)行討論；(2)對于冪函數(shù),我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性,由此確定圖像的位置,即所在象限,其次確定曲線的類型,即,和三種情況下曲線的基本形狀,還要注意,三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙,大豎小橫”,即()時圖像是拋物線型；時圖像是雙曲線型；時圖像是豎直拋物線型；時圖像是橫臥拋物線型。(3)曲線在第一象限的凹凸性：時,曲線下凸；時,曲線上凸；時,曲線下凸。例3-3已知冪函數(shù)()的圖像與軸、軸都無交點,且關(guān)于原點對稱,則()。A、或B、或C、或D、變式3-3已知函數(shù),當(dāng)為何值時

12、,在第一象限內(nèi)的圖像是上升曲線。例3-4請把相應(yīng)的冪函數(shù)圖像代號填入表格。；。例3-5分別畫出：,的大致圖像。變式3-4分別畫出：；,的大致圖像。變式3-5作函數(shù)的大致圖像,求的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間,并求當(dāng)時,函數(shù)的值域。三、冪函數(shù)的大小比較1、在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。借助其單調(diào)性進(jìn)行比較,準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。2、比較兩個冪值的大?。?1)若指數(shù)相同(或能化為同指數(shù)),則利用冪函數(shù)的單調(diào)性；(2)若底數(shù)相同(或能化為同底數(shù)),則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)若既不能化為同指數(shù),也不能化為同底數(shù),則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作橋梁來比較大小。3、冪

13、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)要明確冪函數(shù)中,冪指數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,冪指數(shù)的奇偶性與函數(shù)的奇偶性間的關(guān)系。(2)要注意將得到的結(jié)果對照條件進(jìn)行檢驗,合理取舍。例3-6比較大小：,；,；,；變式3-6比較大?。?；,；,。變式3-7若,求的取值范圍。專題10 基本初等函數(shù)（知識梳理）一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)式的化簡與求值1、化簡原則：化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；注意運算的先后順序。提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中,其底數(shù)都大于零,否則不能用性質(zhì)來運算。2、結(jié)果要求：題目以根式形式給出,則結(jié)果用根式表示；題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式給出,則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示；結(jié)果不

14、能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。例1-1已知,則化簡的結(jié)果是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】D【解析】,故選D。變式1-1化簡的結(jié)果是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】B【解析】,則,故選B。變式1-2已知,求下列各式的值：(1)；(2)；(3)。【解析】(1), 又由得,； (2)；(3)。(二)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、定義：一般地,函數(shù)(且)叫做指數(shù)函數(shù),其中是自變量。2、圖象和性質(zhì)：圖象共性必過第一、二象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸圖形都是下凹的,都是無界函數(shù) 定義域為,值域為異性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)(1)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì),

15、特別是函數(shù)圖像的無限伸展性,軸是函數(shù)圖像的漸近線。當(dāng)時,； 的值越小,圖像越靠近軸,遞減的速度越快。當(dāng)時,； 的值越大,圖像越靠近軸,遞增的速度越快。(2)畫指數(shù)函數(shù)(且)的圖像,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：、。注意：與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象問題的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象。一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合求解。(3)熟記指數(shù)函數(shù)、在同一坐標(biāo)系中圖像的相對位置,由此掌握指數(shù)函數(shù)圖像的位置與底數(shù)大小的關(guān)系。(4)在有關(guān)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的變形、求值過程中,要注意運用方程的觀點處理問題,通過解方程(組)來求值,或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來

16、求解。(5)比較指數(shù)冪值的大小時,要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相等。是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,還是用冪函數(shù)的單調(diào)性。要注意指數(shù)函數(shù)圖象和冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用,指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)“底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)”。還應(yīng)注意中間量、等的運用。注意：(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,值域為大于的實數(shù)集合,這里的前提是大于,對于不大于的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。(2)可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當(dāng)從趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于),函數(shù)的曲線從分別接近于軸與軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于軸的正半軸與軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中

