淺析高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法

1、淺析高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法 摘 要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)知識和技能，是刻畫生活中離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助我們解決日常生活中的存款利息、資產(chǎn)折舊等多種問題，而且它對學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)具有重要的意義。在高中數(shù)列學(xué)習(xí)的過程中，面對不同問題，學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用不同的解題方法完美的解答數(shù)列問題。下面，本文將對高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法進(jìn)行簡要的概括，并以實(shí)例強(qiáng)化學(xué)生對不同方法的理解，為高中學(xué)生解決數(shù)列問題提供相應(yīng)的幫助。 關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題方法 中圖分類號：g63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a 文章編號：1673-9132（2016）22-0030-02 doi：10.16657/ki.iss

2、n1673-9132.2016.22.017 一、數(shù)列的介紹 （一）數(shù)列的概念 數(shù)列是以整數(shù)集（或他的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)，其中的每個(gè)數(shù)都稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第n位的數(shù)是這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示。其一般形式可寫為a1，a2，an，an+1，簡記為an。 （二）數(shù)列的重要性 學(xué)習(xí)數(shù)列，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強(qiáng)化學(xué)生觀察、分析、歸納、推理、運(yùn)算、應(yīng)用等多種能力的培養(yǎng)。數(shù)列還可與函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何等多種數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，具有較強(qiáng)的綜合性，使學(xué)習(xí)數(shù)列的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)。 二、解題方法淺析 （一）定義法 例：有如下三個(gè)結(jié)論：數(shù)列an是等比數(shù)列

3、，則an是一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)；bn是n的一次函數(shù)的充要條件是數(shù)列bn是等差數(shù)列；數(shù)列bn是等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn是二次函數(shù)。其中敘述正確的個(gè)數(shù)為（） a . 0 b. 1 c. 2 d. 3 解析：對于，我們根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1，a1qn-1不是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)。對于和，我們根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn =b1+（n-1）d=dn+（b1-d），其前n 項(xiàng)和sn=nb1+n（n-1）d/2=dn2/2+（b1-d/2）n；當(dāng)d=0時(shí)，bn= b1，bn不是n的一次函數(shù)，sn=nb1，sn不是二次函數(shù)。因

4、此本次選擇a。 （二）畫圖法 畫圖法是指根據(jù)題目給出的已知條件，通過畫圖的方法找出不同條件之間的關(guān)系，進(jìn)而了解問題的關(guān)鍵所在，解答數(shù)列問題。 例：等差數(shù)列an中，am=n，an=m，且d0，mn，則am+n是多少？ 解析： 通過an是等差數(shù)列且d0可知an是關(guān)于n的一次函數(shù)，則如上圖所示，坐標(biāo)（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三點(diǎn)共線，所以利用直線處處斜率相等可得（n-m）/（m-n）=（am+n cn）/（m+n）-m，可解得am+n=0。 （三）公式法 公式法是指運(yùn)用數(shù)列中等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式解決問題的方法。 例：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an前n項(xiàng)和sn滿足6sn=（an+1）

5、（an+2）， s11，nn*，求an的通項(xiàng)公式。 解析：當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=（a1+1）（a1+2）/6，且a1=s11，解得a1=1（舍）或2，所以a1=2。由公式可知an+1=sn+1 - sn=（an+1+1）（an+1+2）/6 -（an+1）（an+2）/6，整理得（an-1- an-3）（ an+1+ an）=0，又an0，解得an+1- an=3。因此，可得知數(shù)列an是以2為首項(xiàng)以3為公差的遞增等差數(shù)列，通項(xiàng)公式an=2+3（n-1）=3n-1。 （四）函數(shù)思想求解 數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此通過函數(shù)的思想對數(shù)列問題進(jìn)行求解是有效方法之一。 例1：已知f（x）=abx的圖像經(jīng)過

6、a（4，1/4）和b（5，1）兩點(diǎn)。求f（x）的解析式；已知an=log2f（n），nn*，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，解不等式ansn0。 解析：對于，由題知ab4=1/4，ab5=1，解得a=1/1024，b=4，因此函數(shù)解析式f（x）= 4x/1024。對于，由題知an= log2（4n/1024）= log24n- log21024=2n-10，則數(shù)列an是以-8為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，an=2n-10，sn=n（-8+2n-10）/2= （n-9）n，所以由ansn0可得（2n-10）（n-9）n0，解得5n9，又nn*，所以n=5，6，7，8，9。 例2：已知數(shù)列an遞增， an

