選修4-4.圓錐曲線的參數(shù)方程(1)(2)(3)[共35頁]

1、1 二二. .圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程 2 如下圖，以原點如下圖，以原點O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0） 為半徑作兩個同心圓，設(shè)為半徑作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任意一點，連為大圓上的任意一點，連 接接OA,與小圓交于點與小圓交于點B ，過點，過點A作作ANox，垂足為，垂足為N， 過點過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點繞點O旋旋 轉(zhuǎn)時點轉(zhuǎn)時點M軌跡的參數(shù)方程軌跡的參數(shù)方程. O A M x y N B 分析：設(shè)分析：設(shè)M點的坐標(biāo)為（點的坐標(biāo)為（x,y) 點點A 的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)與M點的橫坐點的橫坐 標(biāo)相同標(biāo)相同, 點點B 的縱坐標(biāo)與的

2、縱坐標(biāo)與M點的縱坐標(biāo)點的縱坐標(biāo) 相同相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過的坐標(biāo)可以通過 引進參數(shù)建立聯(lián)系引進參數(shù)建立聯(lián)系. 3 O A M x y N B 解：解： 設(shè)設(shè)XOA=, 則則 A: (acos, a sin), B: (bcos, bsin), 由此由此: 即為點即為點M M軌跡的參數(shù)方程軌跡的參數(shù)方程. . sinby cosax ( 為 參 數(shù)) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: : , b y a 1 2 2 2 2 x 即為點即為點M M軌跡的普通方程軌跡的普通方程. . 如下圖，以原點如下圖，以原點O為圓心，分別以為圓心，分別以a，b（ab0） 為半徑作兩個同心圓，設(shè)為半徑作兩個同心圓

3、，設(shè)A為大圓上的任意一點，連為大圓上的任意一點，連 接接OA,與小圓交于點與小圓交于點B ，過點，過點A作作ANox，垂足為，垂足為N， 過點過點B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑，求當(dāng)半徑OA繞點繞點O旋旋 轉(zhuǎn)時點轉(zhuǎn)時點M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 4 1 .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓是橢圓 的參數(shù)方程的參數(shù)方程. cosxa sinyb 2 .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢分別是橢 圓的長半軸長和短半軸長圓的長半軸長和短半軸長. ab 另外另外 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值的取值 范圍是范圍是 0, 2) cos , sin .

4、xa X yb 焦點在 軸 cos , sin . x b Y ya 焦點在 軸 ( 為 參 數(shù)) y y a a a ab b 22 22 1 （ .0) x b 5 O A M x y N B 歸納比較歸納比較 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :1 2 2 2 2 b y a x 橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: : )( sinby cosa 為為參參數(shù)數(shù) x x y O 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: : 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2 )( siny cos 為為參參數(shù)數(shù) r rx 的幾何意義是的幾何意義是AOP=，是旋轉(zhuǎn)角，是旋轉(zhuǎn)角 P

5、A 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: : 是是AOX=,不是不是MOX=.稱離心角稱離心角 6 【練習(xí)【練習(xí)1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22 1 49 xy 2 2 1 16 y x (1)(2) 3 cos 5 sin x y 8 cos 10 sin x y (3)(4) 把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程 2 cos (1) 3 sin x y cos (2) 4sin x y 2 2 64100 (4)1 y x 2 2 925 (3)1 y x 7 練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是參數(shù)是參數(shù)) ，則此橢圓的長

6、軸長為（，則此橢圓的長軸長為（ ），）， 短軸長為（短軸長為（ ），焦點坐標(biāo)是（），焦點坐標(biāo)是（ ），）， 離心率是（離心率是（ ）。）。 2cos sin x y 4 2 3 2 ( , 0) 3 8 例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點上求一點M， 使使M到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小. x y O P 分析分析1 平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點即為所求至首次與橢圓相切，切點即為所求. 22 20 4936 xym xy 00 0 ,M(,) 消元，利用， 求出進而求得切點 mxy 9 M M設(shè) (3 cos,2 sin)是橢圓

7、上任一點. |3cos4sin -10| 5 d 則 小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一 點的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。點的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識加以解決。 例例1、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x29+y24=1上求一點上求一點M，使，使M 到直線到直線 l：x+2y-10=0的距離最小的距離最小. 分析分析2 3cos () 2sin x y 橢圓參數(shù)方程為：為參數(shù) 34 |5cossin-10| 55 5 （） 0 |5cos-10| 5 （） 000 34 cos,sin 55 其中滿足 0 5d當(dāng)=0時,

8、取最小值， 00 98 coscos,2sin2sin 55 此時33 9 8 M( , )21005 5 5 Mxy時，點與直線的距離取最小值。 10 例例2.已知橢圓已知橢圓 ,求橢圓內(nèi)接矩形求橢圓內(nèi)接矩形 面積的最大值面積的最大值. 22 22 1(0) xy ab ab 解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點坐標(biāo)為解：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點坐標(biāo)為 ( cos , sin )ab 4cossinSab 矩形 ()2 4 kkZSab 矩形 當(dāng)時，最大。 所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為所以橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為2ab. 2sin 2ab2ab 11 例例3:已知已知A,B兩點是橢圓兩點是橢圓

