2024級高一上期期中測試數(shù)學(xué)試題含答案

2024級高一上期期中測試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一?單選題（每小題5分，共計40分）1.已知命題，，命題p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解即可．【詳解】命題，的否定是：，故選：D2.已知集合，若，則實數(shù)的值不可以為（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】首先要理解集合的概念，對于集合，通過求解方程得到集合中的元素.因為，這意味著，所以要對集合中的方程進行分析，分情況討論的值，看哪些值滿足.【詳解】對于方程，分解因式可得，解得或者，所以.對于方程，其解為或者.因為，這意味著.當(dāng)時，方程變?yōu)?，此時，滿足.當(dāng)時，，此時，滿足.當(dāng)且時，.因為，所以，解得，此時，滿足.綜上，實數(shù)的值可以為、、，所以實數(shù)的值不可以為除、、之外的值.故選：D.3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性的定義即可逐一求解.【詳解】對于A,函數(shù)在單調(diào)遞減，故不符合要求，對于B，單調(diào)遞減，故不符合要求，對于D,為對勾函數(shù)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故不符合要求，對于C，由于的定義域為，關(guān)于原點對稱，且故為奇函數(shù)，且函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合要求，故選：C4.已知，若的解集為，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知函數(shù)的解集，再結(jié)合函數(shù)關(guān)于y軸對稱得出圖象.【詳解】由的解集為，可知函數(shù)的大致圖象為選項D中的圖象，又函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱,可得出圖象為C選項.故選:C．5.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則區(qū)間可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合選項，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解判斷.【詳解】函數(shù)對稱軸為，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，值域為，故A錯誤；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，值域為，故B正確；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，值域為，故C錯誤；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，值域，故D錯誤.故選：B.6.“函數(shù)的定義域為R”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的定義域為R，即對任意x∈R恒成立，可得a的范圍，則可得“函數(shù)的定義域為R”是“”的必要不充分條件.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，所以對任意x∈R恒成立，①當(dāng)時，對任意x∈R恒成立；②當(dāng)時，只需，解得：；所以.記集合，.因為A?B，所以“函數(shù)定義域為R”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.已知且，不等式恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥2 B.m≥4 C.m≥6 D.m≥8【答案】D【解析】【分析】由條件結(jié)合基本不等式可求的范圍，化簡不等式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，由此可求m的取值范圍.【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又已知在上恒成立，所以因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以m≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時等號成立，所以m的取值范圍是，故選：D.8.已知函數(shù)是定義在的單調(diào)函數(shù)，且對于任意的，都有，若關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，得到，結(jié)合，求得，把方程轉(zhuǎn)化為和有兩個交點，設(shè)，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到和，即可求解.【詳解】因為函數(shù)是的單調(diào)函數(shù)，且對于任意的，都有，所以為定值，設(shè)，可得，又由，可得，解得或（舍去），所以，則方程，即，即，則關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，即，即函數(shù)和有兩個交點，設(shè)，則，即且，可得，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，且，當(dāng)時，，要使得方程恰有兩個實數(shù)根，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.二?多選題（每小題6分，共計18分）9.對于任意實數(shù)，，，，下列四個命題中為假命題的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】利用特殊值判斷A、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、C.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足條件，，但是，所以A為假命題；對于B，因為，所以，所以，所以成立，所以B為真命題；對于C，因為，所以且，所以，所以C為真命題；對于D，當(dāng)，，，時，滿足條件，，但是，所以D為假命題．故選：AD．10.已知a，b為正實數(shù)，且，則（）A.的最大值為4B.的最小值為18C.的最小值為4D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式及其變形，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，a，b為正實數(shù)，且，對于A，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解不等式得，即，故的最大值為，所以A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值18，所以B正確；對于C，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，解得，即的最小值為4，所以C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值，所以D錯誤.故選：ABC.11.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對于任意，，若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.C.