新課程背景下對(duì)幾何教學(xué)的案例研究

1、新課程背景下對(duì)幾何教學(xué)的案例研究 勾股定理是初中幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容.因?yàn)樽鳛榉从匙匀唤缁疽?guī)律的一條結(jié)論，它在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用. 同時(shí)，勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展史中亦占有重要的地位，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用都蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值. 在數(shù)學(xué)課程改革中，基于對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念的理解，我從多個(gè)方面、不同的角度將課改前后勾股定理的教學(xué)進(jìn)行了對(duì)比與研究，以求從中明晰在今后的教學(xué)中亟待解決的問(wèn)題，更加靠近課程改革的具體目標(biāo). 一、課程改革前對(duì)勾股定理的教學(xué) （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生掌握勾股定理. 2. 使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng). （二）教學(xué)內(nèi)

2、容 1. 關(guān)于勾股定理的數(shù)學(xué)史：周髀算經(jīng)中出現(xiàn)的“勾廣三，股修四，徑隅五”. 2. 給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2 + b2 = c2. 3. 用拼圖法推證勾股定理. 4. 勾股定理的應(yīng)用：解決幾何計(jì)算、作圖及實(shí)際生產(chǎn)、生活的問(wèn)題. 二、課程改革后對(duì)勾股定理的教學(xué) （一）教學(xué)目標(biāo) 1. 認(rèn)知目標(biāo)：掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)用符號(hào)表示.通過(guò)數(shù)格子及割補(bǔ)等辦法探索勾股定理的形成過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，體驗(yàn)從特殊到一般的邏輯推理過(guò)程. 2. 能力目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，主動(dòng)合作、探究的學(xué)習(xí)精神，感受數(shù)學(xué)思考過(guò)程的條理性，讓學(xué)生經(jīng)歷“

3、觀察猜想歸納驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并感受數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法. 3. 情感目標(biāo)：通過(guò)數(shù)學(xué)史上對(duì)勾股定理的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、愛(ài)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的情感，使學(xué)生在經(jīng)歷定理探索的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)之美、探究之趣. （二）教學(xué)內(nèi)容 1. 在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理（或設(shè)計(jì)其他的探索情境）. 2. 由學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想確認(rèn)勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 3. 勾股世界：介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義及古代人民的聰明才智. 4. 探討利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理. 5. 勾股定理的實(shí)際應(yīng)

4、用. 三、兩種課堂教學(xué)的對(duì)比 （一）教學(xué)理念和教學(xué)內(nèi)容的不同 課改前傳統(tǒng)的勾股定理的教學(xué)，重在掌握定理和應(yīng)用定理.這種教學(xué)過(guò)分突出了勾股定理這一現(xiàn)成幾何知識(shí)結(jié)論的傳遞和接受，忽略了定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、發(fā)現(xiàn)方法，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程被異化為被動(dòng)接受和單純的記憶定理、被動(dòng)認(rèn)知和機(jī)械訓(xùn)練變形及運(yùn)算技能的過(guò)程.這種教學(xué)思想的弊病是“重結(jié)論而輕過(guò)程”，“厚知識(shí)運(yùn)用而薄思想方法”. 課改后勾股定理的教學(xué)從以下幾方面進(jìn)行： 1. 創(chuàng)設(shè)探索性的問(wèn)題情境學(xué)生歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律. 2. 拼圖驗(yàn)證定理用數(shù)形結(jié)合的方法支持定理的認(rèn)識(shí). 3. 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型學(xué)生體驗(yàn)由特例歸納猜想、由特例檢驗(yàn)猜想. 4. 解決實(shí)

5、際問(wèn)題熟練掌握定理，并形成運(yùn)用定理的技能. 5. 勾股定理數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，點(diǎn)燃熱愛(ài)數(shù)學(xué)的熱情. 站在理論的角度，在這種設(shè)計(jì)中，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的實(shí)際背景和對(duì)知識(shí)的直觀感知以及學(xué)生對(duì)收集、整理、分析數(shù)學(xué)信息的能力等方面得以加強(qiáng).這充分反映了以未來(lái)社會(huì)對(duì)公民所需的數(shù)學(xué)思想方法為主線選擇和安排教學(xué)內(nèi)容，并以與學(xué)生年齡特征相適應(yīng)的大眾化、生活化的方式呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容.不過(guò)，通過(guò)實(shí)際教學(xué)，要想真正的做到“以學(xué)生為本”，在短短的兩課時(shí)內(nèi)既要重點(diǎn)突出，又能不留死角地圓滿完成以上五個(gè)層面的學(xué)習(xí)，也確屬不易. （二）教師備課內(nèi)容的不同 教改前對(duì)勾股定理的備課，在把握教材內(nèi)容的同時(shí)，可在勾股定理的數(shù)學(xué)史和定理

