反函數(shù)_典型例題精析

1、反函數(shù)典型例題精析Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-2-4反函數(shù)例題解析?【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù):(Dy=3x-52x + l(2)y=x2 2x+3,( 80. y=/7(xW0).17m (low。)(4)y=vx (OVxWl)53x -51,3解.y=K(xw5),產(chǎn)5,.3x-5/口由y= z-7 得(2y 3)x= -y-5,Z X + 1x=F?所求反函數(shù)為y= W二(xW$.3-2y3-2y2解(2)y=(xl)2 + 2, x( 8, 0其值域為y2, +8),由y=(x+2(xW0),得x1 = Jy-2,即

2、x=l Jy-21反函數(shù)為f i(x) = l Jx-2, (x22).解(3);y=，(xW0)，它的值域為OVyWl, x +12忌產(chǎn)=一仔，反函數(shù)為 fT(x) = (F(OVxWl).解(4)由y=6m( lWxW0),得值域OWyWl,反函數(shù)fT(x)=x2 l(0WxWl).由 y= -4(0Vx這 1),得值域一iWyVO,反函數(shù)fT(x)=x?( IWxVO),故所求反函數(shù)為丫=x2-l (OWx這 1)x2 (一 WO)【例2】求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并畫出原函數(shù)和其反函 數(shù)的圖像.(l)y=VxT- 1(2)y= - 3x2 - 2(x0)解(1)已知函數(shù)的定義域是xl,值域

3、為y2 1,由y= Jx- 1-1,得反函數(shù)y=(x+l)2 +I(x2 1).函數(shù)與它的反函數(shù)y=(x+l)? +1的圖像如圖2. 4 1所示.解(2)由 y= -3x2 2 (xWO)得值域 y W 2,反函數(shù)f (x) = 2).它們的圖像如圖2. 4-2所示.【例3】已知函數(shù)f(x)=2 (xWa,-).x + a3求它的反函數(shù)；(2)求使fT (x) =f (x)的實數(shù)a的值.解設(shè)xW-a,x + aVy(x+a) = 3x+L (y3)x=lay,這里yW3,若y=3,則a=:這與已知aW：矛盾，1 ay口r I 必 I1 ax，x=,即反函數(shù)f-(x) =y-3x-33x + 1

4、1 ax(2)若f(x)=f-1x),即-=一7對定義域內(nèi)一切x的值恒成立， x + ax-3令 x = 0, Aa=3.或解 由f(x)=fT(x),那麼函數(shù)f(x)與fT(x)的定義 域和值域相同，定義域是xxWa, xR,值域yy：yW3, y R, a = 3 B|J a = - 3.【例4】已知函數(shù)y=f(x)=E中，a、b、c、d均不為零，cx + d試求a、b、c、d滿足什麼條件時，它的反函數(shù)仍是自身.解f(x)=3 +上二叫_,.常數(shù)函數(shù)沒有反函數(shù)， c c(cx + d) , -dx + bAbc-ad70. Xf-,(x)=,ex - a要使111 =注=，對定義域內(nèi)一切X

5、值恒成立， ex - acx + d令 x = 0,得一a = d,即 a+d = O.事實上，當(dāng)a + d = O時，必有fT(x)=f(x),因此所求的條件是be adWO,且a + d = O.【例5】設(shè)點M(L 2)既在函數(shù)f(x)=ax2 + b(x20)的圖 像上，又在它的反函數(shù)圖像上，(1)求fT(x), (2)證明fT(x) 在其定義域內(nèi)是減函數(shù).12 = a+ba 317解由l = 4a+b得7 儂=一戶產(chǎn)。)17 7證(2)由y= - qx? + q(xO)得反函數(shù)f j(x) =-).7設(shè)XVX2W, A7-3x,7-3x20,A77-3x, 7x-3x2, B|Jf-,

6、(x1)f,(x2), 7故fT(X)在(一8, q上是減函數(shù).Y 1_【例6】若函數(shù)f(x)=一；,求fT(&)的值.x + 2X 1 1 9 v解法(一)先求函數(shù)f(X)=V的反函數(shù)f-(X)=，x+21-x于是|(后)=匕號=一5 一 3a.1 y/2解法(二)由函數(shù)y = f(x)與其反函數(shù)y = fT(x)之間的一 一對應(yīng)關(guān)系，求日必的值,就是求f（x尸及時對應(yīng)的X的值,令汜=屈 得x=-5 - 3式,即f（或）=一5 一 3五.【例7】已知aR,且aWO, aWL設(shè)函數(shù)f(x)=-ax 一 1(xR且xW 1),證明y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱. ax 1證 由y=, aWO, aWl, 得(ayl)x=y1,ax -1如果ay1 = 0,則丫=， a1 x 1 =;得a=l,這與已知aW1矛盾，a ax -1. y - 1, x - 1ayIWO,故x=，-，f-i(