在上單調(diào)遞減 D.若正數(shù)滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷、的單調(diào)性判斷AC，根據(jù)單調(diào)性比較大小判斷B，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】對于任意，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項A正確；因為的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，所以，由在上單調(diào)遞增，所以，故選項B正確；對于任意，，因為，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；，即，又，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，即，故選項D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三?填空題（每小題5分，共計15分）12.函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求定義域的法則求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，即，則函數(shù)的定義域為，故答案為：.13.函數(shù)，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)各段的定義域，分，兩種情況，由求解.【詳解】當(dāng)時，則，因，所以，即，解得或（舍去），所以.當(dāng)時，則，因為，所以無解.綜上：故答案為：4【點睛】本題主要考查分段函數(shù)求值問題，還考查了分類討論思想和運算求解的能力，屬于中檔題.14.已知函數(shù)fx,gx的定義域為的圖象關(guān)于直線對稱，且，，若，則______.【答案】【解析】【分析】由y=fx的圖象關(guān)于直線對稱，得，由，得，結(jié)合，得，進而代入相關(guān)值求結(jié)果即可.【詳解】因為y=fx的圖象關(guān)于直線對稱，則，又，則①，因為，則②，①②得，則令，得，令，得，由，得，由，得，則，所以，故答案為：.四?解答題（共計77分）15.已知定義在上的函數(shù)滿足：．（1）求函數(shù)的表達式；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用方程組法求函數(shù)解析式即可；（2）要使在上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】將的替換為得，聯(lián)立解得【小問2詳解】不等式為，化簡得，要使其上恒成立，則，，當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以．16.設(shè)集合，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合交集的性質(zhì)進行求解即可.（2）根據(jù)集合并集的運算性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】由，所以或，故集合.因為，所以，將代入中的方程，得，解得或，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，滿足條件，綜上，實數(shù)的值為或.【小問2詳解】因為“”是“”的必要條件，所以.對于集合，.當(dāng)，即時，，此時；當(dāng)，即時，，此時；當(dāng)，即時，要想有，須有，此時：，該方程組無解.綜上，實數(shù)的取值范圍是.17.如圖，正方形的邊長為1，，分別是和邊上的點.沿折疊使與線段上的點重合（不在端點處），折疊后與交于點.（1）證明：的周長為定值.（2）求的面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用對稱性，找到之間的關(guān)系，再由相似三角形的性質(zhì)，利用周長比等于相似比建立關(guān)系，得到的周長表達式，化簡證明即可；（2）由面積比等于相似比的平方建立關(guān)系，得到面積的表達式，消元后利用基本不等式求解最值.【小問1詳解】設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，由題意，，即，可知∽，設(shè)的周長分別為，則.又因為，所以，的周長為定值，且定值為.【小問2詳解】設(shè)的面積為，則，因為，所以，.因為，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，滿足.故的面積的最大值為.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）解不等式．【答案】（1），（2）減函數(shù)；證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和求解即可.（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可.（3）首先將題意轉(zhuǎn)化為解不等式，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，；，解得，∴，而，解得，∴，．【小問2詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則因為，所以，又因為，所以，所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù)．【小問3詳解】由題意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以該不等式的解集為．19.若函數(shù)的定義域為，集合，若存在正實數(shù)，使得任意，都有，且，則稱在集合上具有性質(zhì).（1）已知函數(shù)，判斷在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）已知函數(shù)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)，求正整數(shù)的最小值；（3）如果是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且在上具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不具有，理由見解析（2）2（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合定義舉出反例即可得；（2）由題意可得，即可轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，再證明時，在R上具有性質(zhì)即可得.【小問1詳解】，當(dāng)時，，故在區(qū)間?1,0上不具有性質(zhì)；【小問2詳解】函數(shù)的定義域為R，對任意，則，在區(qū)間0,1上具有性質(zhì)，則，即，因為是正整數(shù)，化簡可得：對任意恒成立，設(shè)，其對稱軸為，則在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，，解得，故正整數(shù)的最小值為2；【小問3詳解】法一：由是定義域為R上的奇函數(shù)，則，解得，若，，有恒成立，所以符合題意，若，當(dāng)時，，所以有，若在R上具有性質(zhì)，則對任意x∈R恒成立，在上單調(diào)遞減，則，x不能同在區(qū)間內(nèi)，，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，若時，今，則，故，不合題意；，解得，下證：