6、應(yīng)用兩方面加以調(diào)整.例如，增強(qiáng)民族自豪感：中國(guó)古代的大禹就是用勾股定理來(lái)確定兩地的地勢(shì)差，以治理洪水；激發(fā)學(xué)習(xí)興趣：勾股定理的證明方法已有400多種，給出這些證明方法的不但有數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，還不乏政界要人，像美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德、印度國(guó)王帕斯卡拉二世，都通過(guò)構(gòu)造圖形的方法給出了勾股定理的別致證法. 定理應(yīng)用這一課時(shí)，教材從純幾何問(wèn)題、生活問(wèn)題、生產(chǎn)問(wèn)題等幾方面均有涉及，從提高學(xué)生興趣方面可靈活補(bǔ)充一道11世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家給出的一道趣味題：小溪邊長(zhǎng)著兩棵樹(shù)，隔岸相望.一棵樹(shù)高30肘尺（古代長(zhǎng)度單位），另一棵高20肘尺，兩樹(shù)的樹(shù)干間的距離是50肘尺.每棵樹(shù)的樹(shù)頂上都停著一只鳥(niǎo)，兩只鳥(niǎo)同時(shí)看見(jiàn)

7、樹(shù)間水面上游出的一條魚(yú)，它們立刻飛去抓魚(yú)，并且同時(shí)到到目標(biāo).問(wèn)：這條魚(yú)出現(xiàn)的地方離較高的樹(shù)的樹(shù)根有多遠(yuǎn)？ 在實(shí)際教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的理解情況及實(shí)際水平，在訓(xùn)練的形式、數(shù)量上與教材也有所區(qū)分：增加了一個(gè)隨堂檢測(cè)，以鞏固所學(xué). 由于當(dāng)時(shí)所教班級(jí)為數(shù)學(xué)班，學(xué)生整體接受能力較強(qiáng)，就設(shè)計(jì)了一個(gè)請(qǐng)學(xué)生自編有關(guān)勾股定理應(yīng)用的題目，效果不錯(cuò). 教改后的備課，除了在上述兩方面有所選擇之外，重點(diǎn)放在了探索情境的設(shè)置上：利用下面圖中的任何一個(gè)或幾個(gè)都可從3個(gè)正方形的面積關(guān)系中得出直角三角形三邊關(guān)系，不同的班級(jí)可由學(xué)生不同的認(rèn)知水平來(lái)設(shè)計(jì)認(rèn)識(shí)層次. 為了保證教學(xué)重點(diǎn)，把利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的主要探討放在專門(mén)的課題學(xué)習(xí)中進(jìn)

8、行. （三）學(xué)生學(xué)習(xí)方式的不同 對(duì)于課改前勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生沿襲著“接受定理強(qiáng)化訓(xùn)練回味體會(huì)”的方式.這在一定程度上增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)定理的熟悉程度，并在定理應(yīng)用上感到運(yùn)用自如.但這種熟練僅僅是一種強(qiáng)化訓(xùn)練后的暫時(shí)現(xiàn)象，知識(shí)的本身及其遷移只保持在較短的時(shí)間內(nèi)，不會(huì)給學(xué)習(xí)者留下長(zhǎng)久的甚至是終生的印象. 很明顯，課改后勾股定理的學(xué)習(xí)是從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，再回到實(shí)際問(wèn)題的處理過(guò)程，學(xué)生眼中的勾股定理來(lái)源于熟悉的背景正方形面積，又用于指導(dǎo)生產(chǎn)、生活.經(jīng)常用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)審視生活，從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，學(xué)生才會(huì)逐步具有“數(shù)學(xué)建?！钡哪芰?，才能逐步感悟生活的數(shù)學(xué)性.這不僅是社會(huì)發(fā)展的需要，同時(shí)也是促進(jìn)學(xué)生自身發(fā)展