9、與坐標(biāo)軸正半軸的兩個交點與坐標(biāo)軸正半軸的兩個交點,在第一象限的橢圓弧上在第一象限的橢圓弧上 求一點求一點P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大. 2 2 94 1 y x :解 由橢圓參數(shù)方程，設(shè)點P(3cos ,2sin ) PAB即求點 到直線的距離的最大值。 , ABCABP S面積一定 需求 S最大即可 1 32 xy 直線AB的方程為： 22 | cossin6| 23 d 666 2 sin()1 413 ,d 當(dāng) =時有最大值 面積最大. 4 3 2 2 P這時點 的坐標(biāo)為(, 2) 2360 xy 12 練習(xí)練習(xí) 1、動點、動點P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化

10、，求，求2x+3y的最的最 大值和最小值大值和最小值 1 49 22 yx .,2626最小值最小值最大值最大值 2、取一切實數(shù)時，連接取一切實數(shù)時，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點的線段的中點軌跡是兩點的線段的中點軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段 B 設(shè)中點設(shè)中點M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos+3sin 22 y 2 49 x 3cos ,2sin設(shè) xy 236cos6sinxy 6 2sin() 4 13 (3cos ,2sin ) . (2,3). (3,0). (1,3). (0,) 2 3

11、、當(dāng)參數(shù) 變化時，動點所確定的曲線必過 點 點 點 點 P ABCD 它的焦距是多少？它的焦距是多少？ B 2 5 練習(xí)練習(xí) 317cos ()_, 8sin2 _. 4.橢圓為參數(shù) 的中心坐標(biāo)為 準(zhǔn)線方程為 x y (3, 2) 289 3 15 x 14 小結(jié)小結(jié) （1）橢圓的參數(shù)方程（）橢圓的參數(shù)方程（ab0） 1 2 2 2 2 b y a x )( sin cos 為參數(shù) by ax 注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意注意：橢圓參數(shù)與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意 義不同。義不同。 （2）橢圓與直線相交問題）橢圓與直線相交問題 y y2 2 22 1 x ab cos ( 為參數(shù)

12、) sin xb ya 15 二二. .圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程 16 a o x y ) M B AB A 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 探究：雙曲線探究：雙曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程 22 22 1 xy ab b 12 , , 以原點 為圓心，為 半徑分別作同心圓 Oa b C C 1 ,設(shè) 為圓上任意一點，作直線 設(shè)以為始邊，為終邊的角為 ACOA OxOA 1 AC過點 作圓的切線AA與x軸交于點A , 22 .CC過圓與x軸的交點B作圓的切線BB與直線OA交于點B 過點A ,B分別作y軸,x軸的平行線A M,B M交于點M. 17 a o x y ) M B A B

13、 A 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 b ( , )M x y設(shè) ( ,0),( , ).A xB b y則 1 AC點 在圓上 A(acos ,asin ). OAAAOA AA 又,=0 2 cos (cos )( sin )0axaa cos a x 解得： 又點B在角 的終邊上， tan. y b 由三角函數(shù)定義有： tanyb 1 sec cos 記secxa xa M yb sec () tan 點點的的軌軌跡跡的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是為為參參數(shù)數(shù) AA =(x-acos ,-asin ) 消去參數(shù)得： 22 22 1 xy ab 18 sec () tan xa yb 為參數(shù)

14、2 a 22 2 xy -=1(a0,b0)的參數(shù)方程為： b 3 ,2 ) 22 o 通常規(guī)定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角與三角 恒等式恒等式 相比較而得到，所以雙曲相比較而得到，所以雙曲 線的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換線的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換. 22 22 1 xy ab 22 sec1tan 說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM 的傾斜角不同的傾斜角不同. a o x y ) M B A B A b 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 19 雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線的參數(shù)方程： sec () tan

15、xa yb 為 參 數(shù) 2 a 22 2 xy -=1(a0,b0)的參數(shù)方程為： b sec () tan ya xb 為參數(shù) 2 a 22 2 yx -=1(a0,b0)的參數(shù)方程為： b 為離心角 20 例例2、 22 22 100 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線 任任意意一一點點，為為原原點點，過過點點作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的 平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點點。探探求求平平 行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？ xy Mab ab OM AB MAOB (,) O B M A x y . b yx a 雙曲

