二次函數(shù)最值的4種解法,看完不懼壓軸題!

1、ps.因格式問(wèn)題，部分上標(biāo)未能正常顯示，望知悉。題目如圖1 ,拋物線y=-x2 + bx + c與x軸交于A(1 , 0) , B(-3 , 0)兩點(diǎn)。圖1圖2(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q，使得&QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由；(3)如圖2 ,在中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P ,使鐘BC的 面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及鐘BC的面積最大值;若沒(méi)有，請(qǐng) 說(shuō)明理由。解答：拋物線解析式為y= -x2-2x + 3;Q( 7,2);下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法.解法1

2、補(bǔ)形.割形法幾何圖形中常見(jiàn)的處理方式有分割、補(bǔ)形等，此類方法的要點(diǎn)在于把所求 圖形的面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或割，變成有利于表示面積的圖形。方法一如圖 3,設(shè) P點(diǎn)(x, - x2 - 2x + 3 ) (- 3x0) . c口四邊形BPCO若S四邊形8PCO有最大值,則S&BN就最大9二 S四邊形8pco = SRtAfiP + s直角梯影日玄0c 二-BE - PE + yOE( PE + OC)1,1=y(x +3)( 7 -2-3) + y(-%) ( - %之 - 24 + 3 +3)3_/3 2 x 9_ x 27 -2+ T) T+ 8,當(dāng)人 = - 3時(shí)， zS四邊形BPCO最大值 2

3、 g e S/ 最大值= y + - y = y. z o x o此時(shí)，- 2, + 3 =早，4 點(diǎn)P坐標(biāo)為(-右外方法二 如圖 4 ,設(shè) P 點(diǎn)(x , - x2 - 2x + 3)( - 3x0) . c - q 4 s 一 S4PRC - D AORP 十 0OCP AOHC二;x 3(一-2% + 3) + J x 3( 一 %)_ ! x 3 x 32(下略.)解法2“鉛垂高，水平宛”面積法如圖5 ,過(guò)aABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條 直線之間的距離叫 ABC的“水平寬(a),中間的這條直線在占ABC內(nèi)部線段的 長(zhǎng)度叫MBC的鉛垂高(h),我們可得出一種計(jì)

4、算三角形面積的另一種方法： S&ABC=1/2ah ,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。根據(jù)上述方法，本題解答如下：解如圖6，作PEx軸于點(diǎn)E ,交BC于點(diǎn)F .E 0設(shè) P 點(diǎn)(x , - x2 - 2x + 3 ) ( - 3x0 ). 二, SyBC = $ AFBP + SmcP=?PF - BE + ?PF OE22=yPF(BE + OE) = f OB= 24+3 -(4+3) 2一3 1 2一 2卜 +T)8 ： S abpc J9 _ 272 = T當(dāng)為二一冬時(shí),15了.點(diǎn) P 坐標(biāo)為(-3/2, 15/4)解法3切線法若要使WBC的面積最大，只需使BC上的高最大.過(guò)

5、點(diǎn)P作BC的平行線 I ,當(dāng)直線I與拋物線有唯一交點(diǎn)（即點(diǎn)P）時(shí)，BC上的高最大，此時(shí)&PBC 的面積最大，于是，得到下面的切線法。解 如圖7 ,直線BC的解析式是y=x + 3 ,過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線I ,從而 可設(shè)直線I的解析式為：y=x + b.聯(lián)立/ 二 +/ly = - x - 2x +3.x + b = -2% + 3,即欠2 + 3% + b - 3 = o.由 A = 3? -4(6-3) = 0,得6 =_，必0,為.此時(shí)BC上的高最大, h = MC sin 乙 CMP=MC - sinZOCB_2在一或- 4 x 2 - 8，SAPBC = BC h x 3fl x = 27/8三角函數(shù)法本題也可直接利用三角函數(shù)法求得.解如圖8 ,作PEx軸交于點(diǎn)E ,交BC于點(diǎn)F ,作PMBC于點(diǎn)M .設(shè) P點(diǎn)(x, -x2-2x + 3) ( -3x0), 則 F(x , x + 3).S.PBC =3BC - PM二/ x 3& X PF sinPFM二竽T(_ 24+ 3)sin Z.BFE-(4 + 3) x s D ABPC縣+ 927最大二彳十 g927 2 8,-x -24 + 3) - (x + 3) xsin Z.OCB=/(一- 3x)_3 V 紅-2