9、的需要.學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)定理的探求、現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)現(xiàn)及驗(yàn)證過(guò)程無(wú)時(shí)不表現(xiàn)著其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，定理的歸納、結(jié)論的自我認(rèn)同又包含著合作與自由發(fā)展的和諧共鳴.利用課堂教學(xué)、利用教材培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方式，便塑造了其良好的思維方式，促進(jìn)了學(xué)生和諧、自由、全面、充分的發(fā)展. （四）教學(xué)效果的不同（見(jiàn)下表） 四、兩種教學(xué)對(duì)比研究的結(jié)論 （一）新課程前后的教學(xué)各有優(yōu)勢(shì)與不足（見(jiàn)下表） （二）新課程中幾何教學(xué)需要注意的幾個(gè)方面 1. 探究學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單地布置學(xué)生去探究、去學(xué)習(xí)，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，要讓學(xué)生明確去探究什么，如何探究，要讓學(xué)生的探究活動(dòng)是有效的、有意義的.新教材中的很大一部分可采用勾股定理的探究方式

10、：向?qū)W生提供探索情境，提出能提供必需信息的問(wèn)題學(xué)生采用多種方式尋求問(wèn)題的答案，獲取信息整理、歸納結(jié)論設(shè)法驗(yàn)證或解釋. 2. 學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的主動(dòng)參與要在教師指導(dǎo)督促中形成，不能過(guò)高估計(jì)學(xué)生的意志、興趣.例如，營(yíng)造一種和諧、民主的課堂氣氛來(lái)提高全體學(xué)生的參與興趣；幫助學(xué)生制訂分段式的小目標(biāo)來(lái)增強(qiáng)其成就感，強(qiáng)化其參與意識(shí). 3. 避免合作學(xué)習(xí)流于形式.（1）堅(jiān)持“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的分組方式，以保證人人有所發(fā)展.（2）教師要加強(qiáng)合作技能的指導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組分工，要求明確各自在完成共同的任務(wù)中個(gè)人承擔(dān)的責(zé)任.（3）及時(shí)協(xié)調(diào)組內(nèi)成員間的關(guān)系，有效解決組內(nèi)出現(xiàn)的不利問(wèn)題.（4）正確評(píng)價(jià)組內(nèi)成員的成

11、績(jī)，尋求個(gè)人和小集體共同提高的途徑. 4. 要注重教學(xué)活動(dòng)目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn).新課程中注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、能力的提升，注重知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)，但對(duì)一些基本的訓(xùn)練有些淡化，導(dǎo)致整體教學(xué)目標(biāo)不夠均衡.為此，在勾股定理的教學(xué)中，不但要重過(guò)程、方法、能力，還要重視相關(guān)的計(jì)算和推理，并在計(jì)算和推理中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，這樣才能把“知識(shí)技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“問(wèn)題解決”、“情感態(tài)度”多方面教學(xué)目標(biāo)有機(jī)結(jié)合，達(dá)到整體實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo). 5. 不能忽視雙基的教學(xué)，要注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握.基礎(chǔ)知識(shí)不但是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標(biāo)，還是落實(shí)數(shù)學(xué)思想、方法、能力目標(biāo)的載體.數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)

12、”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系. 6. 重視合情推理及演繹推理的教學(xué)和訓(xùn)練.推理教學(xué)要轉(zhuǎn)變并貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、估算、歸納、類比、畫(huà)圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜想某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力.對(duì)于幾何的教學(xué)要加強(qiáng)演繹推理的教學(xué)訓(xùn)練，通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，結(jié)論的正確與否需要演繹推理的證明.當(dāng)然，不同年級(jí)可提出不同的要求，但要慢慢加強(qiáng)，訓(xùn)練不斷提高要求，最后形成較高的演繹推理能力. 7. 現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)的教學(xué)手段要強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合.課改中，對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用得到了足夠的重視，但并不是說(shuō)傳統(tǒng)的教學(xué)手段就落伍了，它們互有所長(zhǎng)，相互補(bǔ)充.對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用要合理，如計(jì)算器要用在繁瑣的計(jì)算上，不能讓簡(jiǎn)單的計(jì)算也要用到，否則反而削弱了學(xué)生的計(jì)算能力，課改中學(xué)生的計(jì)算能力的下降與此有直接關(guān)系.對(duì)于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，好鋼要用在關(guān)鍵的地方，在幾何及函數(shù)中的數(shù)、形的變化關(guān)系中，計(jì)算機(jī)有其他教學(xué)手段無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于一節(jié)課的相關(guān)概念及重要法則、公式、定理等還是要發(fā)揮板書(shū)的優(yōu)勢(shì)，一節(jié)課都體現(xiàn)在黑板中，學(xué)生抬