16、線的漸近線方程為： 解：解：不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點， 其坐標(biāo)（asec ,bta為n ）, b 將y=x代入，解得點A的橫坐標(biāo)為 a A a x = （sectan ） 2 . tan(sec). 則直線的方程為： b A xa a M yb 21 O B M A x y 解：解： B a x = （sectan ）. 2 同理可得，點B的橫坐標(biāo)為 b a 設(shè) AOx= ,則tan.MAOB所以的面積為 MAOB S=|OA|OB|sin2= AB xx s i n 2 c o sc o s 222 2 a (sec-tan) =sin2 4cos tan. 2 bab a 22 aa =

17、 22 由此可見，平行四邊形的面積恒 為定值，與點M在雙曲線上的位置無關(guān)。 MAOB 22 化下列參數(shù)方程為普通方程，并說明它們化下列參數(shù)方程為普通方程，并說明它們 表示什么曲線表示什么曲線?由此你有什么想法？由此你有什么想法？ a1 ( 2 () 1 () 2 ） 為參數(shù),a0,b0 xt t t b yt t () 2 (b) () 2 為參數(shù),a0, 0 tt tt a xee t b yee 探究探究 23 二二. .圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程 24 x y o M(x,y) 2 2.(1)ypx設(shè)拋物線的普通方程為 tan .(2) y x 由三角函數(shù)的定義可得 (1),(

18、2), x y由解出， (1)()這就是拋物線不包括頂點 的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程 2 2 tan () 2 tan p x p y 得 到為 參 數(shù) M拋物線上任意點 （x,y)MOX 25 x y o M(x,y) 1 ,(,0)(0,), tan tt 如果令 2 2 () 2 xpt t ypt 則為參數(shù)有 拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程2 2 tan () 2 tan 為 參 數(shù) p x p y (0, 0 0) ，由此參數(shù)方程表示的點正好 就是拋物線的頂點 當(dāng)時t 2 2 2 () 2 (,) y 當(dāng)時，參數(shù)方程 就表示拋物線=2 為 px。 參數(shù) xpt t

19、 ypt t 參數(shù) 表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點 連線的斜率的倒數(shù)。 t 26 2 20)由此得拋物線（的參數(shù)方程為：ypx p 2 2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 參數(shù) 的幾何意義：拋物線 上除頂點外的任意一點與 原點連線的斜率的倒數(shù)。 t 2 2(0)? 思考：類比上面的方法怎樣選取參數(shù)，建立 拋物線 的參數(shù)方程xpy p 2 2tan () 2tan xp yp 為參數(shù) tan,(,)tt 如果令 2 2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 27 參數(shù)的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點 與原點連線的斜率。 t 2 2(0)所以拋物線 的參數(shù)方程為：xpy p 2

20、2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 2 2(0)進一步探究拋物線 的參數(shù)方程， 并對四種結(jié)果進行歸納總結(jié)。 xpy p 28 拋物線的參數(shù)方程 2 2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 拋物線上除頂點外的任意一點與原點連 參數(shù) 線的 的幾何意義 。 ： 斜率的倒數(shù) t 2 20)ypx p（ 2 20)ypx p （ 2 2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 總結(jié)總結(jié) 29 t 拋物線上除頂點外的任意一點與原 參 點 數(shù) 的幾何意義： 連線的斜率。 2 2(0)xpy p 2 2 () 2 xpt t ypt 為參數(shù) 拋物線的參數(shù)方程 2 2(0)xpy p 2 2 () 2 x

21、pt t ypt 為參數(shù) 總結(jié)總結(jié) 30 x y o B A M 2 ,2(0) , 例、如圖 是直角坐標(biāo)原點，是拋物線 上異于頂點的兩動點，且并于相交于 點 ，求點 的軌跡方程。 OA Bypx p OAOB OMABAB MM ( , ),M x y解：設(shè)點 2 11 (2,2),Aptpt 2 22 (2,2)Bptpt 1212 (,0)ttt t且 ( , ),OMx y 2 11 (2,2),OAptpt 2 22 (2,2),OBptpt 22 2121 (2 (),2 ()ABp ttp tt ,OAOB 22 1 21 2 (2)(2 )0,pt tp t t 31 ,OAO

22、B 2 ,2(0) , 例、如圖 是直角坐標(biāo)原點，是拋物線 上異于頂點的兩動點，且并于相交于 點，求點的軌跡方程。 OA Bypx p OAOB OMABAB MM 22 1 21 2 (2)(2 )0,pt tp t t 1 2 1.(1)t t ,OMAB 22 2121 2()2()0px ttpy tt 12 (0).(2) y ttx x 2 11 (2,2),AMxptypt 2 22 (2,2)MBptxpty ,A M B且三點共線， 22 1221 (2)(2)(2)(2)xptptyptxypt 121 2 ()20.(3)y ttpt tx即： (1),(2)(3),()20 y ypx x 將代入得到: 22 20(0)xypxx即M這就是點的軌跡方程 32 222 11 (2)(2)OAptpt由例可得: 222 22 (2)(2)OBptpt 2 11 21p tt , ? 在例題中，點在什么位置時，的面積 最小？ 探 最小值