特征信息捕捉與解題分析論文

1、特征信息捕捉與解題分析論文 本文旨在展示平凡的定理（ab）24ab在“特征信息”聚焦時(shí)的最優(yōu)化解題特征 首先，通過“等導(dǎo)不等”來證明這個(gè)定理： （ab）24ab（ab）24ab， 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立 下面列舉一系列數(shù)學(xué)問題，其“特征信息”均可或顯或隱地聚焦于定理（ab）24ab限于篇幅，解題時(shí)不作一一分析，只展現(xiàn)定理的最優(yōu)化解題思路 例1已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足等式a6b，c2ab9，求證：ab（文1例1） 證明：依定理（ab）24ab，即624（c29），得c0，從而a6b，ab90，解得ab3，故證畢 例2若（zx）24（xy）（yz）0，則x，y，z成等差數(shù)列（1979年全國高考題）

2、 證明：由題設(shè)知（zx）24（xy）（yz），而依本文定理，則有（zx）2（xz）2（xy）（yz）24（xy）（yz），可見xyyz，從而x，y，z成等差數(shù)列 例3方程組xy2，的實(shí)數(shù)解的組數(shù)是（） xyz21 a1b2c3d無窮多（1987年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解：依定理知，（xy）24xy，則224（z21），得z0，原方程組化為 xy2，顯然只有一解xy1，故選a xy1， 例4已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，且abc0，abc1，求證：a，b，c中必有一個(gè)大于32（1991年“曙光杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 證明：由題知，a，b，c中必有一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè)c為正數(shù)依定理（ab）24ab，得

3、（c）24（1c），或c34，于是c32，故得證 注意：此處還有意外收獲，原題結(jié)論還可改進(jìn)為：求證：a，b，c中必有一個(gè)不小于 例5a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：在4a（1b），4b（1c），4c（1d），4d（1a）中，不可能都大于1（1962年美國數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 證明：巧妙地逆用定理，注意4a（1b）4b（1c）4c（1d）4d（1a）4a（1a）4b（1b）4c（1c）4d（1d）a（1a）2b（1b）2c（1c）2d（1d）2121212121，由此可見，4a（1b），4b（1c），4c（1d），4d（1a）中不可能都大于1 例6已知x0，y0，且xy4，s（6x）（5y），求

4、s的最大值 解：依定理，知4s4（6x）（5y）（6x）（5y）211（xy）2（114）249，s494，當(dāng)x212，y112時(shí)，smax494 當(dāng)然，定理最主要還是應(yīng)用于巧證不等式方面 例7已知y2xz，求證：y24xz（文1例2） 證明：由題設(shè)，知y2xz依定理，知（y）242xz，或2y28xz，即y24xz，證畢 縱觀以上各例，依定理解題，顯得規(guī)律有序，思路清晰，方法簡便，且顯然優(yōu)于原來的方法 例8正數(shù)x，y，z，a，b，c滿足條件axbyczk求證：axbyczk2（1987年（前）蘇聯(lián)數(shù)學(xué)奧林匹克試題） 證明：傳統(tǒng)證法大半是構(gòu)造正三角形或正方形，利用面積關(guān)系證之今依定理，即刻知

5、4ax4by4cz（ax）2（by）2（cz）2k2k2k23k2， 于是，axbycz（34）k2k2，故證畢 可見，依定理還有意外收獲，得到原式的一個(gè)加強(qiáng)式：axbycz（34）k2而這一加強(qiáng)難在傳統(tǒng)證法中體現(xiàn)出來 例9已知a1，b1，c1，求證： （a2（b1）（b2（c1）（c2（a1）12 證明：依定題，知a2（a1）124（a1）14（a1）同理b24（b1），c24（c1），于是，（a2（b1）（b2（c1）（c2（a1） 4（a1）（b1）（b1）（c1）（c1）（a1）4312，證畢 例10設(shè)x，y為非負(fù)數(shù)，且滿足xy1，求證： 12 證明：考慮（）22（xy）2242，或，依題知及定理，有04xy（xy）21，故 于是12，證畢 定理（ab）24ab的優(yōu)化解題功效遠(yuǎn)不止這些，只要留心些，讀者必定還會(huì)有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新令人振奮的是，從基本不等式ab2，平方即可得（ab）24ab；但令人遺憾的是，ab2的應(yīng)用，已是老生常談，而（ab）24ab卻少見報(bào)道筆者試圖通過本文，借以引為重視! 參考文獻(xiàn) 1丁保榮信息