17、水平直線是從遞減到遞增的一個過渡位置。例1-2函數(shù)(且)的圖象可能是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】必過定點,由可知選C。例1-3函數(shù)(且)必過 點?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥?則必過點。變式1-3函數(shù)(且)必過 點?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥?則必過點。變式1-4函數(shù)(且)必過 點?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥?則必過點。例1-4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】D【解析】令,得函數(shù)的定義域為,在上遞增,在上遞減,又為減,根據(jù)同增異減的單調(diào)增區(qū)間為,故選D。例1-5求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)；(2)；(3)；(4)(且)?！窘馕觥?1),則,原函數(shù)的定義域是

18、,令,則,(,)得且,原函數(shù)的值域是；(2),則,原函數(shù)的定義域是；令(),則,在是增函數(shù),原函數(shù)的值域是；(3)原函數(shù)定義域是,令,則,在是為為增,原函數(shù)值域是；(4)原函數(shù)定義域是,由(且)得,解得,原函數(shù)值域是。(三)指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例1-6設(shè),則、的大小關(guān)系為( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】B【解析】,在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選B。例1-7已知,那么、的大小關(guān)系是( )。A、 B、 C、 D、無法確定【參考答案】B【解析】,故選B。例1-8設(shè)函數(shù)(且),則( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】,故選A。例1-9當(dāng)時,證明函數(shù)是奇函數(shù)?！窘馕觥坑傻?故函數(shù)定義域關(guān)

19、于原點對稱,又,函數(shù)是奇函數(shù)。二、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)及其運算1、一般地,對于指數(shù)式,我們把“以為底的對數(shù)”記作(且)。其中叫做對數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù)。對數(shù)函數(shù)的一般形式為(且),它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。注意：(且)的關(guān)系是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中要注意靈活運用。下圖給出對于不同大小所表示的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖形：圖像指數(shù)函數(shù)：與對數(shù)函數(shù)：與可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。2、對數(shù)的運算規(guī)律： (且,)(1),；(2),；(3),；(4)；推廣。注意：在運用時,在無的條

20、件下應(yīng)為(且為偶數(shù))。3、幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為(且)常用對數(shù)底數(shù)為自然對數(shù)底數(shù)為4、對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的,因此,經(jīng)常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時,必須保證恒等變形。利用對數(shù)運算法則,在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例2-1求值：(1)；(2)；(3)?！窘馕觥?1)原式；(2)原式；(3)法一：原式；法二：原式。例2-2求值：(1)若,求的值；(2)若,求的值?！窘馕觥?1)由已知,則；(2)由已知,則。變式2-1關(guān)于的方程的解為 ?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥吭交啚?即,解得(負(fù)值舍去),。變式2-

21、2已知函數(shù),若,則 。【參考答案】【解析】由得,則。(二)對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的圖像圖像共性必過第一、四象限及軸正半軸 必過點,漸近線為軸都是無界函數(shù) 定義域為,值域為異性在上是增函數(shù),圖形都是上凸的在上是減函數(shù),圖形都是下凹的2、對數(shù)函數(shù)比較大小對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：單調(diào)性法,在同底的情況下直接得到大小關(guān)系,若不同底,先化為同底。中間值過渡法,即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù),一般是用“”、“”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”。圖像法,根據(jù)圖像觀察得出大小關(guān)系。作差或作商法。3、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)對數(shù)函數(shù)(且),(且)若指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化成對數(shù)函數(shù),但

22、這么寫不符合函數(shù)形式,就把命名為 指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱,即互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對稱例2-3設(shè),則( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】法一：, ,而,綜上,故選C。法二：,故選C。變式2-3設(shè),則( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】D【解析】,故選D。4、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用研究對數(shù)型函數(shù)的圖像時,一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖像入手,通過平移、伸縮、對稱變換得到對數(shù)型函數(shù)的圖像。例2-4作出下列函數(shù)的圖像：,；?！窘馕觥?例2-5已知函數(shù)(且),若當(dāng)時,則在定義域上是()。A、減函數(shù) B、增函數(shù) C、常數(shù)函數(shù) D、不單調(diào)的函數(shù)【參考答案】B