7、=n2+n，nn*，求。 解析：由數(shù)列an遞增知an+1-an0，即（n+1）2+（n+1）-n2+n=2n+1+0恒成立，因此-1-2n恒成立（nn*）。設(shè)f（n）= -1-2n，則需求出f（n）的最大值，由上面可知f（n）最大值為f（1）=3（nn*），所以的取值范圍是3。 （五）方程求解法 方程求解法是指在解答數(shù)列問題時(shí)，根據(jù)等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式，構(gòu)造出方程組，通過求解方程組解答數(shù)列問題的方法。 例：等差數(shù)列an的前n 項(xiàng)和是sn，s10=30，s15=195，求s20。 解析：解答此題的關(guān)鍵在于求出其通項(xiàng)公式，下面有兩種解答方法，均為方程思想求解法。 法1：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和sn=k

8、n2+tn，由題得方程組s10=100k+10t=30，s15=225k+15t=195，解得k=2，t=-17，所以sn=2n2-17n。代入n=20得s20=460。 法2：設(shè)等差數(shù)列an公差為d，首項(xiàng)為a1，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得方程組s10=10a1+10（10-1）d/2=30，s15=15a1+15（15-1）d/2=195，解得a1=-15，d=4，所以sn=-15n + 4n（n-1） /2=2n2-17n。將n=20代入解得s20=460。 （六）構(gòu)造數(shù)列法 構(gòu)造數(shù)列是解決數(shù)列問題的重要方法之一，它包括構(gòu)造等差數(shù)列、構(gòu)造等比數(shù)列等多種方法。 1.構(gòu)造成差數(shù)列 例：已知數(shù)列a

9、n滿足an=2an-1+2n-1，n2且nn*，a4=81。 （1）求a1、a2、a3； （2）是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列為等差數(shù)列 若存在求出和an的值，若不存在說明理由。 解析：（1）已知a4=81，將n=4代入an=2an-1+2n-1中得a3=33，再將n=3代入an=2an-1+2n-1中得a2=13，再將n=2代入得出a1=5。 （2）設(shè)存在實(shí)數(shù)使 為等差數(shù)列，則-=（an-2 an-1-）/2n=（2n-1-）/2n=1-（+1）/2n，因此常數(shù)=-1，可求得等差數(shù)列 的首項(xiàng)（a1-1）/2=2，公差d=1。因此=-1，=n+1，an=（n+1）2n+1。 2.構(gòu)造等比數(shù)列 例：現(xiàn)存在

10、數(shù)列an，其首項(xiàng)a1=2，an+1=3an+2，nn*，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解析：此數(shù)列an既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，根據(jù)題我們可自行構(gòu)造等比數(shù)列，利用此等比數(shù)列進(jìn)行求解。設(shè)數(shù)列an+k是以an的系數(shù)3為公比的等比數(shù)列，即an+1+k=3（an+k），整理得an+1=3an+2k，又an+1=3an+2，解得k=1，即an+1是以an+1=3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，an+1=33n-1=3n，所以an=3n-1。 （七）分類討論法 在數(shù)列解題過程中，有些復(fù)雜的問題是無法直接一次性解答的，這時(shí)就需要化整為零將問題進(jìn)行分類討論。 例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn= -n2+5n，求|an|

11、的前n項(xiàng)和tn的表達(dá)式。 解析：已知sn= -n2+5n，則當(dāng)n=1時(shí)，a1= s1=4；當(dāng)n2時(shí)，an=sn -sn-1= （-n2+5n）-（n-1）2+5（n-1）=-2n+6。因此，當(dāng)n3時(shí)an0，|an|= an；當(dāng)n4時(shí)，an 所以，當(dāng)1n3時(shí)，tn=|a1|+|a2|+|an|= a1+a2+an =sn= -n2+5n；當(dāng)n4時(shí)，tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|= a1+a2+ a3- a4-an = -sn+2s3 =-sn+12= n2-5n+12。因此tn= -n2+5n，（1n3） n2-5n+12，（n4） 。 （八）遞推法 遞推法是指根據(jù)問題中所提供的遞

12、推關(guān)系以探求、構(gòu)造等方法解決數(shù)列問題的方法。 例：sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對于任意自然數(shù)n，都有2 sn=n（a1+an），試證明數(shù)列an為等差數(shù)列。 解析：要證明數(shù)列an為等差數(shù)列，我們先要了解等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式為an= a1+（n-1）d。因此可通過已知條件進(jìn)行遞推，求得結(jié)果。首先，我們將sn轉(zhuǎn)化為an：當(dāng)n2時(shí)，an=sn-sn-1= n（a1+an）/2- （n-1）（a1+an-1）/2=n（an-an-1）+ a1+an-1/2，整理得a1+ （n-2）an-（n-1）an-1=0，同理知a1+ （n-1）an+1- nan=0。由-得：（n-1）an+1-2 （n-1） an+（n-1） an-1=0，又n-10，則an+1-2an+an-1=0，即當(dāng)n2時(shí)，an+1-an=an-an-1。因此數(shù)列an為等差數(shù)列。 總之，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分學(xué)