魯教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1、魯教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章 分式一、分式1分式的概念：如果整式a除以整式b, 可以表示成的形式,且除式b中含有字母，那么稱式子為分式。其中, a叫分式的分子, b叫分式的分母。注意：判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式,不能將它變形,不能約分后去判斷,即使它約分后是整式也不能說(shuō)它就是整式,約分之前是分式這個(gè)式子就是分式。如:x2x是分式,雖然約分之后等于x是整式,但約分前是分式。是常數(shù),所以a/不是分式而是整式。2有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。(整式的分母中不含有字母)3關(guān)于分式的幾點(diǎn)說(shuō)明:(1)分式的分母中必須含有未知數(shù)；(2)分式是兩個(gè)整式相除的商式,對(duì)任意一個(gè)分式，分母都不為零；(3)分?jǐn)?shù)線有

2、除號(hào)和括號(hào)的作用,如：表示（ab）(cd)；(4)“分式的值為零”包含兩層意思：一是分式有意義(分母0)，二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”。4一般的，對(duì)分式ab都有：分式有意義 b0；分式無(wú)意義 b=0；分式的值為0a=0且b0；分式的值大于0分子分母同號(hào)；分式的值小于0分子分母異號(hào)。5基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一個(gè)不為0的整式，分式值不變。二、分式的乘除法1.分式的乘除法則:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的冪相

3、除。2.約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分。注意:當(dāng)分式的分子分母都是單項(xiàng)式或者是幾個(gè)因式乘積的形式時(shí),直接約分； 分式的分子和分母都是多項(xiàng)式時(shí)，將分子和分母分解因式再約分。3.最簡(jiǎn)分式: 一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式。約分時(shí)，一般要將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式。三、分式的加減法1.通分:利用分式的基本性質(zhì) ,把異分母的分式化為同分分母的過(guò)程。通分原則:異分母通分時(shí), 通常取各分母的最簡(jiǎn)公分母作為它們的共同分母。通分步驟:先求出所有分式分母的最簡(jiǎn)公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母，同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù),相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子

4、。最簡(jiǎn)公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪及單獨(dú)字母的冪的乘積。2. 法則:同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減,先通分,化 為同分母的分式,再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:去分母(方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式程若遇到互為相反數(shù)時(shí)，不要忘了改變符號(hào))；按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；驗(yàn)根。3.分式方程的增根:在方程變形時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不適合原方程的根即代入方程后分母的值為的根，叫做原方程的增根。例題：取 時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根(或說(shuō)無(wú)解)。(思路)

5、在這里增根就是x=3,但不能直接帶入方程求m,所以要先去分母再將x=3帶入求m第二章 相似圖形一、線段的比1.概念:在同一單位長(zhǎng)度下,兩條線段的長(zhǎng)度的比叫這兩條線段的比。在a:b或中,a叫比例的前項(xiàng),b叫比例的后項(xiàng)。2.注意:若a:b=k,說(shuō)明a是b的k倍；兩條線段的比與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),但求比時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位必須一致；兩條線段的比值是一個(gè)沒(méi)有單位的正數(shù)；除a=b外,a:bb:a, a/b與b/a互為倒數(shù)。二、比例線段1.概念:四條線段a,b,c,d中,如果 a與b的比等于c與d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么這四條線段 a,b,c,d 叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線

6、段。a、b、c、d叫比例的項(xiàng),其中,a、d叫外項(xiàng),b、c叫內(nèi)項(xiàng)。2.比例中項(xiàng):當(dāng)a:b=b:c時(shí),稱b為a與c的比例中項(xiàng)。(b2=ac)3.性質(zhì):內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積 若 a/b=c/d 則 ad=bc 合比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/b=(c+d)/d 分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a-b)/b=(c-d)/d 等比性質(zhì) 若 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，則 (a+c+m)(b+d+n)=a/b合分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 c/a=d/b(當(dāng)然也就有a/c=b/d)反比性質(zhì)

7、若 a/b=c/d 則 b/a=d/c 三、形狀相同的圖形例如:兩個(gè)半徑不相等的圓；所有的等邊三角形；所有的正方形；所有的正六邊形。一個(gè)圖形各點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以或除以同一個(gè)數(shù)，則連接所得到點(diǎn)的圖形與原圖形形狀相同。四、相似三角形1.概念:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形(相似符號(hào)為“”)。平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。abcdedeobc相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。2.全等一定相似,相似不一定全等(全等是相似中相似比為1時(shí)的特殊情況)五、探索三角形相似的條件1定義判定：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例2判定1

8、：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定3：三邊對(duì)應(yīng)成比例rt相似的判定:(除上述三個(gè)外)斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。3.三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 推論六：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。4.(補(bǔ)充)射

9、影定理: 在rtabc中，acb=900，cd是斜邊ab上的高,則ac2=adab bc2=bdab cd2=adbd5.(補(bǔ)充)三角形的重心概念:三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。六、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例；2相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，3相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方。 七、測(cè)量旗桿的高度(略)八、相似多邊形1.概念:對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。2.性質(zhì):性質(zhì)1：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

10、性質(zhì)2：相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比;面積之比等于相似比的平方。九、位似圖形1.概念:如果兩圖形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形, 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心, 這時(shí)的相似比又稱為位似比。2.性質(zhì):位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。 3.探索:利用位似可以把一個(gè)圖形放大或縮??；對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都交于位似中心,對(duì)應(yīng)線段平行或在一條直線上；在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.。第三章 證明(一)一、定義與命題1.定義的概念:能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語(yǔ)的句子叫做該名稱或術(shù)語(yǔ)的定義。2