23、【解析】,即時,在上是增函數(shù),故選B。例2-6求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)。【解析】(1)由得,定義域為,值域是,又,單調(diào)遞增區(qū)間是,無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由得,定義域為,值域是,又,單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)且,定義域為,值域是,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可知無單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間是；(4),定義域為,值域是,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可知無單調(diào)遞減區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間是。變式2-4求函數(shù)的定義域?！窘馕觥坑傻?由且得且,定義域為。變式2-5已知,(且),若,則與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】,故選C

24、。變式2-6已知(且),求的定義域并判斷的單調(diào)性。【解析】由得,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時的定義域為,當(dāng)時的定義域為,當(dāng)時在上任取、,設(shè),則,當(dāng)時在上為單調(diào)遞增函數(shù)。同理,當(dāng)時,在上為單調(diào)遞增函數(shù)。三、冪函數(shù)(一)冪函數(shù)的定義：一般地,形如()的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù)。1、判斷冪函數(shù)需：系數(shù)為,底數(shù)為變量,指數(shù)為一常數(shù),后面不加任何項。例如：,均不是冪函數(shù),再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別,例如：是冪函數(shù),是指數(shù)函數(shù)。2、由于冪函數(shù)的解析式中只含有一個參數(shù),因此只需一個獨立的條件即可確定其解析式,當(dāng)已知冪函數(shù)經(jīng)過某一點時,可采用待定系數(shù)法求出解析式。例3-1已知點在冪函數(shù)的圖像上,求的解析式?！窘馕觥吭O(shè),則

25、,解得,。變式3-1已知函數(shù)是冪函數(shù),求的解析式?！窘馕觥?可求或,或。例3-2已知冪函數(shù)在上是增函數(shù),則()。A、 B、 C、或 D、【參考答案】A【解析】,解得或,當(dāng)時在上是減函數(shù),當(dāng)時在上是增函數(shù),故選A。變式3-2已知函數(shù),當(dāng)為何值時,：是冪函數(shù)；是冪函數(shù),且在上的減函數(shù)；是正比例函數(shù)；是反比例函數(shù)；是二次函數(shù)。【解析】冪函數(shù)：則,解得或,或；冪函數(shù)：或；又在上為減函數(shù),則,；正比例函數(shù)：,解得,；反比例函數(shù)：,解得,；二次函數(shù)：,解得,。(二)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、圖像分類：直線型：或；拋物線型：或；雙曲線型：。2、冪函數(shù)的圖像特征：、都是奇數(shù)是奇數(shù)、是偶數(shù)是偶數(shù)、是奇數(shù)共性必經(jīng)過點

26、,必經(jīng)過第一象限,必不經(jīng)過第四象限。除原點外,任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交。任何兩個冪函數(shù)最多有三個大眾點。異性的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：必經(jīng)過點；都是遞減函數(shù)；圖像向上與軸正向無限接近,向右與軸正向無限接近。和的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：必經(jīng)過兩個點和；都是遞增函數(shù)；冪函數(shù)與直線有如下關(guān)系：在的下方在的上方在的上方在的下方3、冪函數(shù)規(guī)律總結(jié)(1)在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時,通常將分式指數(shù)冪化為根式形式,負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進(jìn)行討論；(2)對于冪函數(shù),我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性,由此確定圖像的位置,即所在象限,其次確定曲線的類型,即,和三種情況下曲線的基本形狀,還要注意,三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙,大豎小橫”,即()時圖像是拋物線型；時圖像是雙曲線型；時圖像是豎直拋物線型；時圖像是橫臥拋物線型