二次函數(shù)中根的分布問題

1、一元二次方程ax2+bx + c = 0根的分布情況22設(shè)萬程ax +bx+c = 0（a=0 ）的不等兩根為 ?2且為 x2,相應(yīng)的二次函數(shù)為 f（x）=ax +bx+c=0,方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）表二：（兩根與k的大小比較）分布情況兩根都小于k即x1 k, x2 k兩根都大于k即一個根小于k , 一個大于k即x1 k k, x2 k大 致 史 象(a 0)ya ,/y /,ik /3k tk kj xj /k得出的結(jié)論a0b .00 0o i- 1 2a (k)0f(k)0大 致

2、 圖 象(a 0b . k 2aj(k)0k 1 2a ff(k)0綜 合 結(jié) * 不 討 論aa 0b 1-01a0b .一一 k2aa f (k 卜 0a f (k ) 0表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在（m, n ）內(nèi)兩根有且僅有一根在（m,n ）內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在（m, n）內(nèi)，另一根在 p,q 內(nèi)，m 0bmn2af m f n ： 0f( m)0f(n)0 或 jf (m)f (n)0 f( p)0得出的結(jié)論：0f m ： 0f n ： 0bm : 一 : n2af m ： 0 f n 0f p 0 f q 0或 f m f n ：0，f p f q

3、：二0綜合結(jié)論1不討論af m f n 0ef p f q : 0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間（m,n）外，即在區(qū)間兩側(cè)xi 0時， ;f n ：二0f m 0(2) a0時， 對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在 (m, n )內(nèi)有以下特殊情況:1 若f (m)=0或f (n)=0,則此時f(mjf(n)0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n,可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間 (m,n )內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2 -(m+2)x+2 = 0222在區(qū)間(1,3 井有一根，因為 f (1)=0,所以 mx2 -(m

4、 + 2)x+2=(x-1xmx-2),另一根為一，由 13 m m2得一m 2即為所求；32方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間(m,n)內(nèi)，即區(qū)=0,此時由4 = 0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x2 4mx+2m +6 =0有且一根在區(qū)間(3, 0)內(nèi)，求m的取值范圍。分析：由f (-3f ( 0) 0即15.八2,3(14m +15，m +3 )0 得出bcmc而；由 a=0 即 16m -4(2m + 6 )= 0 得出 m = 1 或 m ,當一 一一 3一一 一一3m = -1時，根x = -2=

5、(-3,0 ),即m = -1滿足題意；當 m =3時，根x = 3正(一3,0 )，故m = 不滿足題意； 一 ，1514綜上分析，得出 -3 m 一一或m = -1例1、已知二次方程(2m+1 )x2 2mx + (m 1 ) = 0有一正根和一負根，求實數(shù) m的取值范圍。1解：由(2m+11f(0)0即(2m + 1/m 1 0從而得一 m 3 + 2& m 00 m 3+2j2即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù) y = (m+ 2 )x2(2m+4 )x+ (3m+3)與x軸有兩個交點，一個大于 1, 一個小于1,求實數(shù)m的取值范圍。1斛：由(m+2f(1)0 即(m+2k2m+1)0 = 一2 m 3 即為所求的范圍。例4、已知二次方程 mx2+(2m-3)x + 4=0只有一個正根且這個根小于1,求實數(shù)m的取值范圍。1解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個正根，則 f 0疑1