11、.命題的概念:一般地,判斷一件事情的句子，叫做命題(命題必須是對(duì)某事作出判斷)。3.命題的特征:每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地,命題都可以寫成“如果，那么”的形式其中,“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論。4.真假命題:如果條件成立，那么結(jié)論成立(正確的命題),像這樣的命題叫做真命題；條件成立時(shí)，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說(shuō)結(jié)論不成立(錯(cuò)誤的命題)，這樣的命題叫做假命題。二、證明的必要性三、公理與定理1.公理:通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐總結(jié)出來(lái)，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。2.定理:通過(guò)推理得到證實(shí)的真命題叫做定理,可以作為判

12、斷其它命題真假的依據(jù)。本教科書選用如下命題作為公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。也可以簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等。兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一個(gè)量可以用它的等量來(lái)代替”，簡(jiǎn)稱為“等量代換”。4、 平行線的判定定理五、平行線的性質(zhì)定理把一個(gè)命題的條件和結(jié)論交換后,就構(gòu)成了一個(gè)新的命題。如

13、果把原來(lái)的命題叫做原命題,那么這個(gè)新的命題就叫做原命題的逆命題。一個(gè)命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題。六、三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角之和為1800 ； 直角三角形的兩個(gè)銳角互余。關(guān)于輔助線：輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線(輔助線通常畫成虛線)；它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來(lái)，起到牽線搭橋的作用；添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒(méi)有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定,平時(shí)做題時(shí)要注意總結(jié)。第四章 數(shù)據(jù)的收集與處理一、普查和抽樣調(diào)查1.普查:為了一定的目的而考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查,稱為普查。其中,所要考察的對(duì)象的全

14、體稱為總體,而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。普查的優(yōu)點(diǎn)及缺陷:可以直接獲得總體情況,但總體中個(gè)體數(shù)目很多時(shí),工作量大,無(wú)法一一考察；有時(shí)受客觀條件的限制,無(wú)法對(duì)個(gè)體一一考查；有時(shí)調(diào)查具有破壞性,不允許對(duì)個(gè)體一一考查。2.抽樣調(diào)查:從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查,其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,樣本中的個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量。二、數(shù)據(jù)的收集議一議: 抽樣調(diào)查時(shí)應(yīng)注意什么?答:抽樣調(diào)查時(shí)要注意樣本的代表性、廣泛性和真實(shí)性:即被調(diào)查的對(duì)象不得太少，被調(diào)查對(duì)象應(yīng)是隨意抽取的，調(diào)查數(shù)據(jù)應(yīng)是真實(shí)的。抽樣調(diào)查的可行性：1.抽樣調(diào)查只考查總體的一部分，因此其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范

15、圍小，節(jié)省時(shí)間、人力、物力和財(cái)力；2.但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。三、數(shù)據(jù)的整理對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組整理,就是將收集到的所有數(shù)據(jù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干組。通過(guò)分組整理,可比較清晰地掌握數(shù)據(jù)的整體分布情況。四、頻數(shù)和頻率我們稱每個(gè)考查對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù),而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。公式:頻率=頻數(shù)總次數(shù)頻數(shù)=總次數(shù)頻率；總次數(shù)=頻數(shù)頻率頻數(shù)之和=總次數(shù)； 頻率之和=1頻數(shù)、頻率、頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖都反映了一組數(shù)據(jù)的分布情況。五、數(shù)據(jù)的波動(dòng)1.極差的概念:刻畫數(shù)據(jù)離散程度(即相對(duì)于“平均水平”的偏離情況)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)

16、的差(極差=最大值-最小值)。極差的意義:極差是最簡(jiǎn)單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量(一般而言,極差小,各個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)也就小,它們的平均數(shù)對(duì)這組數(shù)據(jù)一般水平的代表性也就大；極差大,平均數(shù)的代表性也就小),但只能反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍,不能衡量每個(gè)數(shù)據(jù)的變化情況,而且受極端值的影響較大(當(dāng)個(gè)別極端值遠(yuǎn)離其它數(shù)據(jù)時(shí),極差往往不能充分反映全體數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度)。2.方差的概念:各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越小，波動(dòng)越小；方差越大，波動(dòng)越大。公式:標(biāo)準(zhǔn)差：就是方差的算術(shù)平方根規(guī)律：有兩組數(shù)據(jù)，設(shè)其平均數(shù)分別為 、 方差分別為 、 (1) 當(dāng)?shù)诙M每個(gè)數(shù)據(jù)比第一組每個(gè)數(shù)據(jù)增加m個(gè)單位時(shí),則有 =

17、+m， =(2) 當(dāng)?shù)诙M每個(gè)數(shù)據(jù)是的第一組每個(gè)數(shù)據(jù) n 倍時(shí), 則有=n ， =(3)當(dāng)?shù)诙M每個(gè)數(shù)據(jù)是的第一組每個(gè)數(shù)據(jù) n 倍加 m 時(shí)，則有=n +m， = 第五章 二次根式一、二次根式1.概念:形如0)這樣的式子叫做二次根式(a也是二次根式)。其中a可以是數(shù),也可是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。2.求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。二、二次根式的性質(zhì)基本性質(zhì)一：=(0)基本性質(zhì)二：積的性質(zhì)：=(0,b0)商的性質(zhì)： = (0,b0)注：一般地，二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果中分母中不含根號(hào)，而且根號(hào)內(nèi)的數(shù)就是一個(gè)自然數(shù)，且自然數(shù)的因數(shù)中，不含有除1以外的自然數(shù)的平方數(shù)，被開方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí)，還要先化為假分?jǐn)?shù)再利用性質(zhì)化簡(jiǎn)。三、二次根式的加減法1.最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母(即因數(shù)是整數(shù)，因式是整式) ；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式